Các bài tập tim nghiệm tổng quát pt vi phân năm 2024

* ]BƠƭAE T\ÊAB YG ]BÌA HẤ] < * Bỉ ]BƠƭAE T\ÊAB YG ]BÌA T^WằA TËAB HẤ] KỒT

]TY] T^WằA TËAB HẤ] <ĝỆab jû tỘa tắg duy abẮt aebgễk3

     

y p x y q x y i x

   

(?) AẰu hïh bík sở p(x), q(x), i(x) jgãa tỮh tr`ae (o,l) tbê vỖg kịg x

\=



(o,l) ví vỖg kịg egï trỆ y

\=

, y

?

, pbƽƯae trêab (?) hø duy abẮt aebgễk tbỀo kèa

   

\=\=\=?

,

y x y y x y

 

Aeuyãa jû hbỘae hbẮt aebgễk AẰu y

?

ví y

<

jấa jƽỨt jí hïh aebgễk hụo pty‛ + p(x)y‗ + q(x)y ; i

?

(x)y‛ + p(x)y‗ + q(x)y ; i

<

(x)tbê y

?

+ y

<

jí aebgễk hụo pty‛ + p(x)y‗ + q(x)y ; i

?

(x) + i

<

(x)

• 1. PHU . O . NG TR`INH VI PHˆAN 1) Gia' i phu . o . ng trnh: 2xy y” = y 2 − 1 HD gia’i: D- a. t y = p : 2xpp = p2 − 1 Vo . i x(p2 − 1) = 0 ta co : 2pdp p2 − 1 = dx x ⇔ p2 − 1 = C1 ⇔ p = ± √ C1x + 1 p = dy dx = √ C1 + 1 ⇒ y = 2 3C1 (C1x + 1) 3 2 + C2 2) Gia' i phu . o . ng trnh: √ y.y” = y HD gia’i: D- a. t y = p ⇒ y” = p dp dy (ham theo y). Phu . o . ng trnh tro .' thanh: √ yp dp dy = p Vo . i p = 0 ta du . o . . c phu . o . ng trnh: dp = dy √ y ⇒ p = 2 √ y + C1 ⇔ dy dx = 2 √ y + C1 ⇒ dx = dy 2 √ y + C1 Tu . do nghi^e. m t^o'ng qua t: x = √ y − C1 2 ln |2 √ y + C1| + C2 Ngoai ra y = c: hang cu~ ng la nghi^e. m. 3) Gia' i phu . o . ng trnh: a(xy + 2y) = xyy HD gia’i: a(xy + 2y) = xyy ⇒ x(a − y)y = −2ay N^eu y = 0, ta co phu . o . ng trnh tu . o . ng du . o . ng vo . i a − y y dy = − 2a x dx ⇔ x2a ya e−y = C Ngoai ra y = 0 cu~ ng la nghi^e. m. 4) Gia' i phu . o . ng trnh: y” = y ey HD gia’i: D- a. t y = p ⇒ y” = p dp dy thay vao phu . o . ng trnh: p dp dy = pey Vo . ip = 0 : dp dy = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ dy dx = ey + C1 ⇔ dy ey + C1 = dx Vo . i C1 = 0 ta co : dy ey + C1 = 1 C1 ey + C1 − ey ey + 1 dy = 1 C1 (y − ey dy ey + C1 ) = y C1 − 1 C1 ln(ey + C1) nhu . v^a. y: dx ey + C1 =    −e−y nˆe´u C1 = 0 1 C1 (y − ln |ey + C1|) nˆe´u C1 = 0. Ngoai ra y = C : hang la m^o. t nghi^e. m 5) Gia' i phu . o . ng trnh: xy = y(1 + ln y − ln x) vo . i y(1) = e www.VNMATH.com
• 2. u . a phu . o . ng trnh v^e : y = y x (1 + ln y x ), da. t y = zx du . o . . c: xz = z ln z • z ln z = 0 ⇒ dz z ln z = dx x ⇒ ln z = Cx hay ln y x = Cx ⇔ y = xeCx y(1) = e → C = 1. V^a. y y = xex 6) Gia' i phu . o . ng trnh: y”(1 + y) = y 2 + y HD gia’i: D- a. t y = z(y) ⇒ z = z dz dy thay vao phu . o . ng trnh: dz z + 1 = dy y + 1 ⇒ z + 1 = C1(y + 1) ⇒ z = C1y + C1 − 1 ⇔ dy C1y + C1 − 1 = dx (∗) • C1 = 0 ⇒ (∗) cho y = C − x • C1 = 0 ⇒ (∗) cho 1 C1 ln |C1y + C1 − 1| = x + C2 Ngoai ra y = C la nghi^e. m. To m la.i nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C, y = C − x; 1 C1 ln |C1y + C1 − 1| = x + C2 7) Gia' i phu . o . ng trnh: y = y2 − 2 x2 HD gia’i: Bi^en d^o'i (3) v^e da.ng: x2 y = (xy)2 − 2 (∗) D- a. t z = xy ⇒ z = y + xy thay vao (∗) suy ra: xz = z2 + z − 2 ⇔ dz z2 + z − 2 = dx x ⇔ 3 z − 1 z + x = Cx V^a. y TPTQ: xy − 1 xy + 2 = Cx3 . 8) Gia' i phu . o . ng trnh: yy” + y 2 = 1 HD gia’i: D- a. t y = z(y) ⇒ y” = z. dz dy Bi^en d^o'i phu . o . ng trnh v^e : z 1 − z2 dz = dy y ⇔ z2 = 1 + C1 y2 ⇒ dy dx = ± 1 + C1 y2 ⇔ ± dy 1 + C1 y2 = dx ⇒ y2 + C1 = (x + C2)2 Nghi^e. m t^o'ng qua t: y2 + C1 = (x + C2)2 9) Gia' i phu . o . ng trnh: 2x(1 + x)y − (3x + 4)y + 2x √ 1 + x = 0 HD gia’i: y − 3x + 4 2x(x + 1) .y = − 1 √ x + 1 ; x = 0, x = −1 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: dy y = 3x + 4 2x(x + 1) dx = ( 2 x − 1 2(x + 1) )dx ⇔ y = Cx2 √ x + 1 www.VNMATH.com
