Giới thiệu về cuốn sách này Show Page 2Giới thiệu về cuốn sách này §2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Bất phương trình một ẩn Bất phương trình ẩn X là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)<g(x) (f(x) < g(x)) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của X. Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0) < g(x0)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. Hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình ẩn X gồm một số bất phương trình ẩn X mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của X đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “o" để ch? sự tương đương của hai bất phương trình đó. Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương đó. Phép biến đổi tương đương Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương. Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tựơng đương. P(x) < Q(X) o P(x) + f(x) < Q(X) + f(x) Nhân (chia) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P(x) P(x).f(x) 0, Vx P(x) Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, Vx Bình phương Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương. P(x) P2(x) 0,Q(x)>0, Vx B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Tìm các giá trị X thoả mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau . 1 , 1 a) - < 1 - —— ; X X +1 c) 2|x|-1+^x-1 < 2* 2x 2 . ? ... „ X -4 X -4x + 3 d) 2Ự1 — X > 3x + —— . x + 4 tfuii a) Điều kiện: ] X e R \ {0; -II X * -1 b) Điều kiện: xz - 4 * 0 X2 - 4x + 3 * 0 X * ±2 X * 1 o X e K \ (1; 3; 2; -2} X * 3 Điều kiện: X * -1 X e \ (-1Ị Điều kiện: p X-0JX_1xe (-ao; 1]\{—4| IX + 4 * 0 X * -4 b) ựl + 2(x-3)2 +V5-4X + X2 <1 Chứng minh các bất phương trinh sau vô nghiệm a) X2 + ựx + 8 < -3 ; Vl + X2 - \Ỉ7 + X2 > 1. éjiải Vì X2 > 0 và yJx + 8 > 0, Vx > -8 nên X2 + Vx + 8 > 0, Vx > -8 Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. Vì ựl + 2(x - 3)2 > 1 và Võ - 4x + X2 = ^1 + (x - 2)2 > 1 với mọi X nên yỊl + 2(x - 3)2 + Võ - 4x + X2 > 2, Vx e K Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. Vì Vl + X2 < Vĩ + X2 nên Vl + X2 - Vĩ + X2 < 0. Vx e R Bâ't phương trình đã cho vô nghiệm. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương? a) -4x + 1 > 0 và 4x - 1 < 0; b) 2x2 + 5 < 2x - 1 và 2x2 - 2x + 6 < 0; c)x+1>0vàx+1+ 1 > —; d) Vx-1 > X và (2x + 1)v/x — 1 > x(2x +1). x2 + 1 X +1 ốỹúii a) Nhân hai vế bất phương trình thứ nhát với -1 và đổi chiều ta được bâ't phương trình thứ hai (tương đương). b) Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử ta được bất phương trình tương đương. 1 c) Cộng vào hai vế bất phương trình với biểu thức X2 +1 không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được bất phương trình tương đương, d) Hai bâ’t phương trình có điều kiện chung là X > 1. Trên tập các giá trị này của X thì biểu thức 2x + 1 > 0 nên nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với biểu thức 2x + 1 ta được bất phương trình thứ hai (tương đương). 4. Giải các bất phương trinh sau 3x + 1 _ x-2 1-2x . 2 3 < 4 ' a) b) (2x - 1 )(x + 3) - 3x + 1 < (X - 1)(x + 3) + X2 - 5. a) 3x +1 X-2 1-2X 3(3x +1) - 2(x - 2) 1 - 2x n —- — -2 ’ ù L _ 2— < 0 2 3 4 6 4 7x + 7 2x - 1 o < 0 <2 14x + 14 + 6x - 3 < 0 o 20x < -11 11 c _ f 11 X < - ^. Vậy s = -o°;-êê 20 V 20 b) (2x - l)(x + 3) - 3x + 1< (x - l)(x + 3) + X2 - 5 2x2 + 5x-3-3x + 1 1 < -5 vô nghiệm, s = 0. 5. Giải các hệ bất phương trình: a) a) 8x + 3 < 2x + 5 6x + < 4x + 7 7 8x + 3 < 2x + 5; tyZd’z 2x < 7 -1 7 8x + 3 < 4x + 10 22 b) „ 44 2x < — 7 4x < 7 2 3 3X-14 15x-2>2x + 2(x -4) < X < ỳ . Vậy s = -oo; b) 15x - 2 > 2x + 3 13x> 2(x - 4) 3x -14 4x - 16 < 3x -14 X > — 39 X < 2 J- < X < 2. Vậy: s = |-J-;2 I. 39 139 1 c. BÀI TẬP LÀM THÊM Giải các bất phương trình sau: a) 2(x - 1) + X > ^7-3 + 2; . x+2x-2x-1_x c) —— + —— >3 + 7 2 3 4 2 Giải và biện luận các phương trình: a) m2x - 1 > X + m; b) (X + Tã )2 > (x - 72 )2 + 2; (m-1)x 1-x x-1 b) — > -—- - ——- 2(m + 2)> 2 m + 2 3x-1 3(x-2) 5-3X 4x-1 x-1 4-5x 18 >_Ĩ2 9— X + 4m 2x-1 Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn hệ phương trình: ĩvp iể: X = 4. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: T)áf} iế: m > - 2.
