Giải chi tiết:
Xét bất phương trình \({\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _3}\left( {x + y} \right)\,\left( 1 \right)\). ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + y > 0\end{array} \right.\)
Nếu x = 0 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln y\left( {\dfrac{1}{{\ln 4}} - \dfrac{1}{{\ln 3}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \ln y \le 0 \Leftrightarrow y = 1\) (do y là số nguyên) (thỏa mãn yêu cầu đề bài)
Nếu x = 1 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln \left( {y + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{\ln 4}} - \dfrac{1}{{\ln 3}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \ln \left( {y + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow y = 0\) (do y là số nguyên) (thỏa mãn yêu cầu đề bài)
Nếu x khác 0 và 1, ta có 2 trường hợp sau:
TH1: x + y = 1, bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - x + 1} \right) \ge 0\), luôn đúng với mọi x nguyên
TH2: x + y > 1, ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}} \ge \dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}}\,\,\,\left( 2 \right)\)
Với mỗi giá trị x nguyên, ta coi x là tham số, xét hàm số \(f\left( y \right) = \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}}\) với y > 1 – x
Ta có \(f'\left( y \right) = \dfrac{{\dfrac{{\ln \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + y}} - \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{x + y}}}}{{{{\ln }^2}\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\ln \left( {x + y} \right) - \left( {{x^2} + y} \right)\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + y} \right){{\ln }^2}\left( {x + y} \right)}}\)
Do hàm số \(g\left( t \right) = t\ln t\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(1 < x + y < {x^2} + y\) với mọi \(x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ {0;1} \right\}\)nên ta có f’(y) < 0 với mọi y thỏa mãn điều kiện.
Suy ra hàm f(y) nghịch biến trên \(\left( {1 - x; + \infty } \right)\)và \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 1 - x < y < {y_0}\) (*) với y0 là nghiệm của phương trình \(f\left( y \right) = \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}} \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) = {\log _3}\left( {x + y} \right)\) (3)
Đặt \({\log _4}\left( {{x^2} + {y_0}} \right) = {\log _3}\left( {x + {y_0}} \right) = u\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y_0} = {4^u}\\x + {y_0} = {3^u}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = {4^u} - {3^u}\\x + {y_0} = {3^u}\end{array} \right.\)
Tổng kết cả hai trường hợp, ta thấy số các số nguyên y thỏa mãn bất phương trình (1) là \(\left[ {{y_0}} \right] - \left( {1 - x} \right) + 1 = \left[ {{y_0}} \right] + x\)
Giá trị này sẽ không vượt quá 242 khi và chỉ khi \({y_0} + x < 243 \Leftrightarrow {3^u} < 243 \Leftrightarrow u < 5 \Leftrightarrow {4^u} - {3^u} < 781\)
(Lưu ý là các hàm số \({3^u}\) và \({4^u} - {3^u}\) đều đồng biến)
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
\({x^2} - x = {4^u} - {3^u} < 781 \Leftrightarrow {x^2} - x - 781 < 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 27,45 \approx \dfrac{{1 - 25\sqrt 5 }}{2} < x < \dfrac{{1 + 25\sqrt 5 }}{2} \approx 28,45\\x e 0;x e 1\end{array} \right.\).
Kết hợp với các giá trị \(x = 0,\,\,x = 1\) ta có tất cả 56 giá trị của \(x\) thỏa mãn bài toán.
Chọn D.
đã hỏi trong Lớp 12 Toán học
· 14:10 07/03/2022
Có bao nhiêu số tự nhiên y sao cho ứng với mỗi y có không quá 148 số nguyên x thỏa mãn 3x+2−13y−lnx≥0?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Cách chuyển từ sin sang cos ạ ?