• 3. s^o: C = − 1 x2 ⇒ C = − 1 x + ε. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = x2 √ x + 1 ( 1 x + ε) 10) Gia' i phu . o . ng trnh: y” = e2y thoa' y(0) = 0 y (0) = 0 HD gia’i: D- a. t z = y → y” = z. dz dy phu . o . ng trnh tro .' thanh z. dz dy = e2y ⇔ z2 2 = e2y 2 + ε y (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − 1 2 . V^a. y z2 = e2y − 1. Tu . do : z = dy dx = √ e2y − 1 ⇒ dy √ e2y − 1 = x + ε. d¯ˆo’i biˆe´n t = √ e2y − 1 arctg √ e2y − 1 = x + ε y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^a. y nghi^e. m ri^eng thoa' di^e u ki^e. n d^e bai: y = 1 2 ln(tg2 x + 1). 11) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: xy + 2y = xyy thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(−1) = 1. HD gia’i: Vi^et phu . o . ng trnh la.i: x(1 − y)y = −2y; do y(−1) = 1 n^en y ≡ 0. D- u . a v^e phu . o . ng trnh ta ch bi^en: 1 − y y dy = −2 dx x tch ph^an t^o'ng qua t: x2 ye−y = C. Thay di^e u ki^e. n vao ta du . o . . c C = 1 e . V^a. y tch ph^an ri^eng c^a n tm la: x2 ye1−y = 1. 12) Bang ca ch da. t y = ux, ha~ y gia' i phu . o . ng trnh: xdy − ydx − x2 − y2dx = 0. (x 0) HD gia’i: D- a. t y = ux; du = udx + xdu thay vao phu . o . ng trnh va gia' n u . o . c x: xdu −√ 1 − u2dx = 0. Ro~ rang u − ±1 la nghi^e. m. khi u ≡ ±1 du . a phu . o . ng trnh v^e ta ch bi^en: du 1 − u2 = dx x . TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x 0). V^a. y NTQ cu' a phu . o . ng trnh: y = ±x; arcsin y x = ln x + C. 13) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: xy = x2 − y2 + y thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(1) = 0. HD gia’i: xy = x2 − y2 + y ⇐⇒ y = 1 − y2 x2 + y x da. t u = y x hay y = ux suy ra y = xu + u phu . o . ng trnh thanh: xu = √ 1 − u2 ⇐⇒ du √ 1 − u2 = dx x www.VNMATH.com
• 4. = ln Cx thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(1) = 0 khi C = 1. V^a. y nghi^e. m y = ±x. 14) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: y sin x = y ln y thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y( π 2 ) = e. HD gia’i: y sin x = y ln y ⇐⇒ dy y ln y = dx sin x ⇐⇒ ln y = C tan x 2 ⇐⇒ y = e C tan x 2 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y( π 2 ) = e khi C = 1. V^a. y y = e tan x 2 . 15) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(0) = 1. HD gia’i: D- a. t x + y = z =⇒ dy = dz − dx phu . o . ng trnh thanh: (2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0; gia' i ra x − 2z − 3 ln |z − 2| = C. V^a. y x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(0) = 1 khi C = 2. 16) Bang ca ch da. t y = 1 z r^o i da. t z = ux,ha~ y gia' i phu . o . ng trnh: (x2 y2 − 1)dy + 2xy3 dx = 0 HD gia’i: D- a. t y = 1 z du . o . . c: (z2 − x2 )dz + 2zxdx = 0; r^o i da. t z = ux, du . o . . c (u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0 ⇐⇒ dx x + u2 − 1 u3 + u du = 0 ⇐⇒ ln |x| + ln u2 + 1 |u| = ln C ⇐⇒ x(u2 + 1) u = C thay u = 1 xy du . o . . c nghi^e. m 1 + x2 y2 = Cy. 17) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: y − xy = x + x3 HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = Ce x2 2 . x2 2 + 1 . www.VNMATH.com
