Khi chúng ta thực hiện các phân tích trên một mẫu và tính giá trị trung bình của các kết quả thu được, chúng ta đang ước lượng giá trị thực của mẫu. Mặc dù giá trị trung bình này đại diện tốt nhất cho ước lượng giá trị thực nhưng nó vẫn chỉ là ước lượng. Chúng ta có thể tính khoảng tin cậy của các phân tích này để biểu diễn độ chính xác của phân tích. Show Định nghĩa khoảng tin cậy Khoảng tin cậy được xác định bằng cách giới hạn tin cậy mức trên và dưới. Các giới hạn này được tính từ phân phối t Student. Cách tính phân phối t Student như sau:  Mẫu số của công thức là , chính là sai số chuẩn. Tính các giới hạn tin cậy Nếu ta biết Ví dụ: Kết quả phân tích COD 20 lần cho một mẫu cho giá trị nồng độ lần lượt như sau: 120, 102, 94, 129, 111, 91, 139, 146, 136, 96, 125, 131, 121, 113, 143, 132, 138, 143, 123 và 138 mg/L. Đầu tiên ta tính giá trị trung bình của tất cả kết quả thu được bằng cách cộng tất cả giá trị và chia cho 20. \= 123.6 mg/L Kế tiếp ta tính sai số chuẩn . Lấy độ lệch chuẩn chia cho căn bình phương của số lần phân tích Cách tính độ lệch chuẩn có thể tham khảo ở bài viết “So sánh SD và SRD”. SD trong ví dụ này sẽ là 17.3 mg/L và cỡ mẫu n=20. Do đó, sai số chuẩn là: Độ tự do của ví dụ này là: Xác định giá trị phân phối t Student Đầu tiên xem giá trị t cho giới hạn tin cậy là 95% có giá trị tới hạn 2 đuôi, t-alpha=0.05 với bậc tự do là 19 trong ví dụ này thì \= 2.093 (giá trị tra từ bảng phân phối t có trong bất kì sách nào về thống kê) Tính toán giới hạn tin cậy Bây giờ ta có thể tính khoảng tin cậy 95% cho 20 kết quả COD phân tích trong ví dụ. Sử dụng = 123.6 mg/L, = 3.87 mg/L và = 19, ta tính giới hạn tin cậy như sau: Huong-dan-giai-bai-tap-xac-suat-va-thong-ke-toan-hoc-duong-ton-dam,-ha-manh-linh,-le-hoang-tuan - [cuuduongthancong
Preview text8 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG VÀ KHOẢNG TIN CẬY CHO CÁC THAM SỐ8.3 Khái niệm về ước lượng khoảng. Cần nhớ rằng mẫu là một phần của dân số thường được chọn bởi phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên và như vậy nó là một tập hợp các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,..., Xn với cùng một hàm mật độ xác suất f (x; θ). Sau khi lấy mẫu xong, ta nhận được X 1 = x 1 , X 2 = x 2 ,..., Xn = xn, trong đó x 1 , x 2 ,..., xn là dữ liệu mẫu. Bài toán ước lượng khoảng có thể được phát biểu như sau: Với mẫu X 1 , X 2 ,..., Xn và giá trị xác suất 1 − α , tìm một cặp thống kê θi ( X 1 , X 2 ,..., Xn ) ;i =1,2 ;θ 1 ≤θ 2 sao cho xác suất của θ trên khoảng ngẫu nhiên ( θ 1 ,θ 2 ) là 1 − α , nghĩa là P ( θ 1 ( X 1 , X 2 ,..., Xn ) ≤θ≤θ 2 ( X 1 , X 2 ,..., Xn ))= 1 − α. Biến ngẫu nhiên θ 1 được gọi là giới hạn tin cậy dưới và θ 2 được gọi là giới hạn tin cậy trên. Số (1 − α) được gọi là hệ số tin cậy hoặc mức tin cậy. Khoảng tin cậy cho một mẫu Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình μ, đã biết phương sai của phân phối chuẩn, đã biết phương sai, hoặc của phân phối với cỡ mẫu lớn, đã biết phương sai. Tìm khoảng tin cậy (1 − α) cho trung bình μ của một phân phối chuẩn với phương sai đã biết σ 2 hoặc: Tìm khoảng tin cậy (1 - α) cho giá trị trung bình μ của một dân số có phương sai đã biết σ 2 , trong đó cỡ mẫu n lớn.
