Công thức tính số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử và một số tính chất liên quan. Công thức tính Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đượ... Show Công thức tính số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử và một số tính chất liên quan. Công thức tínhSố tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử được kí hiệu là $C_n^k$ hoặc phổ biến hơn ở các sách tiếng Anh là ${n \choose k}$. Ta có công thức $$C_n^k=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k.(k-1)...1}.$$ Với kí hiệu giai thừa $p!=p(p-1)...1$ thì ta có thể viết lại $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$ trong đó $0\le k \le n$. Ví dụa) $C_6^3=\dfrac{6.5.4}{3.2.1}=20,$b) $C_9^5=\dfrac{9.8.7.6.5}{5.4.3.2.1}=126,$ c) $C_{100}^2=\dfrac{100.99}{2.1}=4950.$ Tính chất cơ bảna) $C_n^0=C_n^n=1$b) $C_n^1=C_n^{n-1}=n$ c) $C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}$ d) $C_n^k=C_n^{n-k}$ e) $C_n^k=\dfrac{n-k+1}{k}C_n^{k-1}$ f) $C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n$ Ý nghĩa tính chất f): tổng số tập con của một tập có $n$ phần tử. Công thức Pascal$$C_n^k=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}.$$ Ví dụ.a) $C_7^3+C_7^4=C_8^4=70,$ b) $C_9^5+C_9^6=C_{10}^6=210.$ Từ công thức Pascal và khai triển nhị thức Newton, ta có tam giác Pascal đã đề cập trong bài trước.  Xem thêm: Công thức chỉnh hợp, hoán vị adsense Câu hỏi:
Lời Giải: Số tổ hợp chập 9 của 9 phần tử là \(C^9_9.\) adsense =============== ==================== Chắc hẳn khi tiếp xúc với bài toán về tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị, không ít các em học sinh sẽ hoang mang vì nhầm lẫn giữa các khái niệm và phân biệt công thức chính xác. Bài viết dưới đây sẽ giải thích rõ hơn về tổ hợp và chỉnh hợp hoán vị để mỗi học sinh đều nắm chắc các định nghĩa và công thức thật chuẩn nhé! 1. Hoán vị là gì?Nếu tách riêng nghĩa từng từ ra, chúng ta có thể hiểu đơn giản rằng “hoán” trong từ hoán đổi và “vị” trong từ vị trí. Ta cho một tập hợp X gồm n phần tử phân biệt với n ≥ 0. Mỗi một cách sắp xếp n phần tử của X theo thứ tự nào đó thì được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn. 2. Tổ hợp là gì?Trong chương trình Toán học, tổ hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong một vài trường hợp chúng ta còn có thể đếm được số tổ hợp. Tổ hợp chập k của n phần tử được hiểu là số những nhóm gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử, mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp các phần tử. Với mỗi một tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phần tử (n > 0) được gọi là một tổ hợp chập k của n. 3. Chỉnh hợp là gì?Chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự. Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử. Tập con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp xếp theo thứ tự. 4. Mối quan hệ giữa tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vịThông qua định nghĩa, chúng ta có thể thấy tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị có một mối liên hệ với nhau. Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng cách thực hiện 2 bước như sau:
Do đó chúng ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị như sau: $A^{k}n=C^{k}nP_{k}$ Tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị là những kiến thức có thể xuất hiện trong một số đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán những năm qua. Chính vì vậy đây là phần kiến thức mà các em học sinh cũng cần phải nắm được trong quá trình ôn thi. Đăng ký ngay để được các chuyên gia VUIHOC tư vấn, hướng dẫn và lên lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán một cách hiệu quả và khoa học nhất.
5. Công thức tính hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp5.1. Công thức tính chỉnh hợpTheo những định nghĩa nêu trên, ta có số chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử với $1\leq k\leq n$ với công thức: $A^{k}n=\frac{n!}{(n-k)!}=n.(n-1)(n-2)...(n-k+1)$ Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp ba bạn Hưng, Hoàng, Hiếu vào hai chỗ ngồi cho trước? Giải: $A_{3}^{2}=\frac{3!}{(3-2)!}=3!=6$ cách Ví dụ 2: Sẽ có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số (1,2,3,4,5,6,7)? Giải: Ta có mỗi một số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy ra từ 4 chữ số từ tập A={1;2;3;4;5;6;7} và sắp xếp chúng theo thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy sẽ được coi là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. Vậy số các số cần tìm là các số: $A_{7}^{4}$=840 số 5.2. Công thức tổ hợp, ví dụ về tổ hợpTa có tổ hợp chập k của n phần tử ($1\leq k\leq n$) là : $C^{k}n=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$ Trong đó có kn và có kết quả bằng 0 khi có k > n. Ví dụ 1: Ông A có 11 người bạn. Ông A muốn mời 5 người trong họ đi chơi. Trong 11 người có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời? Giải: Ông A chỉ mời 1 trong 2 người bạn đó và mời thêm 4 trong số 9 người bạn còn lại, ta có: $2.C_{4}^{9}$=252 Ông A không mời 2 người bạn đó mà chỉ mời 5 trong số 9 người bạn kia, ta có: $C_{5}^{9}$=126 Như vậy tổng cộng ông A có 252+126=378 cách mời. Ví dụ 2: Một bàn học sinh có 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật? Mỗi một cách chọn ra 2 bạn để làm công việc trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy chúng ta có số cách chọn là: $C_{5}^{2}$=10. >> Xem thêm: Công thức tính tổ hợp xác suất và các dạng bài tập 5.3. Công thức tính hoán vịỞ công thức hoán vị rất đơn giản, khi cho tập hợp gồm n phần tử (n > 0), chúng ta có được công thức hoán vị của n phần tử đã cho là: Pn=n! Ví dụ 1: Cho một tập hợp A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập hợp A chúng ta có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số phân biệt? Giải: Áp dụng theo công thức $P_{n}$=n! ta có: $P_{5}$=5!=120 số Ví dụ 2: Hãy tính số cách xếp 10 bạn học sinh thành một hàng dọc. Giải: Mỗi cách xếp 10 bạn học sinh thành hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử. Vậy số cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc là $P_{10}$=10! VUIHOC đã giúp các em nắm rõ hơn về lý thuyết công thức tổ hợp chỉnh hợp cũng như hoán vị. Bên cạnh đó, nền tảng học online |
