Dđề thi hsg toán 9 huyen truc ninh năm 2009-2010 năm 2024
- 1. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề Câu 1 (4đ) a) Chứng minh rằng n n A 2 1 2 1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n b) Tìm số các số nguyên n sao cho 2 B n n 13 là số chính phương Câu 2. (5đ) a) Giải phương trình 2 2 x 2x 3 2 2x 4x 3 b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x y 1 xy x y 3xy 11 Câu 3 (3đ) Cho ba số x, y, z thỏa mãn x y z 2010 1 1 1 1 x y z 2010 Tính giá trị của biểu thức 2007 2007 2009 2009 2011 2011 P x y y z z x Câu 4. (6đ) Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định, AB R 2 . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi 1 C;R là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A , 2 D;R là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại B. hai đường tròn 1 C;R và 2 D;R cắt nhau tại điểm thứ hai là M. a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đưởng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất ? Câu 5. Cho các số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 670. Chứng minh rằng: 2 2 2 x y z 1 x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z
- 2. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang) ĐÁP ÁN ĐỀ PHÚ THỌ 2009-2010 Câu 1 a) Theo giả thiết n là số tự nhiên nên n n n 2 1;2 ;2 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên n n n 2 1 .2 . 2 1 chia hết cho 3 Mặt khác n 2 ;3 1 nên n n 2 1 2 1 chia hết cho 3 Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n b) Ta thấy B là số chính phương 4B là số chính phương Đặt 4B= 2 k k thì 2 2 4B 4n 4n 52 k 2n 1 k . 2n 1 k 51 Vì 2n 1 k 2n 1 k nên ta có các hệ 2n 1 k 1 2n 1 k 3 2n 1 k 51 2n 1 k 17 (1) (2) (3) (4) 2n 1 k 51 2n 1 k 17 2n 1 k 1 2n 1 k 3 Giải hệ (1) (2) (3) (4) ta tìm được n 12;n 3;n 13;n 4 Vậy các số nguyên cần tìm là n 12; 3;4;13 Câu 2 a) Ta có 2 2 2x 4x 3 2(x 1) 1 1 nên tập xác định của phương trình là R Phương trình đã cho tương đương với 2 2 2x 4x 3 4 2x 4x 3 3 0 Đặt 2 y 2x 4x 3 1 thì phương trình đã cho trở thành 2 y 1 y 4y 3 0 y 3 (thỏa mãn điều kiện) Với y 1 ta có 2 2 2x 4x 3 1 2x 4x 3 1 x 1 Với y 3 ta có 2 2 x 1 2x 4x 3 3 2x 4x 3 9 x 3 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x 1,x 1,x 3 b) hệ đã cho tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11(x xy y ) 11 x xy y 1 x xy y 1 (*) (x 2y)(5x 3y) 0 x 3xy y 11 11(x xy y ) x 3xy y Từ hệ (*) ta suy ra 2 2 x xy y 1 (I) x 2y 0 hoặc 2 2 x xy y 1 (II) x 2y . 5x 3y 0 Giải hệ (I) ta tìm được (x;y) (2; 1);( 2;1) Hệ II vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm (x;y) (2; 1);( 2;1) Câu 3 Từ giả thuyết suy ra x, y, z khác 0 và
- 3. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang) 1 1 1 1 x y z x y z 1 1 1 1 0 x y z x y z x y x y 0 xy z(x y z) 2 2 2007 2007 2007 2007 2009 2009 2009 2009 2011 2011 2011 2011 1 1 x y 0 xy xz yz z (x y)(xz yz z xy) 0 (x y) z(z x) y(z x) 0 x y y z z x 0 x y x y 0 x y 0 x y z y 0 y z y z y z 0 x z 0 z x z x z x 0 P 0 Câu 4 K H N M D C O A B P
- 4. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang) a) Nối CP, PD ta có ACP, OAB lần lượt cân tại C, O nên CPA CAP OBP do đó CP // OD (1) Tương tự DPB, OAB lần lượt cân tại D, O nên DPB DBP OAB nên OD//CP (2) . Từ (1) và (2) suy ra ODPC là hình bình hành Gọi CD cắt MP tại H cắt OP tại K thì K là trung điểm của OP Theo tính chất 2 của đường tròn cắt nhau ta có CD MP H là trung điểm MP Vậy HK // OM do đó CD // OM Ta phải xét 2 trường hợp AP < BP và AP > BP, đáp án chỉ yêu cầu xét 1 trường hợp giả sử AP < BP Vì tứ giác CDOM là hình bình hành nên OC = DP, DP=DM=R2 nên tứ giác CDOM là hình thang cân do đó 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn b) Xét tam giác AOB có 2 2 2 2 OA OB 2R AB nên tam giác OAB vuông cân tại O. Vì 4 điểm C, D, O, M cùn thuộc một đường tròn (kể cả M O ) nên COB CMD (1) Xét MAB và MCD có: MAB MCD (cùng bằng 1 2 sđ MP của (C )) MBD MDC (cùng bằng 1 sdMP 2 của (D)) Nên MAB đồng dạng MCD (g.g) Vì MAB đồng dạng với MCD suy ra AMB COD hay 0 AMB AOB 90 Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB Ta có 0 ACP BDP AOB 90 nên 0 1 AMP ACP 45 2 (Góc nội tiếp và góc ở tâm của (C)) 0 1 BMP BDP 45 2 (góc nội tiếp và góc ở tâm của (D)) Do đó MP là phân giác AMB Mà 0 AMB AOB 90 nên M thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB Giả sử MP cắt đường tròn (I) tại N thì N là trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định c) MAP và BNP có MPA BPN (đối đỉnh); AMP PBN (góc nôi tiếp cùng chắn 1 cung) nên MAP đồng dạng BNP (g.g) Do đó 2 2 2 PA PM PA PB AB R PM.PN PA.PB PN PB 2 4 2 (không đổi) Vậy PM.PN lớn nhất bằng 2 R 2 khi PA=PB hay P là trung điểm dây AB Vì tam giác AMB vuông tại M nên
- 5. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang) 2 2 2 2 AMB 1 1 AB R S AM.BM AM BM 2 4 4 2 Diện tích tam giác AMB lớn nhất bằng 2 R 2 khi PA=PB hay P là trung điểm dây AB Câu 5. Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức : Với mọi a,b,c và x,y,z 0 ta có: 2 2 2 2 a b c a b c (*) x y z x y z Dấu “=” xảy ra a b c x y z Thật vậy, với a,b và x,y 0 ta có: 2 2 2 2 2 2 a b a b (**) x y x y a y b x x y xy a b 2 (bx ay) 0 (luôn đúng ). Dấu “=” xảy ra a b x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: 2 2 2 2 2 2 a b a b c a b c c x y z x y z x y z Dấu “=” xảy ra a b c x y z Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 x y z VT x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z x y z (1) x(x yz 2010) y(y zx 2010) z(z xy 2010) x y z 3xyz 2010(x y z) Chú ý: 2 2 2 x(x yz 2010) x(x xy zx 1340) 0;y(y zx 2010) 0 và 2 z z xy 2010 0 Chứng minh 3 3 3 2 2 2 2 x y z 3xyz x y z x y z xy yz xz x y z x y z 3 xy yz zx (2) Do đó: 2 3 3 3 3 x y z 3xyz 2010(x y z) x y z x y z 3(xy yz zx) 2010 (x y z) (3) Từ (1) và (3) ta suy ra 2 3 x y z 1 VT x y z x y z Dấu “=” xảy ra 2010 x y z 3
- 6. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)