Bất phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những dạng toán phổ biến ở lớp 8. Là phần quan trọng trong những kì thi học kì và tốt nghiệp. Hôm nay Kiến xin gửi đến các bạn 1 số bài tập liên quan đến bất phương trình và có hướng dẫn giải cho các bạn. Các dạng bài tập nằm ở chương trình lớp 8 . Các bạn cùng tham khảo với Kiến nhé. I. Giải toán 8 các bài tập bất phương trình một ẩn (đề)Bài 1: Bất phương trình ax + b > 0 vô nghiệm khi A.. B. C. Bài 2: Tập nghiệm S của bất phương trình: 5x – 1 ≥
Bài 3: Bất phương trình A. 4 B. 5 Chọn đáp án B. Bài 4: Tập nghiệm S của bất phương trình: (1 –
Bài 5: Bất phương trình ( 2x – 1 )( x + 3 ) – 3x + 1 ≤ ( x – 1 )( x + 3 ) + x2 – 5 có tập nghiệm là?
Bài 6: Giải bất phương trình : 2x + 4 < 16 A. x > 6 B. x < 6 Bài 7: Giải bất phương trình: 8x + 4 > 2(x+ 5) A. x > 2 B. x < -1
Bài 10: Tìm m để x = 2 là nghiệm bất phương trình: mx + 2 < x + 3 + m A. m = 2 B. m < 3 Bài 11: Bất phương trình nào là bất phương trình một ẩn ? a) 2x – 3 < 0; b) 0.x + 5 > 0; c) 5x – 15 ≥ 0; d) x2> 0. Bài 12 Giải các bất phương trình sử dụng theo quy tắc chuyển vế a) x – 5 > 3 b) x – 2x < -2x + 4 c) -3x > -4x + 2 d) 8x + 2 < 7x – 1 II. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8 (đề)Câu 1: Giải chi tiết: Nếu a > 0 thì ax + b > 0 ⇔ x > Nếu a < 0 thì ax + b > 0 ⇔ x < Nếu a = 0 thì ax + b > 0 có dạng 0x + b > 0 Ta có nếu b > 0 => S = R. Ta có nếu b ≤ 0 => S = Ø Chọn đáp án D. Câu 2: Giải chi tiết: Ta có: 5x – 1 ≥ Vậy tập nghiệm S là x ≥ Chọn đáp án D. Câu 3: Giải chi tiết: Ta có:  So sánh điều kiện => có 5 nghiệm nguyên. Chọn đáp án B. Câu 4: Giải chi tiết: Vậy tập nghiệm S là: x > Chọn đáp án B. Câu 5: Giải chi tiết: Ta có: ( 2x – 1 )( x + 3 ) – 3x + 1 ≤ ( x – 1 )( x + 3 ) + x2 – 5 ⇔ 2x2 + 5x – 3 – 3x + 1 ≤ x2 + 2x – 3 + x2 – 5 ⇔ 0x ≤ – 6 ⇔ x thuộc tập hợp Ø vậy S = Ø Chọn đáp án D. Câu 6: Giải chi tiết: Chọn đáp án B Câu 7: Giải chi tiết: Ta có: 8x + 4 > 2( x +5 ) ⇔ 8x + 4 > 2x + 10 ⇔ 6x > 6 ⇔ x > 6 : 6 ⇔ x > 1 Chọn đáp án D Câu 8: Giải chi tiết: Chọn đáp án C Câu 9: Giải chi tiết: Chọn đáp án A Câu 10: Giải chi tiết: X=2 : ⇔ 2m + 2 < 2 + 3 + m ⇔ 2m – m < 2 + 3- 2 ⇔ m < 3 Chọn đáp án B Câu 11: Giải chi tiết: – Bất phương trình a là bất phương trình bậc nhất một ẩn. – Bất phương trình c là bất phương trình bậc nhất một ẩn. – Bất phương trình b có chỉ số a = 0 không thỏa điều kiện là a ≠ 0 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn. – Bất phương trình d có mũ x là bậc 2 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Câu 12: Giải chi tiết: Sử dụng quy tắc chuyển vế và đổi dấu ⇔ x > 3 + 5 ⇔ x > 8. Vậy nghiệm của S là x > 8. ⇔ x – 2x + 2x < 4 ⇔ x < 4 Vậy nghiệm của S là x < 4. ⇔ -3x + 4x > 2 ⇔ x > 2 Vậy nghiệm của S là x > 2. ⇔ 8x – 7x < -1 – 2 ⇔ x < -3 Vậy nghiệm của S là x < -3. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn do Kiến biên soạn. Nhằm giúp các bạn làm có thêm kiến thức cho bản thân, còn những bạn học tốt thì có thể tham khảo xem bản thân mình đạt ở mức độ nào. Sau khi làm xong các bạn hãy xem kỹ hướng dẫn giải nhé. Nó giúp các bạn hiểu thêm về những bài toán bất phương trình, đa dạng hơn về cách giải. Chúc các bạn thành công trên con đường học tập |