• 5. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − y = y2 . HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh ta ch bi^en va co nghi^e. m t^o'ng qua t la ln | y y + 1 | = x + C. 19) Tm nghi^e. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y + y x = ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = C x + ex − ex x . 20) Tm nghi^e. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − y = y3 . HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh ta ch bi^en va co nghi^e. m t^o'ng qua t la C + x = ln |y| − arctgy. 21) Gia' i phu . o . ng trnh: y = y x + sin y x , vo . i y(1) = π 2 HD gia’i: y = zx ⇒ y = z x + z, phu . o . ng trnh tro .' thanh: z x = sin x ⇔ dz sin z = dx x ⇔ ln |tg z 2 | = ln |x| + ln C ⇔ tg z 2 = Cx V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: tg y 2x = Cx; y(1) = π 2 ⇒ C = 1. V^a. y: tg y 2x = x. 22) Gia' i phu . o . ng trnh: (x − y cos y x )dx + x cos y x dy = 0 HD gia’i: D- a. t y x = z ⇒ y = z x + z phu . o . ng trnh du . o . . c du . a v^e da.ng: x cos z.z + 1 = 0 ⇔ cos zdz = − dx x + C ⇔ sin z = − ln |x| + C V^a. y TPTQ: sin y x = − ln |x| + C 23) Gia' i phu . o . ng trnh: (y 2 − 1)x2 y2 + y (x4 − y4 ) = 0 HD gia’i: La phu . o . ng trnh da' ng c^ap nhu . ng gia' i kha phu . c ta.p. www.VNMATH.com
• 6. b^a. c hai d^oi vo . i y : = (x4 + y4 )2 ⇒ y1 = y2 x2 ; y2 = − x2 y2 . Tu . do co hai ho. nghi^e. m t^o'ng qua t: y = x C1x + 1 ; x3 + y3 = C2 24) Gia' i phu . o . ng trnh: y2 + x2 y = xyy HD gia’i: Vi^et phu . o . ng trnh la.i y = y2 x2 y x − 1 d^ay la phu . o . ng trnh thu^a n nh^at, gia' i ra du . o . . c nghi^e. m t^o'ng qua t: y2 = Cxe y x 25) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(1) = 0. HD gia’i: D- a. t x = u − 1 y = v + 3. thay vao phu . o . ng trnh du . o . . c: (u + v)du + (u − v)dv = 0, d^ay la phu . o . ng trnh thu^a n nh^at co tch ph^an t^o'ng qua t la: u2 + 2uv − v2 = C. V^a. y tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh ban d^a u la: x2 + 2xy − y2 − 4x + 8y = C 26) Gia' i phu . o . ng trnh (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0. HD gia’i: D- a. t x = X − 1 y = Y + 3 , phu . o . ng trnh thanh: (X + Y )dX + (X − Y )dY = 0 da. t Y = uX du . a phu . o . ng trnh v^e dX X + 1 − u 1 + 2u − u2 du = 0. Gia' i ra X2 (1 + 2u − u2 ) = C hay x2 + 2xy − y2 − 4x + 8y = C. 27) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: b) y = 2xy x2 − y2 . HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh da' ng c^ap, ta da. t z = y z . Khi do phu . o . ng trnh tr^en tro .' thanh xz = z(1 + z2 ) 1 − z2 . Hay ( 1 z − 2z 1 + z2 )dz = dx x . Suy ra nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh nay la z 1 + z2 = Cx, C = 0. V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la x2 + y2 = C1y, C1 = 0. 28) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y = 2x + y − 1 4x + 2y + 5 . HD gia’i: D- a. t u = 2x + y phu . o . ng trnh du . a v^e da.ng du dx = 5u + 9 2u + 5 . www.VNMATH.com