\= 1 − α 2 , trong đó Φ ( z ) là hàm phân phối chuẩn tắc. Nghĩa là, zα 2 được xác định để: P ( Z ≥zα 2 ) \=α 2 ;
σ zα 2 √ n ;
Tham số Giả định Khoảng tin cậy ( 1 − α ) a) μ n lớn, σ 2 đã biết, hoặc p chuẩn, σ 2 đã biết, ́ x± zα 2 (σ √ n )b ) μ p chuẩn, σ 2 ch a ư biết ́ x±tα 2 ,n − 1 (s √ n )
(( n − 1 ) s 2 χα 2 ,n − 1 2 ,( n − 1 ) s 2 χ 1 − α 2 ,n − 1 2 )d ) p p nh th c,ị ứ n l nớ ^ p± zα 2 .√p ( 1 − p ) n Bảng 8: Tóm tắt các khoảng tin cậy phổ biến: một mẫu Ví dụ 8.3 Cho mẫu X 1 ,X 2 ,..., X 11 ; có phân phối chuẩn với ∑ i = 1 11 xi = 132 và σ 2 =9,9 ; Ta cần tính khoảng tin cậy 95% ¿( 1 − α ) cho tham số μ. Trước hết ta có ́ x = 13211\= 12 ;√σ 2 n \=√9.11\=√0,. Dùng bảng giá trị của phân phối chính tắc N (0,1) , ta sẽ thu được: zα 2 \= z 0,025=1.. Sử dụng trường hợp a) (trong Bảng 8) ta có khoảng tin cậy cho tham số μ, sẽ là [ 12 −1,96√0,9 ; 12 +1,96√0,9]=[10,14 ; 13,859]. Ví dụ 8.3 Cho mẫu X 1 ,X 2 ,..., X 40 ; với ∑ i = 1 40 xi =286,56, và phương sai σ 2 = 10. Ta cần tính khoảng tin cậy 90% ¿( 1 − α ) cho tham số μ. Ta coi n = 40 > 30 làl n ớ_._ Theo giả thuyết ta có ( 1 − α )=0,9 ⇒ α 2 \=0,05 ⇒z 0,05=1,64, (Theo bảng giá trị N (0,1)¿.Mặt khác ta có giá trị của trung bình mẫu là: ́ x = 286,40\=7,164. Sử dụng trường hợp
(( n − 1 ) s 2 χα 2 ,n − 1 2 ,( n − 1 ) s 2 χ 1 − α 2 ,n − 1 2 )\=(128,21,;128,5,32 )≈ (6,11 ; 24,55). Khoảng tin cậy cho tham số p của phân phối nhị thức. (Xem cách tính theo phần d) trong bảng 8). Ví dụ 8.3 Khi khảo sát ý kiến về một vấn đề, người ta đã lấy ý kiến của 78 người, và thu nhận được 33 ý kiến đồng ý (về vấn đề đó). Cần tìm khoảng tin cậy 95% cho tham số p (tỉ lệ đồng ý) cho bài toán ước lượng khoảng. Trước hết ta thấy rằng: ^ p = 33 78 \=0,4231 ;⇒√p ( 1 − p ) n \=√0,4231,78≈ 0,0559.Áp dụng cách tính theo phần d) trong bảng 8, với khoảng tin cậy 95%, ta có zα 2 \= z 0,025=1,96 (Dùng bảng chuẩn N (0,1) ). Từ đó suy ra: ^ p − zα 2 .√p ( 1 − p ) n \=0,4231−1. 0,0559 ≈ 0,3135.Tương tự ta tính được: ^ p + zα 2 .√p ( 1 − p ) n ≈ 0,5237,Vậy khoảng tin cậy cho p sẽ là: [0,3135 ; 0,5237]. BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG (Ước lượng điểm) Bài tập 01. Cho mẫu X 1 ,X 2 ,..., XN; có phân phối nhị thức B ( n, p ) với các tham số n;p đều chưa biết và cần tìm hàm ước lượng theo phương pháp momen. Hướng dẫn giải Trước hết ta có các momen gốc bậc nhất lý thuyết và thực nghiệm là: np = EX = X ́. (*) Sau đó khi xét đến momen gốc bậc hai ta sẽ thu được phương trình: 