Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ a) \(3(x^2+x)^2-2(x^2+x)-1=0\) b) \((x^2-4x+2)^2+x^2-4x-4=0\) c) \(x-\sqrt x =5\sqrt x+7\) d) \(\dfrac{x}{x+1}-10.\dfrac{x+1}{x}=3\)
a) Đặt \({{x}^{2}}+x=t \) Phương trình trở thành \(3{{t}^{2}}-2t-1=0 \) Có: \(a+b+c=3+(-2)+(-1)=0 \) Phương trình có hai nghiệm \(\left\{ \begin{aligned} & {{t}_{1}}=1 \\ & {{t}_{2}}=-\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right. \) Với \(t=1\Rightarrow {{x}^{2}}+x=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=0 \) Có \( \Delta ={{1}^{2}}-4.\left( -1 \right)=5 \) Phương trình có hai nghiệm \( {{x}_{1}}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\,{{x}_{2}}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \) Với \( t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{x}^{2}}+x=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3x+1=0 \) Có \(\Delta ={{3}^{2}}-4.3.1=-3<0 \) Phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \({{x}_{1}}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\,{{x}_{2}}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \) b) Đặt \( {{x}^{2}}-4x+2=t\Rightarrow {{x}^{2}}-4x-4=t-6\) Phương trình trở thành \({{t}^{2}}+t-6=0 \) Có \(\Delta =1-4.\left( -6 \right)=25>0 \) Phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{aligned} & t=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2}=-3 \\ & t=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2}=2 \\ \end{aligned} \right. \) Với \(t=-3\) ta có: \( {{x}^{2}}-4x+2=-3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+5=0 \) Ta có: \( \Delta '={{\left( -2 \right)}^{2}}-5=-1<0 \) Phương trình vô nghiệm Với \(t=2\) ta có: \(\begin{aligned} & {{x}^{2}}-4x+2=2 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x=0 \\ & \Leftrightarrow x\left( x-4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \( {{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=4 \) c) Điều kiện xác định \(x\ge 0\) \(x-\sqrt{x}=5\sqrt{x}+7\Leftrightarrow x-6\sqrt{x}-7=0 \) Đặt \( \sqrt{x}=t\,\,\left( t\ge 0 \right) \) Phương trình trở thành \({{t}^{2}}-6t-7=0 \) Có \(a-b+c=1-\left( -6 \right)+\left( -7 \right)=0 \) Phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{aligned} & t=-1\,\,\,\left( \text{loại} \right) \\ & t=7 \\ \end{aligned} \right. \) Với \(t=7\) suy ra \( \sqrt{x}=7\Rightarrow x=49 \) Vậy phương trình có một nghiệm \(x=49\) d) Điều kiện xác định \(x\ne 0;x\ne -1 \) Đặt \(\dfrac{x}{x+1}=t \) Phương trình trở thành: \(\begin{aligned} & t-10.\dfrac{1}{t}=3 \\ & \Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t-10=0 \\ \end{aligned} \) Có \( \Delta ={{\left( -3 \right)}^{2}}+4.10=49>0 \) Phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{aligned} & t=\dfrac{3+\sqrt{49}}{2}=5 \\ & t=\dfrac{3-\sqrt{49}}{2}=-2 \\ \end{aligned} \right. \) \( \begin{aligned} & \dfrac{x}{x+1}=5 \\ & \Rightarrow x=5x+5 \\ & \Leftrightarrow 4x=-5 \\ & \Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{4} \\ \end{aligned} \) Với \( t=-2 \) ta có: \(\begin{aligned} & \dfrac{x}{x+1}=-2 \\ & \Leftrightarrow x=-2\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow 3x=-2 \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{3} \\ \end{aligned} \) Vậy phương trình có hai nghiệm \(x=-\dfrac{5}{4};x=-\dfrac{2}{3} \) Tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp.
Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau: a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\), biết nghiệm x1 = 7 b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0,\) biết nghiệm x1 = 12,5 c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0,\) biết nghiệm x1 = -2 d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0,\) biết nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\) Giải a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm x1 = 7 Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = - 35 \Rightarrow 7{x_2} = - 35 \Leftrightarrow {x_2} = - 5\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - m \cr & \Rightarrow - m = 7 + \left( { - 5} \right) \Leftrightarrow - m = 2 \Leftrightarrow m = - 2 \cr} \) Vậy m = -2 thì phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm x1 = 7 và nghiệm x2 = -5 b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm x1 = 12,5 Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = 13 \Rightarrow 12,5 + {x_2} = 13 \Leftrightarrow {x_2} = 0,5\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = m \Rightarrow m = 12,5.0,5 = 6,25\) Vậy với m = 6,25 thì phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm x1 = 12,5 và có nghiệm x2 = 0,5 c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x1 = -2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - {3 \over 4} \Rightarrow - 2 + {x_2} = - {3 \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = {5 \over 4}\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 2.{5 \over 4} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4} \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr & \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr & {m_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = 5 \cr & {m_2} = {{3 - 7} \over {2.1}} = - 2 \cr} \) Vậy m = 5 hoặc m = -2 thì phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x1 = -2 và nghiệm \({x_2} = {5 \over 4}\) d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {5 \over 3} \Rightarrow {1 \over 3}{x_2} = {5 \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = 5\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3}\) \( \Rightarrow {1 \over 3} + 5 = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3} \Leftrightarrow 2\left( {m - 3} \right) = 16 \Leftrightarrow m - 3 = 8 \Leftrightarrow m = 11\) Vậy m = 11 thì phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\) có nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\) và nghiệm \({x_2} = 5\). Sachbaitap.com Báo lỗi - Góp ý Bài tiếp theo Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay >> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Xem thêm tại đây: Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
|