Trả lời (31) Xem đáp án »
-
-
Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng
A. a<0, b>0, c>0, d<0
B. a<0, b<0, c>0, d<0
C. a>0, b>0, c>0, d<0
D. a<0, b>0, c<0, d<0
Hay nhất
Chọn C
Điều kiện: \(\left\{\begin{array}{l} {x>0} \\ {x\ne e^{y} } \\ {y\ge 0} \end{array}\right.\)
+ Trường hợp 1: \(\left\{\begin{array}{l} {3^{x+1} -\frac{1}{3} \le 0} \\ {y-\ln x<0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x\le -3} \\ {x>e^{y} \ge e^{0} =1} \end{array}\right. \Rightarrow x\in \emptyset\)
+ Trường hợp 2: \(\left\{\begin{array}{l} {3^{x+1} -\frac{1}{3} \ge 0} \\ {y-\ln x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x\ge -3} \\ {x<e^{y} } \end{array}\right.\)
Kết hợp điều kiện\( x>0;\, \, e^{y} \ge e^{0} =1\). Ta có \(0<x<e^{y}\)
Để có không quá 148 số nguyên x thì \(1\le e^{y} \le 149\Leftrightarrow 0\le y\le \ln 149\approx 5,004\)
\(\Rightarrow y\in \left\{0;1;2;3;4;5\right\}.\) Có 6 số nguyên y.
20/10/2021 252
Chọn C
Điều kiện: x>0x≠eyy≥0
+ Trường hợp 1: 3x+1−13≤0y−lnx<0⇔x≤−3x>ey≥e0=1⇒x∈∅
+ Trường hợp 2: 3x+1−13≥0y−lnx>0⇔x≥−3x<ey
Kết hợp điều kiện x>0; ey≥e0=1. Ta có 0<x<ey
Để có không quá 148 số nguyên x thì 1≤ey≤149⇔0≤y≤ln149≈5,004
⇒y∈0;1;2;3;4;5. Có 6 số nguyên y.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Với x>0, đạo hàm của hàm số y=log2x là
Xem đáp án » 20/10/2021 2,278
Cho hàm số y=f(x) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f(0)=0. Hàm số y=f'(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số gx=fx2−x2 có bao nhiêu điểm cực trị?
Xem đáp án » 20/10/2021 1,544
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm
Xem đáp án » 20/10/2021 1,280
Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là l=6cm và bán kính đường tròn đáy là r=5cm. Diện tích toàn phần của khối trụ là
Xem đáp án » 20/10/2021 946
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt phẳng P:x+y+z−7=0. Đường thẳng d nằm trong (P) sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A,B có phương trình làcác mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xem đáp án » 20/10/2021 928
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=6, AD=3, tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết hai mặt phẳng (SAB), (SAC) tạo với nhau góc α thỏa mãn tanα=34 và cạnh SC=3. Thể tích khối S.ABCD bằng:
Xem đáp án » 20/10/2021 812
Với a là số thực dương tùy ý, log5125a bằng
Xem đáp án » 20/10/2021 790
Hàm số y=x−7x+4 đồng biến trên khoảng
Xem đáp án » 20/10/2021 763
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng −∞;+∞, có bảng biến thiên như hình sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án » 20/10/2021 606
Với a là số thực dương tùy ý , a74 bằng
Xem đáp án » 20/10/2021 399
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 5; 7; 8 bằng
Xem đáp án » 20/10/2021 335
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=AD=22 và AA'=43 (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) bằng
Xem đáp án » 20/10/2021 259
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 và độ dài cạnh bên bằng 6 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng
Xem đáp án » 20/10/2021 246
Cho hàm số bậc ba fx=ax3+bx2+cx+d và đường thẳng d:gx=mx+n có đồ thị như hình vẽ. Gọi S1,S2,S3 lần lượt là diện tích của các phần giới hạn như hình bên. Nếu S1=4 thì tỷ số S2S3 bằng
Xem đáp án » 20/10/2021 242
Cho hàm số f(x), đồ thị hàm số y=f'(x) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số gx=fx2 trên đoạn [-5;3] bằng
Xem đáp án » 20/10/2021 185