CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH.1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn. Dạng tổng quát
Ví dụ : Giải hệ phương trình Lời giải : Đặt . Hệ trở thành : Để thu được hệ đẳng cấp thì các hệ số theo phải bằng . Tức là chọn sao cho : Vậy ta có hệ . Dễ dàng giải được hệ này. Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình đã cho là 2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng.
Dạng tổng quát với là các đa thức đối xứng $x,y$. Cách giải chung là đặt ẩn phụ .
Dạng tổng quát với là một đa thức không đối xứng. Cách giải chung là trừ vế theo vế hai phương trình để thu được nhân tử chung .
Dạng tổng quát Trong đó là các biểu thức đối xứng theo . Cách giải chung là tìm cách đưa về các ẩn mới và sử dụng định lí đảo cho phương trình bậc ba : Nếu ba số thỏa mãn thì chúng là ba nghiệm của phương trình . 3. Hệ phương trình hoán vị. Dạng tổng quát Với thường là các hàm đơn điệu (trên một khoảng nào đó) Một số định lí :
Ví dụ : Giải hệ phương trình Lời giải : Ta có , suy ra . Tương tự . Gỉa sử . Xét hàm , dễ dàng thấy hàm này đồng biến trên . Vì . Suy ra , từ đó . Kết luận : Hệ có nghiệm duy nhất 4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số. Phương pháp này chủ yếu dựa vào định lí sau : Nếu hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì số nghiệm của phương trình không nhiều hơn và Ví dụ : Giải hệ phương trình Lời giải : Nhận xét rằng không là nghiệm của hệ. Ta xét . Dễ thấy hàm số đồng biến trên Phương trình thứ nhất có thể viết thành : Thay vào phương trình sau : Nếu thì rõ ràng Nếu thì rõ ràng Vậy Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là 5. Phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Cộng vế theo vế hai phương trình : Trừ vế theo vế hai phương trình : Vậy nếu ta đặt Thì ta có hệ Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu. 6. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức. Ví dụ : Giải hệ phương trình Lời giải : “Chất bất đẳng thức” của hệ này nằm ở phương trình thứ hai. Điều kiện Đặt (ta có ) thì phương trình thứ hai trở thành : Nhưng theo BĐT ta có Đẳng thức phải xảy ra, khi và chỉ khi , tức . Kết luận : Nghiệm của hệ đã cho là 7. Phương pháp biến đổi đẳng thức.
Ví dụ : Giải hệ phương trình Lời giải : Trừ và vế theo vế : Trừ và vế theo vế : Từ thì có Thay vào ta được hệ đẳng cấp . Ta dễ dàng giải được hệ này.
Ví dụ : Giải hệ phương trình Lời giải : Nhận thấy vế trái của có bậc ba và vế phải của có bậc . Để đưa thành một phương trình thuần nhất (thuần nhất bậc ba) thì ta cần nhân vào vế phải một biểu thức bậc . Để ý rằng từ ta có Thay vào : Dễ dàng giải tiếp hệ này. 8. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác) Xem tại đây 9. Phương pháp hệ số bất định. Ví dụ : Giải hệ phương trình Lời giải : Mục đích ở đây là ta sẽ tạo ra một phương trình mà có thể tính được ẩn này theo ẩn kia. Nhân với rồi cộng với : Coi đây là một phương trình bậc hai ẩn , để tính được theo thì phải là một bình phương đúng. Muốn vậy thì phương trình phải có nghiệm kép Vậy lấy phương trình nhân với và cộng vế với phương trình thì thu được : Xem đây là phương trình bậc hai ẩn thì Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình ban đầu là Ví dụ : Giải hệ phương trình Xem lời giải tại đây. Ví dụ : Giải hệ phương trình Lời giải : Ta cần phối hợp hai phương trình của hệ để tạo một phương trình bậc hai có ẩn là . Nhân hai vế của với và cộng vế với thì được : Như vậy phương trình bậc hai cần tìm sẽ có ẩn là , muốn vậy thì Từ đó được phương trình . Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là Tham khảo : Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope |
