Tài liệu gồm 38 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề tứ giác nội tiếp, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 9 chương 3 bài số 7.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] 1. Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Quảng cáo 2. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng . 3. Nếu trong một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 4. Nếu một tứ giác lồi có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Bài 1: Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải Quảng cáo
Suy ra các điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp.
+) ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp cùng chắn ). +) ∠FHB = ∠EHC(đối đỉnh). Suy ra ΔBHF ∼ ΔCHE (g.g) BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF (1) Chứng minh tương tự ta có: HA.HD = HB.HE (2) Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF. Bài 2: Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Các điểm M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
Suy ra các điểm M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AH nên: ∠AMN = ∠AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) Mặt khác: ∠AHN = ∠ACH Do đó ΔAMN ∼ ΔACB (g.g) => AM/AC = AN/AB hay AM.AB = AN.AC.
∠AMN = ∠ACH Suy ra ∠BMN + ∠ACH = ∠BMN + ∠AMN = 180o Vậy tứ giác BMNC nội tiếp. Bài 3: Cho tam giác ABC có góc. Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn giải Quảng cáo Gọi D là giao điểm khác của A của đường thẳng AI với đường tròn ngoại tiếp ΔABC . Ta có: ∠BID = ∠IAB + ∠ABI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠B ∠CID = ∠IAC + ∠ACI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠C Do đó: ∠BIC = ∠BID + ∠CID = 1/2 ∠A + 1/2∠B + 1/2∠C + 1/2∠A =1/2∠A + 90o Mặt khác: ∠BOC = 2∠A = 120o. Do đó hai điểm I và O cùng nhìn đoạn BC dưới những góc bằng nhau. Ngoài ra hai điểm I và O cùng thuộc nửa mặt phẳng chứa A, bờ BC. Do đó B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn. Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có ∠A > ∠B > ∠C. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB, AC tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là các giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
\=> ΔAMN cân tại A. Ta có: ∠CNQ = ∠ANM (đối đỉnh) \= (180o - ∠A)/2 =(∠B + ∠C)/2 \=∠IBC + ∠ICB = ∠CIQ Tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp I và N cùng nhìn cạnh QC dưới các góc bằng nhau nội tiếp được một đường tròn.
Vì AC tiếp xúc với đường tròn (I) tại N nên IN ⊥ AC hay ∠INC = 90o Suy ra ∠IQC = 90o (1) Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB nội tiếp \=> ∠IMB = ∠IPB = 90o Từ (1) và (2) suy ra: ∠BPC = ∠BQC = 90o nên tứ giác BPQC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có ∠BAD = 90o, có tâm là O. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên BD, AD, AB. Chứng minh bốn điểm M, N, P, O cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn giải Quảng cáo Ta có: ∠CPA = ∠CNA = 90o (gt) nên tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC. Suy ra ∠PON = 2∠PCN Lại có: ∠PCN + ∠NAP = 180o \=> ∠PCN = 180o - ∠NAP = ∠ABC (do AD // BC) Do đó ∠PON = 2∠ABC (1) Mặt khác ∠PMN = 180o - (∠PMB + ∠NMD) Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn đường kính CD nên: ∠NMD = ∠NCD = 90o - ∠CDN = 90o - ∠ABC Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường tròn đường kính BC nên: ∠PMB = ∠PCB = 90o - ∠ABC \=> ∠PCB = 180o - (90o - ∠ABC + 90o - ∠ABC) = 2∠ABC (2) Từ (1) và (2) suy ra: ∠PON = ∠PMN do đó tứ giác POMN nội tiếp. Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.  Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
