Không gian afin và hình học afin

Chương 1Không gian affine và phẳng1.1 Không gian affineHình học cổ điển trong chương trình phổ thông trung học (PTTH) được xây dựng với các đốitượng cơ bản là điểm, đường thẳng, mặt phẳng và một hệ tiên đề qui định những mối “quan hệ”ban đầu giữa chúng. Hình học định nghĩa theo cách này có ưu điểm là trực quan, dễ trình bàyvà phù hợp với khả năng tiếp thu cũng như trình độ của học sinh PTTH, nhưng có nhược điểmlà sẽ gặp khó khăn khi mở rộng cho trường hợp nhiều chiều vì sẽ có quá nhiều đối tượng cơ bản(các phẳng) và theo đó chắc chắn sẽ là một hệ thống tiên đề phức tạp. Hơn nữa nhiều chứng minhtrong hình học cổ điển thường đòi hỏi sự khôn ngoan, mưu mẹo và thường không có phương phápthống nhất. Sau các thành tựu của đại số và nhất là của Đại số tuyến tính, người ta đã tìm thấymột cách trình bày lại hình học cổ điển đơn giản hơn, dưới dạng tổng quát hơn và có phương phápnghiên cứu một cách thống nhất (phương pháp tọa độ). Hình học affine được xây dựng với chỉ haiđối tượng cơ bản là điểm, vector cùng với 8 tiên đề về vector và hai tiên đề về điểm. Các chứngminh trong hình học affine đa số ngắn gọn và chủ yếu sử dụng các thành tựu của Đại số tuyếntính. Các khái niệm như các phẳng (đường thẳng và mặt phẳng là các phẳng 1-chiều và 2-chiều)sẽ có định nghĩa của chúng. Có thể có những định nghĩa khác nhau (nhưng tương đương) về mộtkhông gian affine (Bài tập ?? là một ví dụ) nhưng định nghĩa dưới đây là một định nghĩa kinhđiển được trình bày trong hầu hết các giáo trình về Hình học affine ở Việt Nam.1.1.1 Không gian affineĐịnh nghĩa 1. Cho V là một không gian vector trên trường K và A là một tập hợp khác rỗngmà các phần tử của nó được gọi là điểm. Các vector, để thuận tiện cho việc trình bày cũng nhưđể có tính trực quan, thường được ký hiệu bằng các chữ thường với một mũi tên ở bên trên như−→x ,−→y , . . . ,−→u ,−→v . . . ; còn các điểm thường được ký hiệu bằng các chữ hoa A, B, C . . . , M, N, P, . . . .Giả sử có ánh xạΦ : A × A −→ V(M, N) −→ Φ(M, N)thoả mãn hai điều kiện sau:1Hình học affine và Euclid1. với điểm M ∈ A và vector−→v ∈ V, có một và chỉ một điểm N ∈ A sao cho Φ(M, N) =−→v ;2. với ba điểm M, N, P tuỳ ý của A ta luôn luôn cóΦ(M, N) + Φ(N, P ) = Φ(M, P ).Khi đó ta nói A là một không gian affine, hay đầy đủ hơn A là không gian affine trên trường Kliên kết với không gian vector V bởi ánh xạ liên kết Φ.V được gọi là không gian vector liên kết với (hay không gian nền của) A và thường được ký hiệulại là−→A . Còn Φ được gọi là ánh xạ liên kết và để thuận tiện cũng như trực quan hơn ta thay kýhiệu Φ(M, N) bằng−−→MN. Khi đó các điều kiện trong định nghĩa có thể được viết lại như sau:1. ∀M ∈ A, ∀−→v ∈−→A ; ∃! N ∈ A,−−→MN =−→v ;2. ∀M, N, P ∈ A;−−→MN +−−→NP =−−→MP .Đẳng thức trong điều kiện 2 của định nghĩa được gọi là hệ thức Chasles.Khi K = R, ta nói A là một không gian affine thực. Khi K = C, ta nói A là một không gian affinephức.Đôi khi ta nói A là một K-không gian affine để nhấn mạnh về trường K.(A,−→A , Φ) là ký hiệu đầy đủ của một không gian affine. Trong trường hợp không có điều gì gâynhầm lẫn, để đơn giản ta chỉ ghi vắn tắt là A(K) hoặc A.Khi−→A là không gian vector n-chiều thì ta nói A là không gian affine n-chiều và dùng ký hiệu Anđể nhấn mạnh về số chiều của A. Ký hiệu số chiều của A là dim A. Như vậydim A = dim−→A .Trong giáo trình này, nếu không nói gì thêm thì không gian affine là không gian affine n-chiềuvà trường K sẽ là trường số thực R hoặc là trường số phức C. Tuy vậy, một số chương như cácchương liên quan đến siêu mặt bậc hai chỉ sẽ chú trọng đến việc trình bày trong không gian thực.Các vấn đề liên quan đến không gian phức sẽ được giới thiệu trong các phụ lục. Các không gianaffine trên một trường K tùy ý như K là trường hữu hạn, K là trường có đặc số khác không . sẽlà các đề tài dành cho sinh viên làm tiểu luận, niên luận, khóa luận hoặc đề tài nghiên cứu.1.1.2 Các ví dụVí dụ 1. Đối với hình học giải tích ở PTTH, chúng ta cần phân biệt không gian ba chiều thôngthường, là không gian chỉ gồm các điểm, ký hiệu là E3và không gian các vector “tự do”, ký hiệu là−→E3. Phép cọng vector và phép nhân vector với một số thực chứng tỏ−→E3là một không gian vector2Hình học affine và Euclidba chiều. Khi đó việc “vẽ” vector nối hai điểm A và B chính là ánh xạ liên kết Φ. Chúng ta có E3là một không gian affine liên kết với−→E3vì có thể kiểm tra dễ dàng ánh xạΦ : E3× E3−→−→E3(A, B) −→−→ABthoả mãn các điều kiện nêu trong Định nghĩa 1.Ví dụ 2. Cho V là không gian vector trên trường K. Ánh xạΦ : V × V −→ V(−→u ,−→v ) −→ Φ(−→u ,−→v ) :=−→v −−→urõ ràng là thoả mãn các điều kiện của Định nghĩa 1 nên V là không gian affine liên kết với chínhnó. Ta nói Φ xác định một cấu trúc affine chính tắc trên không gian vector V hay V là không gianaffine với cấu trúc affine chính tắc.Trường hợp đặc biệt, V = Kn= K × K · · · × K nlà một không gian affine n chiều với cấu trúc affinechính tắc.Với ví dụ này chúng ta thấy mỗi không gian vector là một không gian affine. Ngược lại chúng tacó thể đưa cấu trúc vector vào không gian affine A bằng cách chọn cố định một điểm O ∈ A vàđồng nhất mỗi điểm M ∈ A với vector−−→OM ∈−→A (xem Bài tập ??). Như vậy chúng ta thấy khônggian affine và không gian vector cùng chiều (ví dụ không gian nền của nó chẳng hạn) chỉ “khác”nhau ở “một điểm cố định”.Chú ý. Các bài tập ở mục này sẽ cho chúng ta thêm một số ví dụ về “chuyển cấu trúc affine”từ một không gian affine vào một không gian bất kỳ nhờ một song ánh; tích của hai không gianaffine (là một không gian affine); không gian affine thương và một định nghĩa khác (tương đươngvới Định nghĩa 1) của không gian affine v.v. . . .1.1.3 Một số tính chất đơn giản suy ra từ định nghĩaSau đây là một số tính chất đơn giản suy ra từ định nghĩa của không gian affine.Với mọi M, N, P, Q ∈ A, ta có1.