• 7. trnh nay ta du . o . . c nghi^e. m 10u + 7 ln |5u + 9| = 25x + C. V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la 10y + 7 ln |10x + 5y = 9| − 5x = C. 29) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: (x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0 HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh du . a v^e da.ng da' ng c^ap du . o . . c bang ca ch da. t x = u + 1, y = v − 3, ta du . o . . c dv du = u + v −u + v . Gia' i phu . o . ng trnh ta co nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh la v2 − 2uv − v2 = C. V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la y2 − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1. 30) a) Tm mi^e n ma trong do nghi^e. m cu' a bai toa n Cauchy cu' a phu . o . ng trnh sau d^ay t^o n ta. i va duy nh^at y = √ x − y. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: (x2 − y2 )dy − 2xydx = 0. HD gia’i: a) Bai toa n Cauchy co duy nh^at nghi^e. m trong mi^e n D = {(x, y) ∈ R2 |x − y ≥ δ} vo . i δ 0 tuy y . b) D- u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng dy dx = xy x2 − y2 . D- ^ay la phu . o . ng trnh da' ng c^ap, ta da. t z = y x . Khi do phu . o . ng trnh tr^en tro .' thanh xz = z(1 + z2 ) 1 − z2 . Hay ( 1 z − 2z 1 + z2 )dz = dx x . Suy ra nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh nay la z 1 + z2 = Cx, C = 0. V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la x2 + y2 = C1y, C1 = 0. 31) a) Chu . ng minh rang h^e. ca c vecto . {e2x , xe2x , x2 } la h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: (x − y)dy − (x + y)dx = 0; HD gia’i: a) Dung di.nh ngh~a ki^e'm tra h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh . b) D- u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng y = x + y x − y . D- ^ay la phu . o . ng trnh da' ng c^ap, ta da. t z = y x . Khi do phu . o . ng trnh tr^en tro .' thanh xz = 1 + z2 1 − z . Gia' i phu . o . ng trnh nay ta du . o . . c x2 + y2 = Cearctg y x . 32) a) Chu . ng minh rang h^e. ca c vecto . {cos2 2x, sin2 2x, 2} la h^e. phu. thu^o. c tuy^en tnh. Tnh di.nh thu . c Wronski cu' a chu ng. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0. www.VNMATH.com
• 8. nay phu. thu^o. c tuy^en tnh v 2 cos2 2x + 2 sin2 2x − 2 = 0. b) Phu . o . ng trnh nay co th^e' du . a v^e da.ng da' ng c^ap, ta du . o . . c y = x + y x − 2y + 1 . D- a. t u = x − 1 3 , v = y + 1 3 , khi do phu . o . ng trnh tr^en tro .' thanh v = u + v u − 2v . Gia' i phu . o . ng trnh nay ta du . o . . c √ u2 + 2v2 = Ce 1√ 2 arctg( √ 2 u v ) . Hay (3x − 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1e 1√ 2 arctg( √ 2 3x−1 3y+1 ) . 33) Gia' i phu . o . ng trnh: y2 + x2 y = xyy HD gia’i: Phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: da. t y = zx → y = z x + z Phu . o . ng trnh tro .' thanh z − 1 z dz = dx x → z − ln |z| = ln |x| + C y x − ln | y x | = ln |x| + C 34) Gia' i phu . o . ng trnh y2 + x2 y = xyy . HD gia’i: Vi^et phu . o . ng trnh la.i y = y2 x2 y x − 1 d^ay la phu . o . ng trnh thu^a n nh^at, gia' i ra du . o . . c nghi^e. m t^o'ng qua t: y2 = Cxe y x 35) Gia' i phu . o . ng trnh: y” cos y + (y )2 sin y = y HD gia’i: y = C : hang la m^o. t nghi^e. m. y = C (hang). D- a. t y = p ⇒ y” = p dp dy (ham theo y) thay vao (2): dp dy cos y + p sin y = 1: phu . o . ng trnh tuy^en tnh. Phu . o . ng trnh thu^a n nh^at co nghi^e. m t^o'ng qua t: p = C cos y. bi^en thi^en hang s^o du . o . . c C = tgy + C1. tu . do p = dy dx = sin y + C1 cos y ⇔ dy sin y + C1 cos y = dx tch ph^an di d^en: 1 C2 1 + 1 ln tg y 2 + 1 + 1 C2 1 − 1 C1 −tg y 2 + 1 + 1 C2 1 + 1 C1 = x + C2 36) Gia' i phu . o . ng trnh: y + 1 2x − y2 = 0 HD gia’i: Coi x = x(y) la ham cu' a y ta co : y = 1 x thay vao phu . o . ng trnh: www.VNMATH.com
