Bội và ước của một số nguyên
1. Bội và ước của một số nguyên
Cho a, b là những số nguyên, b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b và kí hiệu là a ⋮ b.
Ta còn nói a là một bội của b và b là một ước của a.
Lưu ý:
a) Nếu a = bq thì ta còn nói a chia cho b được thương là q và viết q = a : b.
b) Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0.
c) Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
d) Số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
e) Nếu c là ước của cả a và b thì c được gọi là một ước chung của a và b.
2. Tính chất chia hết
a) Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho a.
a ⋮ b và b ⋮ c => a ⋮ c.
b) Nếu a chia hết cho b thì mọi bội của a cũng chia hết cho b.
a ⋮ b => am ⋮ b.
c) Nếu a và b đều chia hết cho c thì tổng, hiệu của a và b cũng chia hết cho c.
a ⋮ c và b ⋮ c => (a + b) ⋮ c và (a – b) ⋮ c.
Tính chất của đẳng thức, quy tắc chuyển vế
Quy tắc phép trừ hai số nguyên
Khái niệm tia, tia đối nhau, tia trùng nhau
Cộng hai số nguyên cùng dấu, khác dấu
So sánh số nguyên, giá trị tuyệt đối
Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố
Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9
I. Các kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa bội và ước của một số nguyên
Chú ý:
+ Số $0$ là bội của mọi số nguyên khác $0.$
+ Số $0$ không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
+ Các số $1$ và $ - 1$ là ước của mọi số nguyên.
2. Tính chất
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm các bội của một số nguyên cho trước.
Phương pháp:
Dạng tổng quát của số nguyên $a$ là $a.m$$(m \in Z).$
Dạng 2: Tìm tất cả các ước của một số nguyên cho trước
Phương pháp:
+ Nếu số nguyên đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ, ta có thể nhẩm xem nó chia hết cho những số nào tìm ước của nó nhưng cần nêu đủ các ước âm và ước dương..
+ Nếu số nguyên đã cho giá trị tuyệt đối lớn, ta thường phân tích số đó ra thừa số nguyên tố rồi từ đó tìm tất cả các ước của số đã cho.
Dạng 3: Tìm số chưa biết x trong một đẳng thức dạng a.x = b.
Phương pháp:
Trong đẳng thức dạng $a.x = b$ $(a,b \in Z,a \ne 0)$ ta tìm $x$ như sau:
Tìm giá trị tuyệt đối của $x:$ \(\left| x \right|\) = \(\dfrac{{\left| b \right|}}{{\left| a \right|}}\).
Xác định dấu của $x$ theo quy tắc đặt dấu của phép nhân số nguyên.
Chẳng hạn: $ - 7.x = - 343.$
Ta có : \(\left| x \right|\)= \(\dfrac{{343}}{7}\)= 49
Vì tích $ - 343$ là số âm nên $x$ trái dấu với $ - 7$ vậy $x = 49.$
Dạng 4: Tìm số bị chia, số chia, thương trong một phép chia
Phương pháp:
+ Nếu $a = b.q$ thì ta nói $a$ chia cho $b$ được thương $q$ và viết $a:b = q.$
+ Nếu $a = 0,b \ne 0$ thì $a:b = 0.$
Dạng 5: Chứng minh các tính chất về sự chia hết
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa $a = b.q$ $ \Leftrightarrow a \vdots b$ $\left( {a,b,q \in Z;b \ne 0} \right)$ và các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng).
Dạng 6: Tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện về chia hết.
Phương pháp:
Áp dụng tính chất: Nếu $a + b$ chia hết cho $c$ và chia hết cho $c$ thì $b$ chia hết cho $c.$
Trong bài này mình sẽ hướng dẫn các bạn cách tìm ước và bội của một số nguyên, qua bài bạn sẽ hiểu khái niệm ước chung là gì và bội chung là gì, cũng như tìm ước chung lớn nhất và bội chung lớn nhất.
Bài viết này được đăng tại freetuts.net, không được copy dưới mọi hình thức.