−−→MN =−→0 khi và chỉ khi M = N,2.−−→MN = −−−→NM,3.−−→MN =−→P Q khi và chỉ khi−−→MP =−−→NQ,4.−−→MN =−−→P N −−−→P M.Chứng minh.3Hình học affine và Euclid1. Giả sử M = N. Theo hệ thức Chasles ta có−−→MM +−−→MM =−−→MM.Do đó−−→MM =−→0 .Ngược lại, nếu−−→MN =−→0 thì theo chứng minh trên ta cũng có−−→MM =−→0 . Do đó, theo điềukiện thứ nhất trong Định nghĩa 1, ta có M = N.2. Theo hệ thức Chasles ta có−−→MN +−−→NM =−−→MM =−→O .Do đó−−→MN = −−−→NM.3. Ta có−−→MN =−→P Q ⇔−−→MN +−−→NP =−−→NP +−→P Q ⇔−−→MP =−−→NQ.4. Suy ra từ hệ thức Chasles và tính chất 2. ✷1.2 Phẳng-Độc lập affine và phụ thuộc affine-Bao affine1.2.1 PhẳngPhẳng là khái niệm mở rộng theo số chiều của các khái niệm quen thuộc như điểm (0-chiều), đườngthẳng (1-chiều) và mặt phẳng (2-chiều). Trong E3, một đường thẳng d được hoàn toàn xác địnhnếu như chúng ta biết một điểm P ∈ d và một vector chỉ phương−→v của nó. Một mặt phẳng αđược hoàn toàn xác định nếu như chúng ta biết một điểm P ∈ α và một cặp vector chỉ phương{−→u ,−→v } của nó. Chúng ta có thể mô tả đường thẳng d và mặt phẳng α như saud = {M ∈ E3:−−→P M = a−→v ; a ∈ R},α = {M ∈ E3:−−→P M = a−→u + b−→v ; a, b ∈ R}.Theo cách mô tả này, định nghĩa sau đây hoàn toàn tự nhiênĐịnh nghĩa 2. Cho (A,−→A , Φ) là một không gian affine, P là một điểm thuộc A và−→α là mộtkhông gian vector con của−→A . Tập hợpα = {M ∈ A :−−→P M ∈−→α }gọi là phẳng đi qua P với (không gian chỉ) phương−→α .Nếu dim−→α = m, ta nói α là một phẳng m-chiều hay một m-phẳng và viết dim α = m. Như vậydim α = dim−→α .4Hình học affine và EuclidPMvHình 1.1: Đường thẳng được xác định bởi mộtđiểm và một vector chỉ phương.PMabHình 1.2: Mặt phẳng được xác định bởi mộtđiểm và một cặp vector chỉ phương.Theo cách gọi thông thường, 1-phẳng là đường thẳng, còn 2-phẳng là mặt phẳng. Siêu phẳng là têngọi của phẳng có đối chiều 1, tức là nếu số chiều của không gian là n thì số chiều của siêu phẳngsẽ là n − 1.Nhận xét.1. Nếu α là phẳng đi qua điểm P thì P ∈ α và ∀M, N ∈ α, vector−−→MN =−−→P N −−−→P M ∈−→α .2. 0-phẳng là tập chỉ gồm một điểm. Do đó ta có thể xem một điểm là một 0-phẳng.3. Điểm P trong định nghĩa của phẳng α không đóng vai trò gì đặc biệt so với các điểm kháccủa α, điểm P bình đẳng với mọi điểm của α. Điều này có nghĩa là:∀Q ∈ α; α = {M ∈ A :−−→QM ∈−→α }.4. Giả sử α là phẳng đi qua P với phương−→α và β là phẳng đi qua Q với phương−→β . Khi đóα ⊂ β khi và chỉ khi P ∈ β và−→α ⊂−→β .Từ đó suy ra α ≡ β khi và chỉ khi P ∈ β (hay Q ∈ α) và−→α ≡−→β .5. Nếu α là phẳng với phương−→α thì α là không gian affine liên kết với−→α bởi ánh xạ liên kếtΦ|α×α: α × α −→−→α .Chính vì thế chúng ta có thể xem phẳng là không gian affine con.Để xác định phương−→α của một m-phẳng α chúng ta chỉ cần biết một cơ sở của−→α là đủ. Chính vìthế ở PTTH người ta dùng các khái niệm vector chỉ phương của một đường thẳng và cặp vectorchỉ phương của một mặt phẳng thay cho khái niệm không gian chỉ phương của chúng.Do đó, trong trường hợp nhiều chiều chúng ta có thể dùng tên gọi hệ vector chỉ phương để chỉ mộtcơ sở của không gian chỉ phương. Có điều đáng chú ý là một m-phẳng chỉ có một không gian chỉphương duy nhất nhưng có vô số hệ vector chỉ phương khác nhau.5Hình học affine và Euclid1.2.2 Độc lập affine và phụ thuộc affineCác khái niệm độc lập affine và phụ thuộc affine trong Hình học affine là các khái niệm tương tựcác khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính trong Đại số tuyến tính.1.2.3 Độc lập affine và phụ thuộc affineĐịnh nghĩa 3. Hệ m+ 1 điểm {A0, A1, . . . , Am} (m ≥ 1) của không gian affine A được gọi là độclập affine nếu hệ m vector {−−−→A0A1,−−−→A0A2, . . . ,−−−→A0Am} của−→A là một hệ vector độc lập tuyến tính.Hệ điểm không độc lập affine gọi là phụ thuộc affine.Chú ý.1. Trong giáo trình này, cũng như trong một số các giáo trình về ĐSTT, khái niệm hệ vectorkhác với khái niệm tập hợp, mặc dù dùng ký hiệu như nhau. Trong một số giáo trình khác,nhiều tác giả sử dụng ký hiệu ( ) để chỉ một hệ vector.2. Đối với hệ các điểm, đôi khi chúng ta sẽ nói vắn tắt độc lập và phụ thuộc thay cho cụm từđộc lập affine và phụ thuộc affine. Còn khi nói về hệ các vector thì các cụm từ độc lập vàphụ thuộc sẽ thay cho độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.3. Tập gồm chỉ một điểm A0bất kỳ (trường hợp m = 0) luôn được qui ước là độc lập.4. Trong định nghĩa trên điểm A0bình đẳng như các điểm khác vì dễ chứng minh rằng (chứngminh xin dành cho bạn đọc), hệ {−−−→A0A1,−−−→A0A2, . . . ,−−−→A0Am} độc lập tuyến tính khi và chỉ khihệ vector{−−−→AiA0, . . . ,−−−−→AiAi−1,−−−−→AiAi+1, . . . ,−−−→AiAm}, i ∈ {1, 2, , m}độc lập tuyến tính.5. Hệ {A0, A1, . . . , Am} phụ thuộc affine khi và chỉ khi hệ vector {−−−→A0A1,−−−→A0A2, . . . ,−−−→A0Am} phụthuộc tuyến tính.6. Hệ con của một hệ độc lập là độc lập, còn hệ con của một hệ phụ thuộc thì chưa chắc đãphụ thuộc.Ví dụ 3. 