• 9. 0 ⇔ x + 2x = y2 : phu . o . ng trnh tuy^en tnh. Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: x = Ce−2y Bi^en thi^en hang s^o: C (y) = y2 e2y ⇒ C(y) = 1 2 y2 e2y − 1 2 ye2y + 1 4 e2y + C V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: x = Ce−2y + 1 2 y2 − 1 2 y + 1 4 37) Gia' i phu . o . ng trnh: xy” = y + x2 HD gia’i: D- a. t y = p, (1) tro .' thanh: xp − p = x2 tuy^en tnh Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: p = Cx Bi^en thi^en hang s^o → C(x) = x + C1 Suy ra: dy dx = x(x + C1) → y = x3 3 + C1. x2 2 + C2 38) Gia' i phu . o . ng trnh: y 2 + yy” = yy HD gia’i: D- a. t p = y (p = 0), phu . o . ng trnh tu . o . ng du . o . ng vo . i: p2 + yp dp dy = yp ⇔ p + y dp dy = y, xe t y = 0 du . a phu . o . ng trnh v^e : dp dy + p y = 1 (tuy^en tnh) NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: p = C y , bi^en thi^en hang s^o ⇒ C(y) = y2 2 + C1 Nhu . v^a. y: p = y2 + 2C1 2y ⇒ dy dx = y2 + 2C1 2y ⇒ 2ydy y2 + 2C1 = dx ⇒ y2 = A1ex + A2. Chu y : V^e tra i (yy ) = yy ⇔ yy = C1ex ⇔ ydy = C1ex dx ⇔ y2 = 2C1ex + C2 39) Gia' i phu . o . ng trnh: yey = y (y3 + 2xey ) vo . i y(0) = −1 HD gia’i: yx = 1 x y bi^en d^o'i phu . o . ng trnh v^e : x − 2 y x = y2 e−y Nghi^e. m t^o'ng qua t: x = y2 (C − e−y ) y(0) = −1 ⇒ C = e. V^a. y x = y2 (e − e−y ) 40) Gia' i phu . o . ng trnh: xy” = y + x HD gia’i: D- a. t y = p; phu . o . ng trnh tro .' thanh: p − 1 x p = 1 Nghi^e. m t^o'ng qua t: p = Cx bi^en thi^en hang s^o: C = ln |x| + C1 www.VNMATH.com
• 10. (ln |x| + C1)x ⇒ y = (ln |x| + C1)xdx + C2 = C1x2 + x2 2 ln |x| − x2 4 + C2 41) Gia' i phu . o . ng trnh: y + xy = x3 HD gia’i: Nghi^e. n t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at y = Ce− x2 2 bi^en thi^en hang s^o: C(x) = (x2 − 2)e− x2 2 + ε V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = εe− x2 2 + x2 − 2. 42) Gia' i phu . o . ng trnh: (x2 − y)dx + xdy = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi^et la.i: xy −y = −x2 , phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: xy −y = 0 co nghi^e. m t^o'ng qua t: y = Cx bi^en thi^en hang s^o suy ra C = −x + ε V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t : y = −x2 + εx 43) Gia' i phu . o . ng trnh: y − 2 x y = 3 x2 vo . i y(1) = 1 HD gia’i: Phu . o . ng trnh tuy^en tnh: y = Cx2 ; C = 3 x4 ⇒ C = − 1 x3 + ε y = εx2 − 1 x ; y(1) = 1 ⇒ ε = 2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = 2x2 − 1 x 44) Gia' i phu . o . ng trnh: (x + 1)(y + y2 ) = −y HD gia’i: Xe t y = 0, bi^en d^o'i phu . o . ng trnh v^e da.ng y + 1 x + 1 .y = −y2 D- a. t 1 y = z ⇒ y = − z z2 = −y2 z du . a phu . o . ng trnh v^e z − 1 x + 1 .z = 1. Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: z = C1(x + 1) bi^en thi^en hang s^o C1 = ln |x + 1| + ε. V^a. y nghi^e. m: z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε) ngoai ra y = 0 cu~ ng la nghi^e. m. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = 1 (x + 1)(ln |x + 1| + ε) va y = 0 nghi^e. m k di.. 45) Gia' i phu . o . ng trnh: 2xy + y = 1 1 − x HD gia’i: D- u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng y + 1 2x y = 1 2x(1 − x) phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 www.VNMATH.com
