Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng \(\left( {{2^f} - {2^g}} \right).\left( {{2^h} - {2^k}} \right) < 0\).
Sau đó, lập bảng xét dấu với bất phương trình trên. Từ đó, suy ra các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.
Kết hợp điều kiện, bất phương trình \({2^{x + 3}} + {2^{m - x}} < {2^{m + 3}} + 1\) có nhiều nhất \(20\) nghiệm nguyên. Từ đó suy ra các giá trị \(m\) thỏa mãn.
- Đặt ẩn phụ \(t = {3^x} > 0\), đưa bất phương trình về dạng bất phương trình bậc hai ẩn \(t\).
- Giải bất phương trình bậc hai tìm nghiệm \(t\), từ đó suy ra nghiệm \(x\).
- Tìm điều kiện của \(m\) để bất phương trình có không quá 30 nghiệm nguyên.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình \({{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}+\left( m-2 \right){{.9}^{x}}=0\) có nghiệm dương?
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. 3
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
\({{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}+\left( m-2 \right){{.9}^{x}}=0\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2x}}-2.{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{x}}+\left( m-2 \right)=0\left( 1 \right).\)
Đặt \({{\left( \frac{4}{3} \right)}^{x}}=t;t>0\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({{t}^{2}}-2t+m-2=0\text{ }\left( 2 \right).\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm lớn hơn 1.
\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+2t+2=m.\)
Số nghiệm phương trình \(\left( 2 \right)\) là số giao điểm của đồ thị \(y=-{{t}^{2}}+2t+2\) và đường thẳng \(y=m.\)
Ta có bảng biến thiên \(y=-{{t}^{2}}+2t+2:\)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ khi \(m