1. Hệ hai điểm {P, Q} trong A là độc lập khi và chỉ khi P = Q.2. Hệ ba điểm {P, Q, R} trong A là độc lập khi và chỉ khi chúng không thuộc một đường thẳng(không thẳng hàng).3. Hệ bốn điểm {P, Q, R, S} trong A là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc mộtmặt phẳng (không đồng phẳng).4. Tổng quát, hệ m + 1 điểm {A0, A1, , Am} trong A là độc lập khi và chỉ khi chúng khôngcùng thuộc một (m − 1)-phẳng.6Hình học affine và EuclidĐịnh lý 1.2.1. Trong không gian affine n chiều An, với 0 < m ≤ n + 1, luôn tồn tại các hệ mđiểm độc lập. Mọi hệ gồm hơn n + 1 điểm đều phụ thuộc.Chứng minh. Giả sử {−→e1,−→e2, . . . ,−→en} là một cơ sở nào đó của−→An. Lấy A0∈ An. Khi đó tồn tạiduy nhất các điểm Aisao cho−−−→A0Ai=−→ei, i = 1, 2, . . . , n.Theo định nghĩa, hệ {A0, A1, A2, . . . , An} là hệ gồm n + 1 điểm độc lập. Khi đó, dĩ nhiên hệ{A0, A1, A2, . . . , Am−1}, với 0 < m ≤ n + 1, là hệ gồm m điểm độc lập.Nếu hệ {B0, B1, B2, . . . , Bp} gồm hơn n + 1 điểm, tức là p > n, thì hệ {−−−→B0B1,−−−→B0B2, . . . ,−−−→B0Bp}là hệ có nhiều hơn n vector nên phụ thuộc tuyến tính. Theo định nghĩa, hệ gồm p + 1 điểm{B0, B1, B2, . . . , Bp} phụ thuộc affine. ✷1.2.4 Giao của các phẳng-Bao affineCho {αi: i ∈ I} là một họ không rỗng các phẳng trong không gian affine A.Định lý 1.2.2. Nếui∈Iαi= ∅ thìi∈Iαilà một phẳng có phương lài∈I−→αi.Chứng minh. Vìi∈Iαi= ∅ nên tồn tại P ∈i∈Iαi. Điểm M ∈i∈Iαikhi và chỉ khiM ∈ αi, ∀i ∈ I; tức là khi và chỉ khi−−→P M ∈−→αi, ∀i ∈ I. Điều này tương đương với−−→P M ∈i∈I−→αi.Nói cách kháci∈Iαi= {M ∈ A :−−→P M ∈i∈I−→αi},nghĩa lài∈Iαilà phẳng đi qua P với không gian chỉ phương lài∈I−→αi. ✷Định nghĩa 4. Phẳngi∈Iαitrong Định lý 1.2.2 được gọi là phẳng giao của các phẳng αi.Từ định nghĩa trên, chúng ta dễ nhận thấy rằngi∈Iαichính là phẳng lớn nhất (theo quan hệbao hàm) chứa trong tất cả các phẳng αi, i ∈ I.Định nghĩa 5. Cho X là một tập con khác rỗng của không gian affine A. Khi đó giao của mọiphẳng chứa X trong A sẽ là một cái phẳng, gọi là bao affine của X, ký hiệu X.Bao affine X của tập X là cái phẳng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa X.Định nghĩa 6. Cho {αi: i ∈ I} là một họ không rỗng các phẳng. Bao affine của tập hợpi∈Iαiđược gọi là phẳng tổng (hay vắn tắt tổng) của các phẳng αi, ký hiệui∈Iαi.Như vậy phẳng tổng là phẳng bé nhất (có số chiều bé nhất) chứa tất cả các αi, i ∈ I.Khi I là tập hữu hạn, chẳng hạn I = {1, 2, . . . , m} thì ta viết α1+ α2+ . . . + αmhaymi=1αiđểbiểu thị cho tổng của các phẳng αi, thay choi∈Iαi.7Hình học affine và EuclidDễ thấy rằng nếu X là một hệ hữu hạn điểm, X = {P0, P1, . . . , Pm}, thì tổng P0+ P1+ . . . + Pm(xem các Pilà các 0-phẳng) là phẳng có số chiều bé nhất đi qua các điểm này. Hơn nữa dim(P0+P1+ . . . + Pm) = rank{−−→P0P1,−−→P0P1, . . .−−−→P0Pm}. Do đó, nếu hệ điểm {P0, P1, . . . , Pm} độc lập thìdim(P0+ P1+ . . . + Pm) = m.Chứng minh nhận xét này xin dành cho bạn đọc.Định lý 1.2.3. Cho α và β là hai cái phẳng. Nếu α ∩ β = ∅ thì với mọi điểm P ∈ α và vớimọi điểm Q ∈ β ta có−→P Q ∈−→α +−→β . Ngược lại nếu có điểm P ∈ α và có điểm Q ∈ β sao cho−→P Q ∈−→α +−→β thì α ∩ β = ∅.Chứng minh. Giả sử α ∩ β = ∅. Lấy điểm M ∈ α ∩ β. Khi đó với mọi điểm P ∈ α và với mọiđiểm Q ∈ β, ta có−−→P M ∈−→α và−−→MQ ∈−→β . Do đó−→P Q =−−→P M +−−→MQ ∈−→α +−→β .Ngược lại giả sử có điểm P ∈ α và có điểm Q ∈ β sao cho−→P Q ∈−→α +−→β . Do−→P Q ∈−→α +−→β nên−→P Q =−→u +−→v ; với−→u ∈−→α ,−→v ∈−→β .Khi đó tồn tại duy nhất điểm M ∈ α và tồn tại duy nhất điểm N ∈ β sao cho−−→P M =−→u và−−→QN = −−→v . Do đó,−→P Q =−−→P M −−−→QN hay−→P Q +−−→QN =−−→P N =−−→P M nên N ≡ M, tức làα ∩ β = ∅. ✷Chúng ta có định lý sau nói về số chiều của tổng hai cái phẳng, tương tự như định lý nói về sốchiều của tổng hai không gian vector con.Định lý 1.2.4. Giả sử α và β là hai cái phẳng với phương lần lượt là−→α và−→β . Khi đó1. nếu α ∩ β = ∅ thìdim(α + β) = dim α + dim β − dim(α ∩ β);2. nếu α ∩ β = ∅ thìdim(α + β) = dim α + dim β − dim(−→α ∩−→β ) + 1.Chứng minh.1. Nếu α ∩ β = ∅ thì theo Định lý 1.2.2, α ∩ β là phẳng có phương−→α ∩−→β . Lấy P ∈ α ∩ β vàgọi γ là phẳng đi qua P với phương−→γ =−→α +−→β . Rõ ràng là α ⊂ γ và β ⊂ γ. Ngoài ra nếucó phẳng γchứa α và β thì P ∈ γvà phương của γphải chứa−→α và−→β . Nói cách khác tacó γ ⊂ γ. Vậy γ là phẳng bé nhất chứa α và β, tức là γ = α + β. Do đódim(α + β) = dim γ = dim−→γ = dim(−→α +−→β )= dim−→α + dim−→β − dim(−→α ∩−→β )= dim α + dim β − dim(α ∩ β).8Hình học affine và Euclid2. Giả sử α ∩ β = ∅. Lấy P ∈ α và Q ∈ β, theo Định lý 1.2.3 ta có−→P Q ∈−→α +−→β . Gọi−→γ làkhông gian con một chiều sinh bởi−→P Q, ta có (−→α +−→β ) ∩−→γ = {−→0 }. Gọi η là phẳng đi quaP với phương là−→α +−→β +−→γ thì rõ ràng α ⊂ η và β ⊂ η. Do đó α + β ⊂ η.Ngoài ra nếu ηlà phẳng chứa α và β thì P ∈ ηvà phương−→ηcủa ηphải chứa−→α ,−→β và−→γ .Do đó η ⊂ η. Từ đây suy ra rằng η là cái phẳng bé nhất chứa cả α và β, hay nói cách khácη = α + β.Do dim((−→α +−→β ) ∩−→γ ) = 0 nên ta códim(α + β) = dim η= dim(−→α +−→β +−→γ )= dim−→α + dim−→β + dim−→γ − dim(−→α ∩−→β )= dim α + dim β + 1 − dim(−→α ∩−→β ).