• 11. qua t: y = C √ x , bi^en thi^en hang s^o: C (x) = √ x 2x(1 − x) ⇒ C = 1 2 ln | √ x + 1 √ x − 1 | + ε V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = 1 √ x 1 2 ln | √ x + 1 √ x − 1 | + ε 46) Gia' i phu . o . ng trnh: xy − y = x2 sin x HD gia’i: y − y x = x sin x, phu . o . ng trnh tuy^en tnh. NTQ: y = Cx bi^en thi^en hang s^o: Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = (C − cos x)x 47) Gia' i phu . o . ng trnh: y cos2 x + y = tgx thoa' y(0) = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh tuy^en tnh → NTQ y = Ce−tgx ; y = tgx − 1 (m^o. t nghi^e. m ri^eng) ⇒ NTQ: y = Ce−tgx + tgx − 1 y(0) = 0 ⇒ C = 1. V^a. y nghi^e. m ri^eng c^a n tm: y = tgx − 1 + e−tgx . 48) Gia' i phu . o . ng trnh: y √ 1 − x2 + y = arcsin x thoa' y(0) = 0 HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at: y = Ce−arcsinx D^e~ th^ay nghi^e. m ri^eng: y = arcsinx − 1 ⇒ NTQ: y = Ce−arcsinx + arcsinx − 1 y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ nghi^e. m ri^eng c^a n tm: y = e−arcsinx + arcsinx − 1 49) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: y = 1 2x − y2 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(1) = 0. HD gia’i: Xem x la ^a'n ham, thay y = 1 x , phu . o . ng trnh thanh 1 x = 1 2x − y2 ⇐⇒ x − 2x = −y2 D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap m^o. t, nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng la x = Ce−2y . Bi^en thi^en hang s^o du . o . . c NTQ: x = Ce−2y + y2 2 − y 2 + 1 4 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(1) = 0 khi C = 3 4 . V^a. y nghi^e. m tho' a ma~ n di^e u ki^e. n d^a u: x = 3 4 e−2y + y2 2 − y 2 + 1 4 . www.VNMATH.com
• 12. phu . o . ng trnh sau d^ay, bi^et rang sau khi da. t y = z x2 , ta nh^a. n du . o . . c m^o. t phu . o . ng trnh vi ph^an c^ap hai co m^o. t nghi^e. m ri^eng y∗ = 1 2 ex : x2 y + 4xy + (x2 + 2)y = ex . HD gia’i: D- a. t y = zx2 =⇒ y = z x − 2z x3 ; y = z x2 − 4z x + 6z x4 . Phu . o . ng trnh thanh : z + z = ex , co m^o. t nghi^e. m ri^eng la y∗ = ex 2 , NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: z = C1 cos x + C2 sin x. V^a. y NTQ cu' a phu . o . ng trnh ban d^a u la: y = C1 cos x x2 + C2 sin x x2 + ex 2x2 51) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: yey = y (y3 + 2xey ) thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(0) = −1. HD gia’i: Xem x la ^a'n ham, thay y = 1 x , phu . o . ng trnh thanh x − 2 y x = y2 e−y . NTQ cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng la x = C y ; bi^en thi^en hang s^o du . o . . c C(y) = −e−y + C. Nhu . v^a. y NTQ la x = C y − 1 yey . Thay di^e u ki^e. n d^a u xa c di.nh du . o . . c C = 1 e . Tu . do KL. 52) Tm nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh y − y = cos x − sin x. tho' a di^e u ki^e. n y bi. cha. n khi x → ∞ HD gia’i: Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh ra y = Cex + sin x tho' a di^e u ki^e. n y bi. cha. n khi x → ∞ khi C = 0 53) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: y + sin y + x cos y + x = 0 thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(0) = π 2 . HD gia’i: y + sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y + 2 sin y 2 cos y 2 + x.2 cos2 y 2 = 0 ⇐⇒ y 2 cos2 y 2 + tan y 2 + x = 0 da. t z = tan y 2 =⇒ z = y 2 cos2 y 2 , phu . o . ng trnh thanh phu . o . ng trnh tuy^en tnh z + z = −x. Gia' i ra: z = 1 − x + Ce−x thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(0) = π 2 khi C = 0. V^a. y nghi^e. m ri^eng y = 2 arctan(1 − x). www.VNMATH.com
