Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Show
Trong toán học, tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách kết hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một quả cam; một quả lê và một quả cam. Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử[gc 1] là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử bằng với hệ số nhị thức.
Công thức trên có thể viết dưới dạng giai thừa , trong đó , và kết quả là 0 khi . Tập hợp tất cả các tổ hợp chập k của tập S thường được ký hiệu là . Các tổ hợp có thể là tổ chập gồm k phần từ khác nhau lấy từ n phần tử có sự lặp lại hoặc không có sự lặp lại. Như ví dụ nêu phía trên thì không có sự lặp lại. Tuy nhiên, vẫn có thể chọn 2 quả của cùng một loại quả trong ví dụ trên, nếu vậy ta sẽ có thêm 3 tổ hợp nữa: một cặp với hai quả táo, một cặp với hai quả cam và một cặp với hai quả lê. Với những tập hợp lớn hơn, cần phải sử dụng những công thức toán học phức tạp hơn để tìm số tổ hợp. Ví dụ, sấp bài 5 lá có thể gọi là tổ chập 5 (k = 5) lái bài từ 52 lá bài (n = 52). Sấp 5 lá bài hoàn toàn khác biệt nhau và thứ tự của các lá bài không quan trọng. Vậy ta sẽ có 2.598.960 tổ chập như vậy, xác suất để rút một sấp bài 5 lá một cách ngẫu nhiên là 1 / 2.598.960. Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", ký hiệu là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên.
Ví dụ: Đặc biệt, với , người ta quy ước , đúng theo quy ước của một tích trống.[1] Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808. Giai thừa được phổ biến trong nhiều mảng khác nhau của toán học, chủ yếu là mảng tổ hợp, vì đây là số cách khác nhau để xáo trộn một nhóm đối tượng nào đó. Định nghĩa đệ quy[sửa | sửa mã nguồn]Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau
Một số tính chất của giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]
Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan. Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]
Mở rộng cho tập số rộng hơn[sửa | sửa mã nguồn]Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong. Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào? Công thức Gamma[sửa | sửa mã nguồn]Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau: Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được: Khi đó ta có: Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành: Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là: Thay z = 1/2 ta thu được: Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là: Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh: Giai thừa với số thực[sửa | sửa mã nguồn] Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau: Như vậy: Ví dụ: Giai thừa với số phức[sửa | sửa mã nguồn]Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức. Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent: với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:
Ở đây là hằng số Euler - Mascheroni còn là hàm zeta Riemann.
Ngoài ra, còn có thể sử dựng ước lượng gần đúng theo dạng nang cao của công thức Stirling với một số bổ sung kèm vơi đó. Cụ thể: Các khái niệm tương tự[sửa | sửa mã nguồn]Giai thừa nguyên tố (primorial)[sửa | sửa mã nguồn]Bài chi tiết: Giai thừa nguyên tố Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2 · 3 · 5 · 7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial. Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).Giai thừa kép[sửa | sửa mã nguồn]Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có: Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2. Ví dụ: 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 3849!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:
Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau: Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là 1, -1, 1/3, -1/15...Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định. Một vài đẳng thức với giai thừa kép: Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!. Giai thừa bội[sửa | sửa mã nguồn]Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!).... Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!(k), được định nghĩa đệ quy như sau Siêu giai thừa(superfactorial)[sửa | sửa mã nguồn]Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là Tổng quát Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,... (dãy số A000178 trong bảng OEIS)Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0): 1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,...và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là trong đó for and . Giai thừa trên[sửa | sửa mã nguồn]Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
|