✷1.3 Vị trí tương đốiMục này nêu các định nghĩa về các vị trí tương đối có thể xảy ra giữa hai phẳng như cắt nhau,chéo nhau và song song. Cần phải chú ý là các định nghĩa nêu ở mục này không hoàn toàn giốngnhư ở các định nghĩa tương tự ở PTTH. Các ví dụ ngay sau định nghĩa sẽ giúp chúng ta thấy rõsự khác nhau này. Lý do chọn các định nghĩa như thế này là để các phát biểu liên quan đến cácvị trí tương đối giữa các phẳng được phát biểu một cách đơn giản và ngắn gọn hơn. Cũng có thểtrình bày các định nghĩa sao cho phù hợp với các định nghĩa đã biết ở PTTH. Vấn đề này đượcđưa vào phần bài tập (xem Bài tập ??).Định nghĩa 7. Hai phẳng α và β được gọi là cắt nhau cấp r nếu α ∩ β là một r - phẳng. Chúngđược gọi là chéo nhau cấp r nếu α ∩ β = ∅ và dim(−→α ∩−→β ) = r. Chúng được gọi là song song (vớinhau) nếu−→α ⊂−→β hoặc−→β ⊂−→α .Ví dụ 4. Xét trong không gian 3 chiều thông thường E3.1. Hai đường thẳng “cắt nhau theo nghĩa ở PTTH” là hai 1-phẳng cắt nhau cấp 0. Tổng củachúng là mặt phẳng duy nhất xác định bởi hai đường thẳng đó.2. Hai mặt phẳng “cắt nhau theo nghĩa ở PTTH” là hai 2-phẳng cắt nhau cấp 1. Tổng củachúng chính là E3.3. Hai đường thẳng “song song theo nghĩa ở PTTH” là hai 1-phẳng song song. Chúng cũng làhai 1-phẳng chéo nhau cấp 1. Tổng của chúng chính là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.4. Tương tự, hai mặt phẳng “song song theo nghĩa ở PTTH” là hai 2-phẳng song song. Chúngcũng là hai 2-phẳng chéo nhau cấp 2.5. Hai đường thẳng “chéo nhau theo nghĩa ở PTTH” là hai 1-phẳng chéo nhau cấp 0. Tổng củachúng chính là E3.9Hình học affine và EuclidHình 1.3: Hai mặt phẳng song song hay haimặt phẳng chéo nhau cấp 2.dHình 1.4: Đường thẳng song song với mặtphẳng hay đường thẳng và mặt phẳng chéonhau cấp 1.6. Theo Định lý 1.2.4, trong E3không tồn tại hai mặt phẳng chéo nhau cấp 0 hoặc cấp 1.Định lý 1.3.1. Cho hai phẳng song song α và β. Nếu α ∩ β = ∅ thì α ⊂ β hoặc β ⊂ α.Chứng minh.Do α và β có điểm chung nên giao α ∩ β là một phẳng với phương−→α ∩−→β . Do α và β song songnên−→α ⊂−→β hoặc−→β ⊂−→α . Nếu−→α ⊂−→β thì α ∩ β = α tức là α ⊂ β. Nếu−→β ⊂−→α thì α ∩ β = β,tức là β ⊂ α. ✷Định lý 1.3.2. Qua một điểm A có một và chỉ một m-phẳng song song với m-phẳng α đã cho.Chứng minh. Gọi β là m-phẳng đi qua A với phương là−→α . Khi đó β là phẳng m-chiều songsong với α. Nếu βcũng là m-phẳng đi qua A và song song với α thì suy ra−→β=−→β (=−→α ). Do βvà βcó điểm chung nên theo Định lý 1.3.1 ta suy ra β ≡ β. ✷Hình 2.Định lý 1.3.3. Trong không gian affine n chiều Ancho một siêu phẳng α và một m-phẳngβ (1 ≤ m ≤ n − 1). Khi đó α và β hoặc song song hoặc cắt nhau theo một (m − 1)-phẳng.Chứng minh. Nếu β ⊂ α thì theo định nghĩa ta có α và β song song.Nếu β ⊂ α, thì α + β = A. Ta có hai trường hợp.10Hình học affine và EuclidHình 1.5: Hai mặt phẳng cắt nhau cấp 1.dHình 1.6: Đường thẳng thuộc mặt phẳng hayđường thẳng và mặt phẳng cắt nhau cấp 1.1. Trường hợp 1: α ∩ β = ∅. Áp dụng công thức 1 của Định lý 1.2.4 ta códim A = dim α + dim β − dim(α ∩ β),hayn = n − 1 + m − dim(α ∩ β).Suy ra dim(α ∩ β) = m − 1.Vậy α và β cắt nhau theo một (m − 1)-phẳng (cắt nhau cấp m − 1).2. Trường hợp 2: α ∩ β = ∅. Áp dụng công thức 2 của Định lý 1.2.4 ta cón = n − 1 + m + 1 − dim(−→α ∩−→β ).Suy ra dim(−→α ∩−→β ) = m. Điều này chứng tỏ−→α ∩−→β =−→β , hay−→β ⊂−→α , tức α và β songsong. ✷1.4 Mục tiêu affine-Phương trình của phẳngTrong mục này chúng ta sẽ đưa vào không gian affine một “hệ tọa độ”. Nhờ có “hệ tọa độ” này cácđối tượng hình học như điểm, phẳng và sau này là siêu mặt bậc hai v.v. . . sẽ được đồng nhất vớiđối tượng đại số như tọa độ (phần tử của Kn), phương trình, hệ phương trình đại số . . . . Nhờ vậy,chúng ta có thể áp dụng Đại số tuyến tính vào việc nghiên cứu các đối tượng hình học (phương11Hình học affine và Euclidpháp tọa độ trong hình học). Bắt đầu từ đây chúng ta sẽ thấy dần vai trò của Đại số tuyến tínhtrong việc nghiên cứu hình học affine. Đại số tuyến tính cũng đóng vai trò chính trong việc xâydựng và nghiên cứu Hình học xạ ảnh. Điều này giải thích lý do Hình học affine cùng với Hình họcxạ ảnh, trong chương trình Hình học dành cho Sinh viên Sư phạm Toán, được gọi chung một cáitên là Hình học tuyến tính. Chúng ta sẽ thấy nhiều kết quả của Hình học affine (và sau này là cáckết quả trong Hình học xạ ảnh) chính là các kết quả của Đại số tuyến tính được “trình bày" lạitheo ngôn ngữ hình học.1.4.1 Mục tiêu và tọa độ affineTrong Hình học giải tích ở PTTH hai hệ tọa độ thường được dùng là hệ tọa độ Descartes, hệ tọađộ gồm 1 điểm gốc O và một hệ các vector trực chuẩn; hệ tọa độ trực giao, hệ tọa độ gồm 1 điểmgốc O và một hệ các vector trực giao. Hệ tọa độ affine (hệ tọa độ xiên), ít được thấy giới thiệutrong các sách của PTTH.Định nghĩa 8. Cho Anlà một không gian affine n chiều. Hệ {O;−→e1,−→e2, . . . ,−→en}, gồm một điểmO ∈ Anvà một cở sở {−→e1, . . . ,−→en} của−→An, được gọi là một mục tiêu affine (hay vắn tắt mục tiêu)của An. Điểm O được gọi là gốc, vector−→eiđược gọi là vector cơ sở thứ i, i = 1, 2, , n.Để chỉ mục tiêu {O;−→e1,−→e2, . . . ,−→en} thường chúng ta sẽ viết {O;−→ei}i=1,2, ,nhay đơn giản hơn nữalà {O;−→ei}.Giả sử {O;−→ei} là một mục tiêu của không gian affine An. Khi đó với mọi M ∈ An, vector−−→OM ∈−→An, nên ta có biểu diễn tuyến tính của−−→OM qua cơ sở {−→ei}:−−→OM =ni=1xi−→ei.