Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩm trên 0 99

ĐÀO HOÀNG DŨNGBÀI TẬPXÁC SUẤT THỐNG KÊ- 2016 -Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêChương 1Biến cố và xác suấtTính xác suất bằng định nghĩa. Mối quan hệ giữa các biến cố1. Một người gọi điện thoại cho bạn nhưng quyên mất ba chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúngkhác nhau. Tìm xác suất để người đó quay một lần được đúng số điện thoại của bạn.2. Một công ty cần tuyển ba nhân viên. Có 30 người nộp đơn, trong đó có 18 nam và 12 nữ.Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 30 người là như nhau.a) Tính xác suất để 3 người trúng tuyển đều là nam.b) Tính xác suất để cả 3 người trúng tuyển đều là nữ.c) Tính xác suất để có ít nhất một nữ trúng tuyển.3. Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suất để có 3 ngườivào quầy số 1.4. Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách bước lên tàu. Mỗi hành khách độclập với nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành kháchmới bước lên tàu.5. Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên ba người không quen biết nhau ở ngoài đường (giả thiếtnhững người này đều không sinh vào năm nhuận) thì họ:a) Có ngày sinh nhật khác nhau.b) Có ngày sinh nhật trùng nhau.6. Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ. Tính xác suất để:a) Chỉ có một lá thư bỏ đúng địa chỉ.b) Cả 3 lá thư đều được bỏ không đúng địa chỉ.7. Một công ty tham gia đấu thầu 2 dự án. Gọi Ak là biến cố công ty đó thắng thầu dự án k(k  1, 2) . Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:a) Công ty chỉ thắng thầu một dự án.b) Công ty không thắng thầu dự án nào.8. Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi Ak là biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu(k  1, 2,3) . Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:a)b)c)d)Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu.Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu.Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu.Có người bắn trúng mục tiêu.1Bài tập Xác suất Thống kêĐào Hoàng DũngCông thức cộng, công thức nhân xác suất9. Một người mua ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số.a) Tính xác suất để được vé không có chứ số 1 hoặc không có chữ số 5.b) Tính xác suất để được vé có chữ số 2 và có chữ số lẻ.10. Một sinh viên phải thi 3 môn một cách độc lập nhau. Xác suất nhận cùng một điểm sốnào đó ở cả 3 môn đều như nhau. Xác suất để thu được một môn điểm 8 là 0,18, dưới 8 là0,65, xác suất cả 3 môn đều được điểm 10 là 0,000343. Tính xác suất để sinh viên thi 3môn được ít nhất là 28 điểm. Điểm thi được cho theo thang điểm 10, không có điểm lẻ.11. Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 3sản phẩm. Nếu có phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểm tra thì không mua lô hàng. Tính xácsuất lô hàng được mua.12. Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để các bộ phận bị hỏng lầnlượt là 0,1; 0,3 và 0,2. Tính xác suất của các biến cố sau:a) Có đúng 2 bộ phận bị hỏng.b) Có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng.13. Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 3%. Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sảnphẩm:a) Tính xác suất phải chọn đến lần thứ tư mới được phế phẩm.b) Phải chọn bao nhiêu lần để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn0,9.14. Một sinh viên phải thi 6 môn kết thúc học kì. Khả năng thi được trên 5 điểm của mỗi mônlà 0,8 và độc lập nhau. Tính xác suất để trong học kì này người đó:a) Được 5 môn trên 5 điểm.b) Được ít nhất 4 môn trên 5 điểm.15. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của máy là0,01.a) Cho máy xản suất 10 sản phẩm. Tính xác suất có 2 phế phẩm; có ít hơn 3 phế phẩm.b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩmtrên 0,99.16. A chơi cờ với B với xác suất thắng mỗi ván là p. Tìm giá trị của p để A thắng chung cuộctrong bốn ván dễ hơn trong sáu ván. Biết rằng để thắng chung cuộc thì phải thắng ít nhất1 nửa tổng số ván.2Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kê17. Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 10 viên đạn vào cùng một bia. Xác suất bắn trúng đích mỗilần của 2 xạ thủ tương ứng là 0,7 và 0,8. Tính xác suất:a) Bia bị trúng đạn.b) Bia bị trúng 2 viên đạn.18. Có ba người A, B và C cùng phỏng vấn xin việc ở một công ty. Xác suất trúng tuyển củamỗi người lần lượt là 0,8; 0,6 và 0,7. Việc trúng tuyển của mỗi người là độc lập.a) Tính xác suất có hai người trúng tuyển.b) Biết rằng có hai người trúng tuyển. Tính xác suất để hai người đó là A và B.19. Theo điều tra của một ngân hàng về sử dụng thẻ tín dụng ở công ty, có 50% dùng thẻ A,40% dùng thẻ B, 30% dùng thẻ C, 20% dùng thẻ A và B, 15% dùng thẻ A và C, 10%dùng thẻ B và C, 5% dùng cả ba thẻ A, B, C. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên mộtngười ở công ty đó, thì:a) Người ấy dùng ít nhất một trong ba loại thẻ nói trên.b) Người ấy dùng thẻ B, biết rằng người ấy dùng thẻ A.20. Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến chào hàng ở công ty Phương Đông ba lần. Xácsuất để lần đầu bán được hàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất để lần saubán được hàng là 0,9, còn nếu lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần sau bánđược hàng chỉ là 0,4. Tìm xác suất để:a) Cả ba lần đều bán được hàng.b) Có đúng hai lần bán được hàng.Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayes21. Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9;của máy thứ hai là 0,85. Từ một kho chứa1sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy3thứ hai) lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra.a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sảnxuất.22. Trong 20 tờ tiền có 3 tờ giả. Một tờ bị rút đi không rõ thật hay giả. Người ta rút ngẫunhiên trong các tờ còn lại một tờ thì được tờ tiền thật. Tìm xác suất để tờ tiền bị rút đitrước đó là tờ tiền thật.23. Một tờ tiền giả lần lượt được hai người A và B kiểm tra. Xác suất để người A phát hiện ratờ này giả là 0,7. Nếu người A cho rằng tờ này là giả, thì xác suất để người B cũng nhận3Bài tập Xác suất Thống kêĐào Hoàng Dũngđịnh như thế là 0,8. Ngược lại, nếu người A cho rằng tờ này là tiền thật thì xác suất đểngười B cũng nhận định như thế là 0,4.a) Tính xác suất để chỉ đúng một trong hai người A hoặc B phát hiện ra tờ này giả.b) Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, tính xác suất đểA phát hiện ra nó là giả.24. Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trungbình, rủi ro cao. Theo thống kê cho thấy tỉ lệ dân cư gặp rủi ro trong 1 năm tương ứng vớicác loại trên là: 5%, 10%, 25% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trungbình; 30% rủi ro cao.a) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm.b) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi rolà bao nhiêu?25. Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở những chỗđó tương ứng là: 0,6; 0,8 và 0,7. Biết rằng ở một chỗ người đó đã thả câu 3 lần và chỉ câuđược một con cá. Tìm xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất.26. Xác suất bắn trúng mục tiêu của 3 người đi săn tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,5. Ba ngườinày cùng bắn một con nai và con nai bị trúng 1 viên đạn. Tính xác suất bắn trúng của mỗingười.27. Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta lấy ngẫunhiên 1 chai rượu trong kho và đưa cho 4 người sành rượu nếm thử để xác định xem đâylà loại rượu nào. Giả sử mỗi người có khả năng đoán đúng là 0,8. Có 3 người kết luậnchai rượu thuộc loại A và một người kết luận chai rượu thuộc loại B. Vậy chai rượu đượcchọn thuộc loại A với xác suất bằng bao nhiêu?28. Trong những hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, tỉ lệ hộ làm ăn không có lãi là 5%.Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn không có lãi, tỉ lệ trả nợ ngânhàng không đúng hạn là 88%. Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn cólãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng không đúng hạn là 2%.a) Một hộ đã vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, thì xác suất hộ đó không trả nợ ngân hàngđúng hạn là bao nhiêu.b) Một hộ nuôi tôm đã không trả nợ ngân hàng đúng hạn, thì xác suất hộ đó làm ănkhông có lãi là bao nhiêu.29. Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động đạt đượcđộ chính xác khá cao song vẫn có sai sót. Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4% còn đốivới phế phẩm là 1%. Nếu sản phẩm bị kết luận là phế phẩm thì bị loại.a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm mà thực ra là phế phẩm.4Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêb) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận là phế phẩm mà thực ra là chính phẩm.30. Sản phẩm sản xuất ra phải qua hai máy kiểm tra 1 và 2. Nếu được máy 1 chấp nhận thìmới được chọn để máy 2 kiểm tra tiếp. Sau khi máy 2 chấp nhận thì sản phẩm mới đượcđưa ra thị trường. Xác suất máy 1 chấp nhận là 0,9 và xác suất để máy 2 chấp nhận là 0,8.Biết rằng việc kiểm tra của 2 máy là độc lập.a) Tính tỉ lệ sản phẩm sản xuất ra không được đưa ra thị trường.b) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm không được đưa ra thị trường. Tính xác suất để sảnphẩm đó bị loại là do máy 2.31. Một túi chứa 9 nhẫn bạc và 1 nhẫn vàng. Túi kia có 1 nhẫn bạc và 5 nhẫn vàng. Từ mỗitúi rút ra ngẫu nhiên một nhẫn. Những chiếc nhẫn còn lại được dồn vào một túi thứ ba.Từ túi thứ ba này lại rút ngẫu nhiên một chiếc nhẫn. Tính xác suất để ta rút ra được nhẫnvàng ở túi thứ ba.HƯỚNG DẪN, ĐÁP SỐ3.4.1502436. a)b)9. a) Gọi A = “vé có chữ số 1”, B = “vé có chữ số 5”Xs cần tìm là P  A  B   P( A)  P( B )  P( A.B )  2  9 105 8   10 5b) Gọi C = “vé có chữ số 2”, D = “vé có chữ số lẻ”. Cần tính10. 0,002415P(CD)  1  P(C D)13. a) ≈ 0,0274b) P(“ít nhất một phế phẩm”) = 1 - P(“không có phế phẩm nào”) < 0,9.Đ/s: ít nhất 76 lần.16. Cần tìm p để P(“A thắng chung cuộc trong bốn ván”) > P(“A thắng chung cuộctrong sáu ván”) C42 p2 (1  p)2  C43 p3 (1  p)1  C44 p 4 (1  p)0  C63 p3 (1  p)3  C64 p 4 (1  p)2  C65 p5 (1  p)1  C66 p 6 (1  p)018. a) Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người A, B và C trún tuyển. K= “có 2 ngườitrúng tuyển”.5Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêXs cần tính là P( K )  P  ABC  ABC  ABC  , đ/s: 0,452.b) Xs cần tính là P( AB | K ) P( ABK ) P( ABC )36, đ/s:P( K )P( K )11323. Gọi A, B lần lượt là các biến cố người A, B phát hiện tiền giả. Từ giả thiết có: P(A) =0,7,P(B|A) = 0,8, P( B | A)  0,4.a) Cần tính P( AB  AB )b) Gọi K = “ít nhất một trong hai người phát hiện tờ tiền là giả”, cần tínhP( A | K ) P( AK ) P( AB  AB ),tương tự ý b bài 18.P( K )P( K )24. Chọn ngẫu nhiên một người. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người được chọnthuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao. Suy ra, H1, H2, H3 lập nên mộtnhóm đầy đủ các biến cố.Gọi A = “chọn được người gặp rủi ro”.a) Tính P(A) bằng công thức xs đầy đủ. Tính được P(A) = 0,135. Suy ra, tỉ lệ dân gặprủi ro trong một năm là 13,5%.b) Xác suất cần tính là P(H1| ̅), sử dụng công thức Bayes để tính.25. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người đó chọn câu chỗ thứ nhất, thứ hai và thứ3 tương ứng. Suy ra, H1, H2, H3 lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố.Gọi A = “thả câu ba lần và chỉ câu được 1 con cá”, tính P(A) theo công thức xs đầyđủ, các xs P(A|Hi) có thể tính theo công thức Becnulli.Xác suất cần tính là: P(H1|A), sử dụng công thức Bayes để tính xs này.26. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người thứ nhất, người thứ hai và người thứ babắn trúng mục tiêu. A = “con nai bị trúng một viên đạn” = H1H 2 H3  H1H 2 H3  H1H 2 H3 .Cần tính các xác suất P(H1|A), P(H2|A) và P(H3|A)27. Gọi A = “chai rượu lấy ra thuộc loại A”, B = “chai rượu lấy ra thuộc loại B”, K =“3 người kết luận chai rượu loại A và 1 người kết luận loại B”. XS cần tính làP(A|K), tính xs này theo công thức Bayes (nhóm đầy đủ các biến cố là A, B).Chú ý, biến cố (K|A) = “3 người kết luận đúng và 1 người kết luận sai” và (K|B) = “3người kết luận sai và một người kết luận đúng” do đó các xs P(K|A) và P(K|B) có thểtính theo công thức Becnulli.Đ/s: P( A | K ) 16176Bài tập Xác suất Thống kêĐào Hoàng Dũng31. Gọi H1 = “Hai nhẫn được ra từ mỗi túi là nhẫn vàng”, H1 = “Hai nhẫn được rút ra từmỗi túi là nhẫn bạc”, H3 = “Hai nhẫn được rút ra từ mỗi túi gồm 1 vàng và 1 bạc”.Suy ra,H1, H2, H3 lập nên nhóm đầy đủ các biến cố.Gọi A = “rút ra được nhẫn vàng ở túi thứ ba”. Tính P(A) theo công thức xs đầy đủ.7Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêChương 2Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất1. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong thời gian t các bộphận bị hỏng tương ứng là 0,15; 0,1; 0,13. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t.a) Lập bảng phân phối xác suất của X .b) Viết biểu thức hàm phân phối của X .c) Tìm xác suất trong thời gian t thiết bị có không quá một bộ phận bị hỏng.d) Tìm E( X ),V ( X ), m và m0 .2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có quy luật phân phối xác suất như sau:XPx1x2p10,7Tìm x1 , x2 và p1 biết E (X)  2, 7 và V ( X )  0, 21 (x2  x1 ) .3. Ba máy ATM 1, 2, 3 có xác suất không cho giao dịch tại cùng một thời điểm lần lượt là0,02; 0,03; 0,05. Tại thời điểm đó, mỗi máy được một người rút tiền. Tính số máy khôngcho giao dịch tin chắc nhất trong ba máy trên vào thời điểm đó, biết rằng ba máy ATMnày hoạt động độc lập.4. Trong 100 000 vé xổ số phát hành có 1 giải trị giá 100 triệu đồng, 20 giải trị giá 20 triệuđồng, 150 giải trị giá 5 triệu đồng, 1500 giải trị giá 1 triệu đồng. Tìm số tiền lãi kì vọngcủa một người khi mua một vé xổ số, biết giá vé là 10 000 đồng.5. Có hai hộp sản phẩm; hộp thứ nhất có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm, hộp thứ hai có 8chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sảnphẩm.a) Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.b) Tìm xác suất để sai lệch giữa số chính phẩm được lấy ra và kỳ vọng toán của nó nhỏhơn 1.6. Một hộp có 10 sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm. Gọi X là số phế phẩm có tronghộp. X có bảng phân phối xác suất như sau:012XP0,60,30,1Lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 sản phẩm. Gọi Y là số phế phẩm có trong 2 sản phẩm lấy ra.Tìm quy luật phân phối xác suất của Y .8Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kê7. Tại một cửa hàng, lượng hàng bán được trong ngày về một loại thực phẩm có bảng phânphối xác suất như sau:Lượng bán (kg)Xác suất300,05310,1320,2330,3340,15350,12360,08Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 20 ngàn đồng, bán ra với giá 25 ngàn đồng song nếubị ế thì cuối ngày phải bán với giá 15 ngàn đồng mới bán hết. Để lợi nhuận trung bình làlớn nhất thì mỗi ngày cửa hàng nên đặt mua bao nhiêu kg thực phẩm.8. Một công ty thuê một luật sư trong một vụ kiện với hai phương án trả công như sau:Phương án 1: Trả 7 triệu đồng bất kể thắng hay thua kiện.Phương án 2: Trả 1 triệu đồng nếu thu kiện và 15 triệu đồng nếu thắng kiện.Luật sư đã chọn phương án 2. Vậy theo đánh giá của luật sư thì khả năng thắng kiện củacông ty tối thiểu là bao nhiêu.HD: Luật sư lựa chọn phương án 2, như vậy theo đánh giá của luật sự thì:E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 2”)  E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 1”).9. Theo thống kê, một người ở độ tuổi 40 sẽ sống thêm một năm nữa với xác suất 0,995.Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người ở độ tuổi đó vớigiá là 100 ngàn đồng. Trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồithường là 10 triệu đồng. Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểmloại này là bao nhiêu.10. Trong một cuộc thi, người ta có hai hình thức thi như sau:Hình thức thứ nhất: Mỗi người phải trả lời hai câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 5điểm.Hình thức thứ hai: Nếu trả lời đúng câu thứ nhất thì mới được trả lời câu thứ hai, nếukhông thì dừng. Trả lời đúng câu thứ nhất được 5 điểm, trả lời đúng câu thứ hai được10 điểm.Trong cả hai hình thức thi, các câu trả lời sai đều không được điểm. Giả sử xác suất trảlời đúng mỗi câu đều là 0,8; việc trả lời đúng mỗi câu là độc lập với nhau. Theo bạn, nênchọn hình thức nào để số điểm trung bình đạt được nhiều hơn.11. Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:P( X  k )  Cnk p k (1  p)nk , (k  0,1, 2,..., n)Tìm m0 (mốt) của X .12. Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:P( X  k )  e   .kk!, (k  0,1, 2,...)9Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêvới  là số dương cho trước. Tìm m0 (mốt) của X .13. Theo dõi hiệu quả kinh doanh của một công ty qua nhiều năm, các chuyên gia thiết lậpbảng phân phối xác suất của lãi suất đầu tư của công ty như sau:X (%)P80,0790,14100,2110,3120,16130,1140,03a) Khả năng đầu tư vào công ty đó để đạt lãi suất ít nhất 11% là bao nhiêu?b) Tìm mức lãi suất nhiều khả năng nhất và mức lãi suất trung bình khi đầu tư vàocông ty đó.c) Tìm mức độ rủi ro khi đầu tư vào công ty đó.14. Thống kê về tai nạn giao thông cho thấy tỉ lệ tai nạn xe máy (vụ/tổng số xe/năm) chiatheo mức độ nhẹ và nặng tương ứng là 0,001 và 0,005. Một công ty bán bảo hiểm xe máyvới mức thu phí hàng năm là 30 000 đồng và số tiền bảo hiểm trung bình một vụ là 1triệu đồng đối với trường hợp nhẹ và 3 triệu đồng đối với trường hợp nặng. Hỏi lợi nhuậntrung bình hàng năm mà công ty thu được đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm là bao nhiêu?Biết rằng thuế doanh thu phải nộp là 10% và tổng tất cả các chi phí khác chiếm 15%doanh thu.15. Một cửa hàng mua vào bốn thùng hàng với giá 120 nghìn đồng/thùng. Số thùng hàngchưa bán được, khi hết hạn sử dụng được nhà phân phối mua lại với số tiền bằng3số4tiền cửa hàng đã mua vào. Gọi X là số thùng hàng bán được của cửa hàng, X có phânphối xác suất như sau:X01234P115215215615415Nếu giá bán ra của mỗi thùng hàng trên như nhau, thì giá đó là bao nhiêu để lợi nhuận kìvọng đối với 4 thùng hàng này là 40 nghìn đồng/thùng.16. Thống kê về mức độ hỏng và chi phí sửa chữa của hai loại động cơ A và B, có bảng sốliệu sau:Mức độ hỏng123Chi phí sửa chữa (triệuA5,57,212,5đồng/năm) của một động cơB6,07,510,8Tỉ lệ hỏng (%/năm)A253B145Một công ty đang sử dụng 6 động cơ loại A và 4 động cơ loại B. Tính chi phí sửa chữatrung bình hàng năm cho cả hai loại động cơ trên của công ty.10Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kê17. Cơ quan dự báo khí tượng thủy văn chia thời tiết thành các loại “xấu”, “bình thường”,“tốt” với xác suất tương ứng là 0,25; 0,45; 0,3. Với tình trạng trên thì khả năng nôngnghiệp được mùa tương ứng là 0,2; 0,6; 0,7. Nếu như sản xuất nông nghiệp được mùa thìmức xuất khẩu lương thực tương ứng với tình trạng trên là: 2,5 triệu tấn, 3,3 triệu tấn, 3,8triệu tấn. Hãy tìm mức xuất khẩu lương thực có khả năng nhất.HD: Gọi H1, H2, H3 tương ứng là các biến cố tình trạng thời tiết năm đó là “xấu”, “bìnhthường” và “tốt”.Gọi A = “sản xuất nông nghiệp được mùa” và X = “mức xuất khẩu lương thực” (triệutấn). Khi đó: (X = 2,5) = (H1|A); (X = 3,3) = (H2|A); (X = 3,8) = (H3|A).18. Tuổi thọ của một loại sản phẩm (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phânphối xác suất dạngkhi x  50F ( x)  k1  2 khi x  5 xa) Tìm k ? Tính xác suất để trong 5 sản phẩm có ít nhất một sản phẩm hỏng trước 6năm.b) Một công ty kinh doanh sản phẩm này khi bán được một sản phẩm lãi 500.000đồng. Nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì phải bỏ ra 1.000.000 đồngcho chi phí sửa chữa. Muốn có tiền lãi trung bình là 300.000 đồng cho một sảnphẩm bán được thì công ty phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu năm.19. Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phânphối xác suất như sau:voi x  00 3F( x)  ax  3x 2  2 x voi 0  x  11voi x  1a) Tìm a .b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình.20. Tuổi thọ của một loại sản phẩm (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độxác suất:0 khi x  5f ( x)   kkhi x  5 x3a) Tìm k ? Tính tuổi thọ trung bình của sản phẩm.b) Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 20% thì phải quy định thời gian bảo hànhlà bao nhiêu?11Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kê21. Tuổi thọ (tính theo năm) của một thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xácsuất như sau:k .e2 x voi x  0f ( x)  voi x  00Xác định k và tính xác suất để thiết bị này sử dụng được ít nhất 2 năm.22. Cho hàm sốk (1  x), x   1;0 f ( x)  k (1  x), x   0;1x   1;1 0,a) Xác định k để f ( x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X và tìm hàmphân phối xác suất.b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X .23. Nhu cầu hàng năm về mặt hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suấtnhư sau (đơn vị: ngàn sản phẩm):k (30  x), x   0;30 f ( x)  x   0;30  0,a) Xác định k ?b) Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó không vượt quá 12 ngàn sản phẩm trongmột năm.c) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về mặt hàng A.24. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất như sau: k .sin x,f ( x)  0,voi x   0;  2 voi x   0;  2a) Xác định k.b) Tính xác suất để khi thực hiện 3 phép thử độc lập X nhận giá trị trong khoảng   ;  ít nhất một lần.6 325. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất2ax  bx , voi x   0;1f ( x)  voi x   0;1 0,12Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêBiết E ( X )  0, 6 . Tìm hàm phân phối xác suất của X ; tính P  1  X   và V ( X ) .2126. Giả sử hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X là: A.e  x voi x  0f ( x)  (  0)voi x  0 0a) Tìm A .b) Tìm hàm phân phối của X .c) Tìm kì vọng và phương sai của X .13Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêChương 3Một số quy luật phân phối xác suất thông dụngPhân phối nhị thức – B(n, p)1. Thống kê cho thấy cứ 3 lần chào hàng thì có một lần bán được hàng. Nếu chào hàng 20lần và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo quy luật gì?2. Gieo 100 hạt đậu tương. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,9. Tính xác suất để trong 100hạt.a) Có đúng 80 hạt nảy mầm.b) Có ít nhất 1 hạt nảy mầm.c) Có nhiều nhất 98 hạt nảy mầm.3. Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúngđích của mỗi viên là 0,2. Tìm số viên đạn trúng đích với khả năng lớn nhất.4. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 0,02. Cần phải lấy một mẫucỡ bằng bao nhiêu, sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó không béhơn 0,95.5. Xác suất để máy bị hỏng trong một ngày hoạt động là 0,01. Mỗi lần máy hỏng chi phí sửachữa hết 1 triệu đồng. Vậy có nên kí một hợp đồng bảo dưỡng là 120 ngàn đồng mộttháng để giảm xác suất hỏng của máy đi một nửa hay không và nếu kí thì hiệu quả manglại là bao nhiêu.Phân phối siêu bội – H(N, M, n)6. Trong 20 giấy báo thuế có 3 giấy mắc sai sót. Lấy ngẫu nhiên 5 giấy để kiểm tra. Tìmphân phối xác suất; trung bình và phương sai của số giấy mắc sai sót có trong 5 giấy lấyra.7. Để thanh toán 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp lẫn 5 tờ 50 ngàntiền giả với 15 tờ tiền thật. Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ đem đi kiểm tra và giao hẹn,nếu phát hiện có tiền giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật. Tìm số tiềnphạt trung bình mà khách hàng phải trả.Phân phối Poisson – P(λ)8. Một cửa hàng có 4 chiếc ô tô cho thuê, số khách có nhu cầu thuê trong một ngày là mộtbiến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với E ( X )  2 .14Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêa) Tìm luật phân phối xác suất của số ô tô cửa hàng này cho thuê trong một ngày.b) Tính số ô tô trung bình mà cửa hàng cho thuê trong một ngày?9. Số khách hàng vào một siêu thị trong 20 phút là biến ngẫu nhiên phân phối Poisson vớisố khách trung bình là 6. Tính xác suất để trong 10 phút nào đó có hơn 2 khách vào siêuthị.10. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 150 cú điện thoại trong 1 giờ. Tìm xác suấtđể trung tâm này nhận được không quá 2 cuộc điện thoại trong 1 phút.11. Một cửa hàng có 3 xe ô tô cho thuê. Hàng ngày phải nộp thuế 50 ngàn đồng/1 xe dù xe cóđược thuê hay không. Mỗi chiếc xe được thuê với giá 700 ngàn đồng/1 ngày. Giả sử yêucầu thuê xe của cửa hàng là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số  2,8 . Tính số tiền lãi trung bình của trạm thu được trong một ngày.Phân phối đều – U(a; b)12. Một xe buýt xuất hiện tại bến đợi lúc 7 giờ sáng, cứ 15 phút một chuyến. Giả sử thời gianxuất hiện tại bến đợi ( kí hiệu là X ) tại bến đợi của một hành khách có phân phối đều từ7 giờ đến 7 giờ 30.a) Viết hàm phân phối xác suất của X .b) Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi ít hơn 5 phút; nhiều hơn 10 phút.13. Một nhà kinh doanh muốn đầu tư 10 triệu đồng vào một công ty mà nếu trong năm tớicông ty làm ăn thuận lợi có thể sẽ mang lại lãi suất đến 14% còn nếu gặp khó khăn thì lãisuất có thể giảm đến mức 4%. Trong khi đó nếu gửi tiền vào ngân hàng thì lãi suất đảmbảo 8%/năm. Vậy nếu dùng tiền để đầu tư thì khả năng có lãi hơn gửi ngân hàng là baonhiêu.Phân phố mũ – E(λ)14. Thời gian phục vụ mỗi khách hàng (phút/khách hàng) tại một cửa hàng là biến ngẫunhiên có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất như sau:5e5 x voi x  0f ( x)  voi x  00a) Tìm xác suất để thời gian phục vụ khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng từ 0,4 đến1 phút.b) Tìm thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng.15. Khoảng thời gian mà hai khách hàng kế tiếp nhau đến ngân hàng là biến ngẫu nhiên phânphối mũ với trung bình là 3 phút. Giả sử vừa có một khách đến. Tìm xác suất để trongvòng ít nhất 2 phút nữa mới có người khách tiếp theo đến ngân hàng.15Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêPhân phối chuẩn – N(μ; σ2)16. Chiều cao của một người trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 175 cm và độlệch chuẩn 4 cm. Hãy xác định:a) Tỉ lệ người trưởng thành có tầm vóc trên 180 cm.b) Tỉ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm.c) Giá trị m, biết 33% người trưởng thành có chiều cao dưới mức m.d) Giới hạn biến động chiều cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trungbình.17. Thời gian (tính bằng tháng) từ lúc vay tới lúc trả tiền của một khách hàng tại một ngânhàng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 18 tháng, độ lệch tiêu chuẩn 4tháng.a) Tính tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng trong khoảng từ 10 đến 19 tháng;không ít hơn một năm; ít hơn 9 tháng.b) Khoảng thời gian tối thiểu là bao nhiêu để tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàngvượt thời gian đó không quá 1%.18. Gọi X là lượng điện tiêu thụ (tính bằng kWh) hàng tháng của một hộ gia đình.Giả sử X làbiến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn với tham số   70 kWh và   40 kWh. Giátiền điện một tháng là 1500 đồng/kWh nếu lượng điện tiêu thụ trong tháng đó không quá50 kWh. Tháng nào dùng quá mức này sẽ phải trả 700 đồng cho 1 kWh dôi ra. Gọi Y làtiền điện (nghìn đồng) phải trả hàng tháng của một hộ gia đình. Tính các xác suất:a) P(60  Y  317)b) P(Y  251)HD: a) (60  Y  317)  (60  Y  75)  (75  Y  317)  (4  X  50)  (50  X  160) .19. Thời gian hoạt động tốt (không phải sửa chữa) của một máy tính là biến ngẫu nhiên cóphân phối (xấp xỉ) chuẩn với   4300 giờ và   250 giờ. Giả thiết mỗi ngày một chiếcmáy loại này được dùng trong 10 giờ.a) Tìm tỉ lệ máy tính loại này phải bảo hành, nếu thời gian bảo hành là 360 ngày.b) Phải nâng chất lượng máy tính loại này bằng cách làm cho thời gian hoạt động tốttrung bình của sản phẩm lên bao nhiêu để tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành và  vẫnnhư trên song có thể nâng thời gian bảo hành lên thành 720 ngày.20. Khi thâm nhập một thị trường mới, doanh nghiệp chỉ dự kiến được rằng doanh số hàngtháng có thể đạt tuân theo luật phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Khả năng đạt được doanh sốtrên 40 triệu là 0,2 và dưới 25 triệu là 0,1.a) Tìm kì vọng và phương sai của doanh số hàng tháng này.b) Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt được doanh số ít nhất là 32 