1 N ∑ i = 1 N Xi 2 = E X 2 = np ( 1 − p )+ n 2 p 2 (**) Gọi T 1 ( X 1 ,X 2 ,...,XN ) và T 2 ( X 1 ,X 2 ,..., XN ) là các hàm ước lượng cho p và n tương ứng. Từ phương trình (*) ta sẽ có: T 1 ( X 1 ,X 2 ,..., XN )= X ́T 2 ( X 1 ,X 2 ,..., XN ) ;Mặt khác vì T 2 ( X 1 ,X 2 ,..., XN ) là hàm ước lượng của n, nên từ (**) sẽ suy ra T 2 ( X 1 ,X 2 ,..., XN )= ( X ́) 2 X ́+ E X 2 −(∑ i = 1 N 1 N Xi 2 ) ;Ta chú ý rằng: X P ́ → np; ∑ i = 1 N 1 N Xi 2 P → np ( 1 − p )+ n 2 p 2 ; như vậy T 1 và T 2 đều là các ước lượng vững. Bài tập 02. Cho mẫu X 1 ,X 2 ,..., Xn; có phân phối Gamma G ( α, β ) với các tham số α, β đều chưa biết và cần tìm hàm ước lượng theo phương pháp momen. Hướng dẫn giải Trong phần về lý thuyết xác suất (Xem bài học 03) ta đã biết về kỳ vọng và phương sai của phân phối Gamma G ( α, β ) tương ứng là: EX = αβ;Var X = α β 2 ; Từ đó ta suy ra hệ phương trình momen sau: X ́= αβ; n − 1 n S 2 = α β 2 ; Giải hệ phương trình trên bằng cách khử ta thu được: ^ β =( n − 1 ) S 2 nX ́ ;α ^= X ́^ β ; Bài tập 03. Cho mẫu X 1 ,X 2 ,..., Xn; có phân phối Poisson với tham số λ, chưa biết và cần tìm hàm ước lượng theo phương pháp hợp lý cực đại. (Maximum likelihood method). Hướng dẫn giải cậy cho ước lượng về giá trị trung bình và phương sai theo các dữ liệu mẫu nêu trên với độ tin cậy 95%. Hướng dẫn giải Trước hết ta tính trung bình mẫu và phương sai mẫu (trong bài tập này chúng đều chưa được biết, ta sẽ có: Độ tin cậy 95% thì Z bằng bao nhiêu?Khoảng tin cậy 95% = 0.95 = 1 - α ⇒ α = 0.05 ⇒ z0. 025 = 1.96. Độ tin cậy 95% có nghĩa là gì?Thiết lập khoảng tin cậy 95% bằng cách sử dụng giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu với giả định là phân phối chuẩn, giả sử các nhà nghiên cứu tìm ra được điểm giới hạn trên và dưới có chứa giá trị trung bình thực tế trong 95% tổng thời gian hay khoảng tin cậy là giữa 183cm và 193cm. Trung bình tổng thể là gì?Trung bình cộng của một dãy số trong toán học chính là tỉ số giữa tổng giá trị của tập hợp số đó và toàn bộ các phân tử có trong tập hợp đó. Hiểu một cách đơn giản, trung bình cộng là thương giữa tổng các số hạng có trong dãy số đã cho với các số hạng vừa lấy tổng. Trong đó: N là số các giá trị Độ dài khoảng tin cậy kí hiệu là gì?Trong thống kê, khoảng tin cậy (tiếng Anh: confidence interval hay viết tắt: CI) là một loại ước lượng khoảng, được tính từ số liệu thống kê của dữ liệu quan sát được, có thể bao hàm giá trị thực của tham số quần thể chưa biết. |