Điều này có nghĩa là vector−−→OM có tọa độ (x1, x2, . . . , xn) đối với cơ sở {−→ei}, xi∈ K, i = 1, 2, . . . , n.Khi đó bộ (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn, viết tắt (xi), cũng được gọi là tọa độ của M đối với (hay trong)mục tiêu {O;−→ei} và xiđược gọi là tọa độ thứ i của M. Để chỉ điểm M có tọa độ (xi) đối với mụctiêu {O;−→ei}, ta thường dùng một trong các ký hiệuM(x1, x2, . . . , xn)/{O;−→ei}hoặc M(xi)/{O;−→ei}.Tuy nhiên nếu không có gì gây nhầm lẫn, ta chỉ viếtM(x1, x2, . . . , xn) hay M(xi).Giả sử M có tọa độ (xi) và N có tọa độ (yi) đối với mục tiêu affine {O;−→ei}, ta có−−→MN =−−→ON −−−→OM =ni=1yi−→ei−ni=1xi−→ei=ni=1(yi− xi)−→ei.Hay vector−−→MN có tọa độ (yi− xi) đối với cơ sở {−→ei}.12Hình học affine và EuclidNhư vậy, “tọa độ của vector bằng tọa độ của điểm ngọn trừ đi tọa độ của điểm gốc”.Nhận xét.1. Giả sử trên Anđã chọn mục tiêu cố định {O;−→ei}. Xét ánh xạϕ : A −→ KnM −→ (xi)với (xi) là tọa độ của M đối với mục tiêu affine {O;−→ei}. Ta có ϕ là một song ánh. Ánh xạnày cho phép đồng nhất mỗi điểm của A với một phần tử của Knvà nhờ đó sau này các đốitượng hình học sẽ được đồng nhất với các đối tượng đại số.2. Xét mục tiêu affine {O;−→ei} của Anvà gọi Ei∈ An, i = 1, , n là các điểm sao cho−−→OEi=−→ei.Khi đó hệ điểm {O, E1, E2, . . . , En} là hệ điểm độc lập affine. Ngược lại một hệ gồm n + 1điểm {O, E1, E2, . . . , En} độc lập xác định mục tiêu affine {O;−→ei} với−→ei=−−→OEi. Do đóta cũng gọi một hệ n + 1 điểm độc lập trong Anlà một mục tiêu affine và dùng ký hiệu{O; E1, E2, . . . , En} hoặc {O; Ei}i=1,2, ,nhoặc {O; Ei} để chỉ một mục tiêu với điểm gốc là O.Theo định nghĩa ta có điểm O có tọa độ (0, 0, . . . , 0) và điểm Eicó tọa độ (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0),số 1 đứng ở vị trí thứ i, đối với mục tiêu affine {O;−→Ei}.3. Siêu phẳng đi qua n điểm độc lập O, E1, E2, . . . , Ei−1, Ei+1, . . . , Enđược gọi là siêu phẳngtọa độ thứ i. Dễ thấy điểm M thuộc siêu phẳng tọa độ thứ i khi và chỉ khi xi= 0, với xilàtọa độ thứ i của M.1.4.2 Công thức đổi mục tiêuGiả sử trong không gian affine Anta có hai mục tiêu affine khác nhau {O;−→ei} và {O,−→ei}. Mộtđiểm M ∈ Ansẽ có hai bộ tọa độ khác nhau (xi) và (xi) tương ứng đối với chúng. Vấn đề cầnquan tâm là tìm mối liên hệ giữa các bộ tọa độ này. Giả sử−−→OO=ni=1bi−→ei,và−→e1= c11−→e1+ c21−→e2+ . . . + cn1−→en−→e2= c12−→e1+ c22−→e2+ . . . + cn2−→en. . .−→en= c1n−→e1+ c2n−→e2+ . . . + cnn−→enhay viết gọn−→ej=ni=1cij−→ei, j = 1, 2, . . . , n. Điểm M có tọa độ trong hai mục tiêu đó theo thứtự là (xi) và (xi), có nghĩa là−−→OM =ni=1xi−→ei,−−→OM =nj=1xj−→ej.13Hình học affine và EuclidTa cóni=1xi−→ei=−−→OM =−−→OO+−−→OM =ni=1bi−→ei+nj=1xj−→ej=ni=1bi−→ei+nj=1xjni=1cij−→ei=ni=1(nj=1cijxj+ bi)−→ei.Do đó,xi=nj=1cijxj+ bi, i = 1, 2, . . . , n. (1.1)Công thức trên được viết dưới dạng tường minhx1= c11x1+ c12x2+ . . . + c1nxn+ b1x2= c21x1+ c22x2+ . . . + c2nxn+ b2. . .xn= cn1x1+ cn2x2+ . . . + cnnxn+ bn, (1.2)hay dưới dạng ma trận[x] = C[x] + [b], (1.3)vớiC =c11c12. . . c1nc21c22. . . c2n............cn1cn2. . . cnnlà ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở {−→ei} sang cơ sở {−→ei}, do đó C không suy biến (det C = 0) và[x] =x1x2...xn, [x] =x1x2...xn, [b] =b1b2...bn.Công thức (1.1) (hay (1.2), (1.3)) và ma trận C lần lượt được gọi là công thức đổi tọa độ (hay côngthức đổi mục tiêu) và ma trận đổi tọa độ (hay ma trận đổi mục tiêu) từ mục tiêu {O;−→ei} sangmục tiêu {O;−→ei}.Ví dụ 5. Trong không gian affine A cho mục tiêu {O;−→ei}. Giả sử Olà điểm có tọa độ (bi) đốivới mục tiêu {O;−→ei} và−→ei=−→e1+−→e2+ . . . +−→ei, i = 1, 2, . . . , n.1. Do ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở {−→ei} sang cơ sở {−→ei} là ma trận đơn vị nên công thức đổitọa độ từ mục tiêu {O;−→ei} sang mục tiêu {O;−→ei} có dạngxi= xi+ bi, i = 1, 2, . . . , n.14Hình học affine và Euclid2. Do ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở {−→ei} sang cơ sở {−→ei} là ma trậnC =1 1 . . . 10 1 . . . 1............0 0 . . . 1,nên công thức đổi tọa độ từ mục tiêu {O;−→ei} sang mục tiêu {O;−→ei} có dạngxi= xi+ xi+1+ . . . + xn, i = 1, 2, . . . , n,và công thức đổi tọa độ từ mục tiêu {O;−→ei} sang mục tiêu {O;−→ei} có dạngxi= xi+ xi+1+ . . . + xn+ bi, i = 1, 2, . . . , n.1.4.3 Phương trình của m-phẳngPhương trình tham số. Cho Anlà một không gian affine n chiều, với mục tiêu affine {O;−→ei}cho trước, và α là một m-phẳng đi qua điểm P với phương−→α , 0 < m < n. Giả sử−→OP =ni=1bi−→ei,và {−→a1,−→a2, . . . ,−→am} là một cở sở của−→α , với−→ap=ni=1aip−→ei; p = 1, 2, . . . , m.