A. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng
Đây là kiến thức toán thuộc hình học lớp 10 khối THPT
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N( x; y). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:
d(N; Δ) = $\frac{{\left| {A{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ (1)
Xem thêm: Giải phương trình bậc 2
Cho điểm M( xM; yN) và điểm N( xN; yN) . Khoảng cách hai điểm này là:
MN = $\sqrt {{{\left( {{x_M} – {x_N}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} – {y_N}} \right)}^2}} $ (2)
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.
2. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng Δ: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ điểm Q (2; 1) tới đường thẳng Δ.
Lời giải chi tiết
Khoảng cách từ điểm Q tới đường thẳng Δ được xác định theo công thức (1):
d(N; Δ) = $\frac{{\left| { – 1.2 + 3.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$
Bài tập 2. Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ: $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$
Lời giải chi tiết
Ta đưa phương trình $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$ <=> 2x – 3y = 30 <=> 2x – 3y – 30 = 0 (*)
Phương trình (*) là dạng tổng quát.
Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ dựa theo công thức (1). Thay số:
d(P; Δ) = $\frac{{\left| {2.1 + \left( { – 3} \right).1 – 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }}$ = 8,6
Bài tập 3. Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2t + 3\\ y = 3t + 1 \end{array} \right.$
Lời giải chi tiết
Xét phương trình đường thẳng Δ, thấy:
- Đường thẳng Δ đi qua điểm Q( 3; 1)
- Vecto chỉ phương là $\overrightarrow u $ = ( 2; 3 ) nên vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n $ = ( 3; – 2 )
Phương trình Δ đưa về dạng tổng quát: 3(x – 3) – 2(y – 1) = 0 <=> 3x – 2y – 7 = 0
Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: d(P; Δ) = $\frac{{\left| {3.1 + \left( { – 2} \right).3 – 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }}$ = 2,77
B. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz
Đây là kiến thức hình học không gian thuộc toán học lớp 12 khối THPT:
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N( xN; yN; zN). Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?
Phương pháp
- Bước 1. Tìm điểm M( x; y; z) ∈ Δ
- Bước 2: Tìm vecto chỉ phương ${\overrightarrow u }$ của Δ
- Bước 3: Vận dụng công thức d(N; Δ) = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$
2. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Một điểm A(1;1;1) không thuộc đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$. Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Lời giải chi tiết
Từ phương trình đường thẳng Δ ta suy ra vecto chỉ phương: ${\vec u_\Delta }$ = (1;2;1)
Lấy điểm B( 0; 1; -1)∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = ( – 1;0; – 2) => $[\overrightarrow {AB} ,\vec u]$ = (4; – 1; – 2).
Khi này: d(A; Δ) = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Bài tập 2. Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và 1 điểm có toạn độ A(1; 1; 1). Gọi M là điểm sao cho M ∈ Δ. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM?
Lời giải chi tiết
Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ => $A{M_{\min }} = d(A;\Delta ).$
Xem thêm: Công thức tính tổng cấp số nhân
Đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ => vtcp ${\vec u_\Delta }$ = (1;2;1).
Lấy điểm B( 0; 1; -1)∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = ( – 1;0; – 2) => $[\overrightarrow {AB} ,\vec u]$ = (4; – 1; – 2).
Khi này ta áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d(A; Δ) = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$$\Rightarrow A{M_{\min }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Bài tập 3. Một đường thằng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và hai điểm M( 1; 1; 1), N( 0 ; 1;-1) nằm trong không gian Oxyz. Giả sử hình chiếu của M xuống đường thẳng Δ là P. Hãy tính diện tích của tam giác MPB
Lời giải chi tiết
Từ phương trình đường thẳng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng có dạng ${\vec u_\Delta }$ = (1; 2; 1)
Chọn điểm Q ( 2; 5; 1) ∈ Δ => $\overrightarrow {MQ} $ = (1; 4; 0) => $\left[ {\overrightarrow {MQ} ,\overrightarrow u } \right]$ = (4; -1; – 2).
Lúc đó: d(M; Δ) = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MQ} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$
$ \Rightarrow MP = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Ta lại thấy N ∈ Δ => ΔMNP vuông tại P => $\sqrt {M{N^2} – M{P^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$
Vậy $S = \frac{1}{2}MP.PN = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.$
Hy vọng rằng bài viết tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng này sẽ giúp ích cho bạn trong học tập cũng như thi cử. Đừng quên truy cập toanhoc.org để có thể cập nhật cho mình thật nhiều tin tức hữu ích nhé.
Cơ sở lý thuyết
Trong không gian Oxyz có điểm P(a; b; c) không thuộc mặt phẳng (α), biết rằng mặt phẳng này có phương trình (α): Ax + By + Cz + D = 0. Để tính khoảng cách từ điểm P(a; b; c) tới mặt phẳng (α) ta sử dụng công thức:
Xem thêm: Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian
d(P, (α)) = $\frac{{\left| {a.A + b.B + c.C + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$
Bài tập có lời giải
Bài tập 1.Trong không gian có mặt phẳng (α): x – 2y + 3z – 4 = 0. Hãy tìm khoảng cách từ P(1; 1; 1) tới mặt phẳng (α)?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên: d(P, (α)) = $\frac{{\left| {1.1 + 1.\left( { – 2} \right) + 1.\left( 3 \right) – 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{7}$
Kết luận: d(P, (α)) = $\frac{{\sqrt {14} }}{7}$
Bài tập 2. Cho mặt phẳng (α): x + y + z – 9 = 0. Một điểm P nằm trên trục tọa độ Oz thuộc hệ trục Oxyz, cách (α) là 5. Hãy tìm tọa độ của M?
Xem thêm: Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều
Hướng dẫn giải
Vì P thuộc Oz nên nó có tọa độ là P( 0; 0; z).
Theo công thức khoảng cách ở trên: d(P, (α)) = 5
$5 = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 1.z – 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow z = 5\sqrt 3 + 9$
Kế luận: P( 0; 0; $5\sqrt 3 + 9$)
Bài tập 3. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O của hệ trục Oxyz tới mặt phẳng (Q): 2x – 3y – 5z + 2 = 0
Hướng dẫn giải
Gốc tọa độ của hệ trục Oxyz có tọa độ O(0; 0; 0)
Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên: d(O, (Q)) = $\frac{{\left| {2.0 + \left( { – 3} \right).0 + \left( { – 5} \right).0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2} + {{\left( { – 5} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {38} }}{{19}}$
Bài tập 4. Một mặt phẳng (α): – x + 2y + 3z – 4 = 0. Biết khoảng cách từ mp (α) tới P thuộc trục Ox là 2. Hãy xác định tọa độ điểm P.
Xem thêm: Tính đơn điệu của hàm số
Hướng dẫn giải
Vì P thuộc Ox nên nó có tọa độ P(x; 0; 0)
Theo đề bài: d(P, (α)) = 2
Áp dụng công thức tính khoảng cách: 2 = $\frac{{\left| {\left( { – 1} \right).x + 2.0 + 3.0 – 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}} }} \Leftrightarrow x = 2\sqrt {14} – 4$
Vậy P( $2\sqrt {14} – 4$; 0; 0)
Bài viết khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng tạm dừng ở đây. Với mong muốn mỗi bài viết sẽ giúp bạn hiểu và vận dụng thành thạo công thức nên nếu còn thắc mắc hay góp ý hãy để lại và Toanhoc.org sẽ giúp bạn giải quyết.