Gọi N là số nguyên, lúc này tập hợp tất cả những số mà N chia hết thì đó chính là ước của N.
Để tìm danh sách các ước thì ta chia lần lượt số đó cho 1, 2, 3 ... N, những số nào mà N chia hết thì đó chính là ước.
Ví dụ: Danh sách các ước của số 21 sẽ là tập hợp sau.
Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]
Bởi vì trong khoảng từ 1 đến N chỉ tồn tại ba số đó là N chia hết.
2. Bội của số nguyên là gì?
Gọi N là số nguyên, lúc này tập hợp tất cả cấp số nhân của N chính là danh sách các bội của N.
Để tìm bội số thì ta chỉ cần nhân số N lần lượt cho các số 0, 1, 2, 3, 4 ...
Ví dụ: Bội của số 3 là tập hợp các số sau.
B = {0, 3, 6, 9, 12, 15 ...}
Ta có thể tìm được bội nhỏ nhất, không tìm được bội lớn nhất.
3. Cách tìm ước chung lớn nhất (UCLN)
Giả sử có hai số A và B, lúc này nước chung lớn nhất (UCLN) chính là số vừa là ước của A vừa là ước của B và là lớn nhất trong tập hợp các ước số.
Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của hai số 15 và 30
Ta thấy số 15 có các ước như sau:
Số 30 có các ước như sau:
U2 = {1, 2, 3, 5, 10, 15, 30}
Như vậy ước chung lớn nhất (UCLN) của hai số 15 và 30 là số 15.
4. Cách tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN)
Gọi A và B la hai số nguyên, lúc này bội chung nhỏ nhất (BCNN) chính là số vừa là bội của A và vừa là bội của B và nhỏ nhất trong danh sách các bội.
Ví dụ: Cho hai số 3 và 4. Lúc này danh sách các bội sẽ như sau.
Bội của 3 là:
Bội của 4 là:
Như vậy bội chung nhỏ nhất là 0.
Vì bội chung nhỏ nhất của hai số luôn luôn là 0 nên ta thường có thêm bài toán "tìm bội chung nhỏ nhất khác 0".
Trên là khái niệm ước số là gì và bội số là gì, cũng qua bài này giúp bạn biết được cách tính ước số và bội số, cũng như tính ước chung lớn nhất của hai số nguyên.
Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.
Kí hiệu :
B(a) : tập hợp các bội của a.
Ư(a) : tập hợp các ước của a.
Cách tìm ước và bội :
Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lược cho 1, 2, 3, …
Ví dụ :
B(5) = {5.1, 4.2, 5.3, …} = {5, 10, 15, …}
Ta có thể tìm các ước của một số a (a > 1) bằng cách lần lược chia số a cho số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.
Ví dụ :
Ư(8) = {8, 4, 2, 1}
Ư(11) = {11, 1}
2. SỐ NGUYÊN TỐ :
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Các số nguyên tố :
2, 3, 5, 7
11, 13, 17, 19,
23, 29,
31, 37
41, 43, 47
53, 59
61, 67
71, 73, 79
83, 89
97
101 …
3. HỢP SỐ :
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
Lưu ý :
Số 0 và 1 không là số nguyên tố và cũng không là Hợp số.
BÀI 113 TRANG 44 :Tìm các số tự nhiên x sao cho :
a) X
Ta có : x
Vậy : x = 24, 36, 48
b) X 15 và 0 ≤ x ≤ 40
=> x
Vậy x = 15, 30
c) X
Ta có Ư(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
x > 8 => x = 10, 20
d) 16 x
X
BÀI 115 TRANG 47 : các số sau là số nguyên tố, Hợp số?
312 2 (chữ số tận cùng là số chẵn 2) => Hợp số
213 3 (tông các chữ số 2+1+3= 6 3 ) => Hợp số
435 5 (chữ số tận cùng là số 5) => Hợp số
3311 =11 . 31 => Hợp số
67 1 và 67 => số nguyên tố