Điểm M có tọa độ (xi) đối với mục tiêu {O;−→ei} thuộc α khi và chỉ khi−−→P M ∈−→α , tức là khi vàchỉ khi có các phần tử tp∈ K, p = 1, 2, . . . , m sao cho−−→P M =mp=1tp−→ap.Ta có−−→P M =−−→OM −−→OP =ni=1xi−→ei−ni=1bi−→ei=ni=1(xi− bi)−→ei, (1.4)và ta cũng có−−→P M =ni=1tp−→ap=mp=1tpni=1aip−→ei=ni=1(mp=1aiptp)−→ei. (1.5)Nên từ (1.4) và (1.5) ta suy raxi=mp=1aiptp+ bi, i = 1, 2, . . . , n. (1.6)15Hình học affine và EuclidHệ phương trình (1.6) được viết dưới dạng tường minhx1= a11t1+ a12t2+ . . . + a1mtm+ b1x2= a21t1+ a22t2+ . . . + a2mtm+ b2. . .xn= an1t1+ an2t2+ . . . + anmtm+ bn, (1.7)hay dưới dạng ma trận[x] = A[t] + [b], (1.8)vớiA =a11a12. . . a1ma21a22. . . a2m............an1an2. . . anmlà ma trận có hạng bằng m và[x] =x1x2...xn, [t] =t1t2...tm, [b] =b1b2...bn.Hệ phương trình (1.6), (1.7) và (1.8) có thể viết dưới dạng vector−→x = t1−→a1+ t2−→a2+ . . . + tm−→am+−→b (1.9)với−→x là vector có tọa độ (x1, x2, . . . , xn) và−→b là vector có tọa độ (b1, b2, . . . , bn).Hệ phương trình (1.6) (hay (1.7), (1.8), (1.9)) được gọi là phương trình tham số của m-phẳng αcòn các phần tử tp, p = 1, 2, , m gọi là các tham số.Nhận xét.1. Ánh xạ M ∈ α → (t1, t2, , tm) ∈ Kmlà một song ánh từ α lên Km. Như vậy, mỗi điểmM ∈ α có thể đồng nhất với một bộ m số.2. Do hệ vector {−→a1,−→a2, . . . ,−→ap} độc lập nên ma trận A = (aip)n×mcó hạng bằng m.3. Ngược lại, dễ thấy một hệ phương trình dạng (1.6) (hay (1.7), (1.8), (1.9)) với hạng matrận hệ số A = (aip)n×mbằng m sẽ là phương trình của m-phẳng đi qua điểm P có tọa độ(b1, b2, . . . , bn) với không gian chỉ phương−→α có một cơ sở là {−→ap:−→ap=ni=1aip−→ei, p =1, 2, . . . , m}.Ví dụ 6. Phương trình tham số của một đường thẳng α trong không gian affine n chiều có dạngxi= ait + bi, i = 1, 2, . . . , n.Trong đó t là tham số, các phần tử a1, a2, . . . , ankhông đồng thời bằng 0 là các thành phần tọa độcủa vector chỉ phương−→a của α, (b1, b2, . . . , bn) là tọa độ của điểm P cho trước thuộc α còn (xi)là tọa độ của điểm tùy ý M ∈ α.16Hình học affine và EuclidPhương trình tổng quát. Trong không gian affine n chiều Ancho m-phẳng α có phương trìnhtham số (1.7). Nếu xem phương trình tham số của α là một hệ gồm n phương trình đối với m ẩnt1, t2, . . . , tmcòn các xi, i = 1, 2, . . . , n, là các hằng thì từ điều kiện ma trận hệ số A = (aip)n×mcó hạng là m ta có thể chọn trong n phương trình của hệ một hệ gồm m phương trình độc lập (cóđịnh thức của hệ khác không). Không mất tính tổng quát có thể giả sử đó là hệ gồm m phươngtrình đầu. Giải hệ m phương trình đó (là hệ Crammer) ta tìm được các nghiệm t1, t2, . . . , tm, biểuthị một cách duy nhất (do đó các tilà duy nhất) dưới dạng bậc nhất qua các x1, x2, . . . , xm. Thaym giá trị này của các tivào n − m phương trình còn lại ta thu được hệ phương trình dạngmj=1cijxj+ xm+i+ ci= 0, i = 1, 2, . . . , n − m. (1.10)Hay viết dưới dạng tường minhc11x1+ . . . + c1mxm+ xm+1+ c1= 0c21x1+ . . . + c2mxm+ xm+2+ c2= 0. . .c(n−m)1x1+ . . . + c(n−m)mxm+ xn+ cn−m= 0. (1.11)Ma trận hệ số của hệ phương trình (1.10) có hạng n − m vì có định thức con cấp n − m ứng vớicác ẩn xm+1, xm+2, . . . , xnlà1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0...............0 0 0 . . . 1= 1 = 0.Mỗi điểm thuộc m-phẳng α sẽ có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình trên và ngược lại.Tóm lại, mỗi m-phẳng trong không gian Anđược biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tínhcó hạng bằng n − m.Ta sẽ chứng minh điều ngược lại, mỗi hệ phương trình tuyến tính dạngc11x1+ . . . + c1nxn+ c1= 0c21x1+ . . . + c2nxn+ c2= 0. . .c(n−m)1x1+ . . . + c(n−m)nxn+ cn−m= 0, (1.12)với ma trận hệ số có hạng bằng n − m sẽ xác định một m-phẳng nào đó của An.Thật vậy, do hạng của ma trận hệ số bằng n − m nên hệ phương trình (1.12) luôn có nghiệm theoĐịnh lý Kronecker-Capelli. Gọi (b1, b2, . . . , bn) là một nghiệm của hệ và gọi (a1j, a2j, . . . , anj), j =1, 2, . . . , m là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng. ĐặtP (b1, b2, . . . , bn) ∈ Anvà−→aj(a1j, a2j, . . . , anj) ∈−→An; j = 1, 2, . . . , m. Hệ vector {−→aj} là hệ vectorđộc lập nên sinh ra một không gian con m-chiều−→α của−→An. Chú ý rằng mỗi vector−→u ∈−→α có tọađộ là nghiệm của hệ phương trình tuyến thuần nhất tương ứng. Gọi α là m-phẳng đi qua P vớiphương là−→α thì do mỗi nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là tổng của một nghiệm riêng vàmột nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng nên ta dễ dàng suy ra điểm17Hình học affine và EuclidM(xi) ∈ α khi và chi khi (xi) là nghiệm của hệ. Thật vậy, M ∈ α khi và chỉ khi−−→P M =−→u (ui) ∈−→α .Về phương diện tọa độ ta có(xi) − (bi) = (ui),hay(xi) = (bi) + (ui),tức là (xi) là một nghiệm của hệ.Như vậy, mỗi m-phẳng được đặc trưng bởi một hệ phương trình dạng (1.12) với ma trận hệ số cóhạng bằng n − m. Ta gọi hệ phương trình dạng (1.12) là phương trình tổng quát của m-phẳng.Ví dụ.1. Phương trình tổng quát của một siêu phẳng trong Anđối với một mục tiêu affine cho trướccó dạngni=1aixi+ b = 0, (1.13)trong đó các phần tử ai∈ K, i = 1, 2, . . . , n không đồng thời bằng không.Như vậy từ phương trình tổng quát của m-phẳng, ta có thể xem một m-phẳng là giao củan − m siêu phẳng (độc lập) nào đó.2. Phương trình tổng quát của siêu phẳng đi qua điểm P có tọa độ (b1, b2, . . . , bn) có dạngni=1ai(xi− bi) = 0, (1.14)trong đó các phần tử ai∈ K, i = 1, 2, . . . , n không đồng thời bằng không.3. Trong Anvới mục tiêu cho trước {O;−→ei}, cho n điểm độc lập A1, . . . , Anvới Aicó tọa độ(a1i, . . . , ani) đối mục tiêu đã cho. Gọi α là siêu phẳng đi qua A1, A2, . . . , An. Khi đó điểm Mcó tọa độ (x1, x2, . . . , xn) đối với mục tiêu {O;−→ei} thuộc α khi và chỉ khi vector−−−→A1M cùngvới các vector−−−→A1Ai, i = 2, 3, . . . , n lập thành một hệ phụ thuộc tuyến tính, tức là khi và chỉkhix1− a11x2− a21. . . xn− an1a12− a11a22− a21. . . an2− an1............a1n− a11a2n− a21. . . ann− an1= 0, (1.15)hay1 x1x2. . . xn1 a11a21. . . an1...............1 a1na2n. . . ann= 0. (1.16)Khai triển (1.16), ta được một phương trình tuyến tính bậc nhất đối với n biến x1, x2, , xn.Đây chính là phương trình tổng quát của siêu phẳng α.18Hình học affine và Euclid1.5 Tâm tỉ cự. Tỉ số đơn1.5.1 Tâm tỉ cựĐịnh nghĩa 9. Cho họ điểm {P1, P2, . . . , Pm} ⊂ Anvà họ hệ số {λ1, λ2, . . . , λm}, λi∈ K, thoảmãn điều kiệnλ := λ1+ λ2+ . . . + λm= 0.Lấy một điểm O tùy ý của An, khi đó1λ(λ1−−→OP1+ . . . + λm−−→OPm)là một vector xác định của An. Do đó tồn tại duy nhất một điểm G ∈ Ansao cho−→OG =1λ(λ1−−→OP1+ . . . + λm−−→OPm). (1.17)Ta gọi điểm G là tâm tỉ cự của họ {P1, P2, . . . , Pm} gắn với họ hệ số {λ1, λ2, . . . , λm}.Định lý 1.5.1. Điểm G là tâm tỉ cự của họ điểm {P1, P2, . . . , Pm} gắn với họ hệ số {λ1, λ2, . . . , λm}khi và chỉ khi G thoả mãn hệ thứcλ1−−→GP1+ λ2−−→GP2+ . . . + λm−−→GPm=−→0 . (1.18)Chứng minh. Thật vậy,−→OG =1λ(λ1−−→OP1+ . . . + λm−−→OPm)⇔(λ1+ λ2+ . . . + λm)−→OG = λ1−−→OP1+ . . . + λm−−→OPm⇔λ1(−→GO +−−→OP1) + . . . + λm(−→GO +−−→OPm) =−→0⇔λ1−−→GP1+ λ2−−→GP2+ . . . + λm−−→GPm=−→0 .✷Từ Định lý 1.5.1 ta dễ dàng chứng minh hai hệ quả sau.Hệ quả 1.5.2. Tâm tỉ cự không phụ thuộc vào điểm O được chọn mà chỉ phụ thuộc vào hệ điểm{P1, P2, . . . , Pm} và họ hệ số {λ1, λ2, . . . , λm}.Hệ quả 1.5.3. Khi thay họ hệ số {λ1, λ2, . . . , λm} bởi họ hệ số {kλ1, kλ2, . . . , kλm}, k = 0, thìtâm tỉ cự vẫn không thay đổi.Định nghĩa 10. Tâm tỉ cự G của {P1, P2, . . . , Pm} gắn họ hệ số {λ1, λ2, . . . , λm} với λ1= λ2=. . . = λm(theo Hệ quả 1.5.3 ta có thể chọn λ1= λ2= . . . = λm= 1) gọi là trọng tâm của hệ điểmđó.19Hình học affine và EuclidDễ thấy trọng tâm G được xác định bởi hệ thức−→OG =1mmi=1−−→OPi, (1.19)trong đó O ∈ A tùy ý, haymi=1−−→GPi=−→0 . (1.20)Trọng tâm của hệ hai điểm {P, Q} còn gọi là trung điểm của cặp điểm P, Q.Chúng ta cần chú ý rằng mọi hệ m điểm có trọng tâm khi và chỉ khi đặc số của trường K là khácm. Trong trường hợp K = R hoặc C thì mọi hệ hữu hạn điểm đều có trọng tâm.Định lý sau cho thấy có thể dùng khái niệm tâm tỉ cự để đặc trưng các phẳng.Định lý 1.5.4. Tập tất các các tâm tỉ cự với họ các hệ số khác nhau của hệ điểm {P0, P1, . . . , Pm}trong không gian affine Anchính là phẳng α = P0+ P1+ . . . + Pm.Chứng minh. Dễ thấy−→α được sinh bởi hệ vector {−−→P0P1,−−→P0P2, . . . ,−−−→P0Pm}. Ta có thể giả sử mộtcơ sở của α là {−−→P0P1,−−→P0P2, . . . ,−−→P0Pk}, tức là α là cái phẳng k-chiều. Giả sử điểm G ∈ α. Điều nàytương đương với−−→P0G ∈−→α hay−−→P0G =ki=1λi−−→P0Pi. Ta có−−→P0G =ki=1λi(−−→GPi−−−→GP0) ⇔ (1 −ki=1λi)−−→GP0+ki=1λi−−→GPi=−→0 .Đẳng thức này chứng tỏ G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P0, P1, . . . , Pm} gắn với họ hệ số{1 −ki=1λi, λ1, λ2, . . . , λk, 0, . . . , 0}.Ngược lại, giả sử G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P0, P1, . . . , Pm} gắn với họ hệ số {λ0, λ1, . . . , λm}.Khi đómi=0λi−−→GPi=−→0 ⇔mi=0λi(−−→GP0+−−→P0Pi) =−→0⇔mi=0λi−−→GP0+mi=1λi−−→P0Pi=−→0⇔−−→P0G =1mi=1λimi=1λi−−→P0Pi.Đẳng thức này chứng tỏ−−→P0G ∈−→α , hay G ∈ α. ✷Hệ quả 1.5.5. Cho hệ m + 1 điểm {P0, P1, . . . , Pm}, α = P0+ P1+ . . . + Pmvà một điểm O tùyý. Khi đó điểm M ∈ α khi và chỉ khi tồn tại các µi, i = 0, 1, 2, . . . , m;mi=0µi= 1 sao cho−−→OM =mi=0µi−−→OPi.Hơn nữa, nếu hệ điểm {P0, P1, . . . , Pm}, là độc lập thì các µitồn tại duy nhất.20Hình học affine và EuclidChứng minh. Theo Định lý 1.5.4, M ∈ α khi và chỉ khi M là tâm tỉ cự của hệ điểm {P0, P1, . . . , Pm}gắn với họ hệ số {λ0, λ1, . . . , λm} nào đó. Đặt µi=λimi=0λi. Theo định nghĩa của tâm tỉ cự ta cókhẳng định thứ nhất của hệ quả.Giả sử hệ điểm {P0, P1, . . . , Pm} là độc lập và−−→OM =mi=0µi−−→OPi, vớimi=0µi= 1.Ta có−−→OM =mi=0µi−−→OPi⇔−−→P0M =mi=1µi−−→P0Pi. Từ đây suy ra µi, i = 1, 2, . . . , m là duy nhấtvà do đó µ0cũng duy nhất.1.5.2 Tỉ số đơnĐịnh nghĩa 11. Cho hai điểm phân biệt P, Q ∈ A. Điểm M = Q thuộc đường thẳng P Q (phẳngP + Q) khi và chỉ khi có k ∈ K − {1} để−−→MP = k−−→MQ. Ta gọi k là tỉ số đơn của hệ ba điểm{P, Q, M}, kí hiệu k = (P QM).Nhận xét. Dễ nhận thấy rằng nếu k = (P QM) thì điểm M là tâm tỉ cự của hệ {P, Q} gắn vớihọ hệ số {1, −k}. Khi k = −1, ta có M là trung điểm (trọng tâm) của cặp điểm {P, Q}.Sau đây là một số tính chất của tỉ số đơn.Tính chất. Trong Ancho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Ta có1. (ABC) + (ACB) = 1,2. (ABC).(BAC) = 1,3. (BCA) = 1 −1(ABC).Chứng minh. Giả sử rằng (ABC) = k, tức là−→CA = k−−→CB hay−−→CB +−→BA = k−−→CB. Từ đây suy ra−→BA = (1 − k)−−→BC hay (ACB) = 1 − k.Bạn đọc dễ dàng chứng minh được các đẳng thức còn lại một cách tương tự. ✷1.6 Tập lồi trong không gian affine thực1.6.1 Tập lồiĐoạn thẳng. Trong không gian affine thực A cho hai điểm P và Q. Tập hợp tất cả những điểmM sao cho−−→OM = (1 − t)−→OP + t−→OQ, với O là một điểm tùy ý và 0 ≤ t ≤ 1, được gọi là đoạn21Hình học affine và EuclidHình 1.7: Các tập lồi.Hình 1.8: Các tập không lồi.thẳng P Q. Hai điểm P và Q gọi là hai mút của đoạn thẳng P Q. Các điểm khác của đoạn thẳngP Q được gọi là nằm ở giữa P và Q.Nhận xét.1. Trong trường hợp P = Q, theo Hệ quả 1.5.5, đường thẳng P + Q là tập tất cả các điểm Mthỏa mãn:−−→OM = λ−→OP + µ−→OQ với λ + µ = 1.Từ đây ta suy ra đoạn thẳng PQ là tập con của đường thẳng P + Q.Đoạn thẳng P Q gồm hai điểm mút P (ứng với λ = 1), Q (ứng với λ = 0) và những điểmnằm ở giữa P và Q.2. Khi P ≡ Q, đoạn thẳng P Q chỉ gồm một điểm P.Từ đây trung điểm của cặp điểm {P, Q} còn gọi là trung điểm của đoạn thẳng P Q.Tập lồi. Tập X trong không gian affine thực A được gọi là một tập lồi nếu với mọi P, Q ∈ X,đoạn thẳng P Q chứa trong X.Bao lồi của một tập. Dễ thấy giao của một họ không rỗng các tập lồi là một tập lồi. Từ đây tacó định nghĩa bao lồi của một tập X ⊂ A là giao của tất cả các tập lồi chứa X, tức là tập lồi bénhất chứa X.22Hình học affine và Euclid1.6.2 Ví dụ về tập lồiDễ thấy mỗi m-phẳng trong không gian affine thực là một tập lồi. Các ví dụ sau đây, trong trườnghợp 1, 2, 3 chiều là các đối tượng đã được gặp ở PTTH.Nửa không gian. Mỗi siêu phẳng α trong không gian affine A sẽ chia A − α thành 2 tập lồi. Xétkhông gian thương 1-chiều−→A /−→α , lấy [−→u ] là một vector khác không của nó và gọip :−→A −→−→A /−→αlà phép chiếu chính tắc. Với O là một điểm thuộc α, ta có hai tập hợpX = {M ∈ A : p(−−→OM) = λ[−→u ], λ > 0};Y = {M ∈ A : p(−−→OM) = λ[−→u ], λ < 0}.Ta sẽ chứng minh chúng là hai tập lồi. Thật vậy, giả sử M, N ∈ X; p(−−→OM) = λ[−→u ], λ > 0 vàp(−−→ON) = µ[−→u ], µ > 0. Khi đó với mọi P thuộc đoạn thẳng MN,−→OP = (1 − t)−−→OM + t−−→ON với0 ≤ t ≤ 1, ta cóp(−→OP ) = (1 − t)p(−−→OM) + tp(−−→ON) = ((1 − t)λ + tµ)[−→u ].Dễ thấy với 0 ≤ t ≤ 1 thì (1 − t)λ + tµ > 0, tức là P ∈ X. Chứng minh cho trường hợp M, N ∈ Yhoàn toàn tương tự.Nhận xét. Chứng minh cho các nhận xét sau đây xin dành cho bạn đọc.1. Việc chia không gian thành hai tập X và Y không phụ thuộc vào việc chọn điểm O và vector[−→u ].2. Nếu lấy một điểm P ∈ X thì có thể mô tả hai tập X và Y như sau: X là tập các điểmM ∈ A − α sao cho đoạn thẳng PM không cắt α còn Y là tập các điểm M ∈ A − α sao chođoạn thẳng P M cắt α tại một điểm.Hình hộp m-chiều. Trong An, cho điểm O và hệ vector độc lập {−→e1,−→e2, ,−→em}. Khi đó tập hợpH = {M ∈ An:−−→OM =mi=1xi−→ei, 0 ≤ xi≤ 1, i = 1, 2, , m }gọi là một hình hộp m-chiều hay m-hộp. Các điểm của H ứng với xichỉ nhận hai giá trị 0 hoặc 1,gọi là các đỉnh của m-hộp. Có tất cả 2mđỉnh.Từ định nghĩa, 0-hộp là một điểm, 1-hộp là một đoạn thẳng. Theo cách gọi thông thường 2-hộplà hình bình hành, 3-hộp là hình hộp.Có thể xây dựng các khái niệm như mặt bên k-chiều, cạnh của hình hộp. Vấn đề này được đưavào phần bài tập như là một đề tài nhỏ cho bạn đọc tập dượt nghiên cứu.Định lý 1.6.1. Mỗi hình hộp là một tập lồi.23Hình học affine và EuclidChứng minh. Giả sử M, N ∈ H,−−→OM =mi=1xi−→ei,−−→ON =mi=1yi−→ei; 0 ≤ xi, yi≤ 1, i =1, 2, , m. Khi đó với mọi P thuộc đoạn thẳng MN, ta có−→OP = (1 − t)−−→OM + t−−→ON= (1 − t)mi=1xi−→ei+ tmi=1yi−→ei=mi=1((1 − t)xi+ tyi)−→ei.Dễ thấy 0 ≤ (1 − t)xi+ tyi≤ 1, tức là P ∈ H. ✷Đơn hình m-chiều. Trong An, cho hệ điểm độc lập {A0, A1, , Am}. Lấy O ∈ An, khi đó tậpC = { M ∈ An:−−→OM =mi=0xi−−→OAi, xi≥ 0, x0+ x1+ x2+ · · · + xm= 1}được gọi là một đơn hình m-chiều hay m-đơn hình. Các điểm A0, A1, , Amgọi là các đỉnh của C.Từ định nghĩa, 0-đơn hình là một điểm, 1-đơn hình là một đoạn thẳng. Theo cách gọi thông thường2-đơn hình gọi là tam giác, 3-đơn hình gọi là tứ diện.Trong m-đơn hình C lấy (k + 1) đỉnh (0 ≤ k ≤ m − 1) thì (k + 1) đỉnh đó lập thành một k-đơnhình gọi là mặt bên k-chiều của C. Khi đó (m − k) đỉnh còn lại lập thành một (m − k − 1)-đơnhình gọi là mặt bên đối diện của mặt bên k-chiều đang xét. Mặt bên 0-chiều là đỉnh, mặt bên1-chiều gọi là cạnh của đơn hình C.Từ đây, trọng tâm của hệ điểm {A0, A1, , Am} cũng được gọi là trọng tâm của đơn hình.Nhận xét.1. Định nghĩa của đơn hình không phụ thuộc vào điểm O được chọn. Thật vậy, với xi≥0, x0+ x1+ x2+ · · · + xm= 1−−→OM =mi=0xi−−→OAi⇔−−→OO+−−→OM =mi=0xi(−−→OO+−−→OAi)⇔−−→OM =mi=0xi−−→OAi.2. Nếu chúng ta chọn O = A0, thì ta cóC = { M ∈ An:−−−→A0M =mi=1xi−−−→A0Ai, xi≥ 0, x1+ x2+ · · · + xm≤ 1}.24Hình học affine và EuclidHình 1.9: Đơn hình và hình hộpĐịnh lý 1.6.2. Mỗi đơn hình là một tập lồiChứng minh. Giả sử M, N ∈ C,−−→OM =mi=0xi−−→OAi,−−→ON =mi=0yi−−→OAi; xi, yi≥ 0, i =0, 1, 2, . . . , m;mi=0xi= 1,mi=0yi= 1. Khi đó với mọi P thuộc đoạn thẳng MN, ta có−→OP = (1 − t)−−→OM + t−−→ON= (1 − t)mi=0xi−−→OAi+ tmi=0yi−−→OAi=mi=0((1 − t)xi+ tyi)−−→OAi.Dễ thấy (1−t)xi+tyi≥ 0 vàmi=0((1−t)xi+tyi) = (1−t)mi=0xi+tmi=0yi= 1, tức là P ∈ C.✷BÀI TẬP CHƯƠNG 1Bài tập 1.1. Chứng minh rằng có thể xem trường số phức C là một không gian affine thực 2chiều.Bài tập 1.2. Cho không gian affine n chiều (A,−→A , Φ) và một tập hợp B = ∅ tùy ý. Chứng minhrằng nếu có song ánh f : A −→ B thì có thể xây dựng B trở thành một không gian affine n chiều(chuyển cấu trúc affine từ A sang B nhờ song ánh f ).Bài tập 1.3. Cho (A,−→A , Φ) và (A,−→A, Φ) là hai không gian affine và ánh xạΦ × Φ: (A × A) × (A × A) −→−→A ×−→A((M, M), (N, N)) −→ (−−→MN,−−−→MN).Chứng minh rằng (A × A,−→A ×−→A, Φ × Φ) là một không gian affine.Bài tập 1.4. Cho (A,−→A , Φ) là một không gian affine và−→α là một không gian vector con của−→A .Hai điểm M, N ∈ A gọi là−→α -tương đương nếu−−→MN ∈−→α .25