triệu/tháng.16Bài tập Xác suất Thống kêĐào Hoàng Dũng21. Tuổi thọ của một loại bóng đèn (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩntrung bình 4,2 năm, phương sai 2,25 (năm)2. Khi bán một bóng đèn thì lãi 100 ngànđồng, song nếu đèn phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi trung bình khibán một bóng đèn là 30 ngàn đồng thì phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu?22. Độ dài chi tiết (cm) do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên phân phối (xấp xỉ)chuẩn với độ lệch chuẩn là 9 cm. Nếu được biết 84,13% chi tiết do máy sản xuất có độdài không vượt quá 84 cm thì xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 chi tiết được ít nhất 1 chi tiếtcó độ dài không dưới 80 cm là bao nhiêu.23. Đầu tư vào hai thị trường A và B, có lãi suất là các biến ngẫu nhiên độc lập và phân phốichuẩn.Lãi trung bình Độ lệch chuẩn10%4%Thị trường A9%3%Thị trường Ba) Muốn có lãi hơn 8%, trong ba phương án sau phương án nào là tốt nhất:Phương án 1: Đầu tư toàn bộ tiền vào thị trường A.Phương án 2: Đầu tư toàn bộ tiền vào thị trường B.Phương án 3: Chia đều vốn vào cả hai thị trường.b) Muốn rủi ro (phương sai) là nhỏ nhất thì phải đầu tư vào hai thị trường theo tỉ lệnào.17Bài tập Xác suất Thống kêĐào Hoàng DũngHƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570VN PLUS18Bài tập Xác suất Thống kêĐào Hoàng Dũng19Bài tập Xác suất Thống kêĐào Hoàng Dũng20Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêChương 4Cơ sở lý thuyết mẫu1. Tính trung bình mẫu và độ lệch tiêu chuẩn từ mẫu số liệu sau:X23456789ni1530251241115282. Tính trung bình mẫu và độ lệch tiêu chuẩn từ mẫu số liệu sau:X114115116117118Tần số22675473451033119181123120133. Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu từ các số liệu sau:a)Khoảng 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90Tần số7153028421934187b)KhoảngTần số0,5 – 3,5253,5 – 6,5306,5 – 9,559,6 – 12,5912,5 – 15,5315,5 – 18,5018,5 – 21,5321Bài tập Xác suất Thống kêĐào Hoàng DũngHƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570VN PLUS22Bài tập Xác suất Thống kêĐào Hoàng Dũng23Đào Hoàng DũngBài tập Xác suất Thống kêChương 5Ước lượng tham sốPhương pháp ước lượng điểm1. Cho W  ( X1 , X 2 , X 3 ) là một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn N(μ, σ2).111111424362a) Chứng minh rằng G1 , G2 là các ước lượng không chệch của μ.Lập các thống kê G1  X1  X 2  X 3 và G2  X 1  X 2  X 3 .b) Trong hai ước lượng trên, ước lượng nào tốt hơn cho μ?2. Cho W  ( X1 , X 2 , X 3 ) là một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn N(μ, σ2).131612Lập thống kê G  X1  X 2  X 3 .a) Tính kì vọng và phương sai của G .b) G có phải là ước lượng hiệu quả của μ không? Tại sao?3. Từ một mẫu ngẫu nhiên kích thước 5, xét ba thống kê sau:G1 X  2 X 2  3X 3  4 X 4  5 X 5X1  X 2111, G2  1và G3  X1  X 2  X 3215236Chứng minh ba thống kê trên là các ước lượng không chệch của trung bình tổng thể m.Ước lượng nào hiệu quả hơn cả?Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy4. Trong một cuộc khảo sát 64 khách hàng ở một tiệm ăn nhanh, thời gian đợi trung bình là3 phút và độc lệch chuẩn là 1,5 phút. Với độ tin cậy, tìm khoảng tin cậy cho thờigian đợi phục vụ trung bình của tiệm ăn này. Biết thời gian đợi phục vụ là biến ngẫunhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.5. Trong một cuộc điều tra 150 người nghiện thuốc lá được chọn ngẫu nhiên. Người ta tínhđược số điếu thuốc hút trong một tuần của họ có trung bình là 97 và độ lệch tiêu chuẩn là36. Tìm khoảng tin cậy 99% cho số điếu thuốc hút trung bình trong 1 tuần của ngườinghiện thuốc lá. Biết số điếu thuốc hút trong một tuần của người nghiện thuốc là biếnngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.6. Tuổi thọ của một loại bóng đèn do một dây chuyền sản xuất ra có độ lệch chuẩn là 95giờ. Điều tra 50 bóng đèn loại này tính được tuổi thọ trung bình là 350 giờ. Giả thiết tuổithọ của bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình tối đa của loại bóng đèn này.24