• 13. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − x tan y = x cos y HD gia’i: D- a. t z = sin y, khi do phu . o . ng trnh da~ cho tro .' thanh z − xz = x. D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la z = Ce x2 2 − 1. V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la sin y = z = Ce x2 2 − 1 55) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − xy = x HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = Ce 1 2 x2 − 1. 56) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y + y x = x √ y. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli va co nghi^e. m t^o'ng qua t la √ y = C √ x + 1 5 x2 . 57) Tm nghi^e. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − y x = x3 HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = Cx + 1 3 x4 . 58) Tm nghi^e. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − y = y2 . HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y2 = 1 Ce−2x − 1 . 59) Tm nghi^e. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y + y x = sin x HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = C x + sin x x − cos x. www.VNMATH.com
• 14. m cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − y = x √ y. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli va co nghi^e. m t^o'ng qua t la √ y = Ce 1 2 x − x − 2. 61) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y + 2xy = xe−x2 HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an tuy^en tnh c^ap 1. Nghi^e. m t^o'ng qua t la y = (C + x2 2 )e−x2 . 62) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − 4 y x = x √ y. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli va co nghi^e. m la √ y = 1 2 ln x + Cx2 . 63) a) Tm mi^e n ma trong do nghi^e. m cu' a bai toa n Cauchy cu' a phu . o . ng trnh sau d^ay t^o n ta. i va duy nh^at y = y + 3x. b) Tm nghi^e. m cu' a bai toa n Cauchy sau d^ay    y” − 1 x y = x y(x = 1) = 1 va` y (x = 1) = 2. HD gia’i: a) D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 1 tho' a di.nh ly di^e u ki^e. n t^o n ta.i duy nh^at nghi^e. m tr^en R2 . b) Gia' i phu . o . ng trnh y” − y x = x, ta du . o . . c nghi^e. m t^o'ng qua t y = C1 + C2x + x2 2 . V^a. y nghi^e. m cu' a bai toa n Cauchy la y = − 1 2 + x + x2 2 . 64) Tm nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh sau: y + ytgx = cos x HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an tuy^en tnh c^ap 1. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = (C + x) cos x. www.VNMATH.com
• 15. m cu' a phu . o . ng trnh sau: y + y x = x( ex ex + 1 )y2 . HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an Bernoulli va co nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la y = 1 Cx − x ln(ex + 1) . 66) Gia' i phu . o . ng trnh: (x + 1)y” + x(y )2 = y HD gia’i: D- a. t y = p, phu . o . ng trnh tro .' thanh phu . o . ng trnh Bernouili (vo . i x = −1) p − 1 x + 1 p = − x x + 1 p2 (∗) D- a. t z = p−1 = 0, du . a (∗) v^e phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap m^o. t: z + 1 1 + x z = x x + 1 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: z = C x + 1 Bi^en thi^en hang s^o cu^oi cung du . o . . c: z = x2 + C1 2(x + 1) ⇒ y = 1 z = 2(x + 1) x2 + C1 Suy ra nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh:    ln |x2 + C1| + 2 √ C1 arctg x √ C1 + C2 nˆe´u C1 0 ln |x2 + C1| + 1 √ −C1 ln | x − √ −C1 x + √ −C1 | + C2 nˆe´u C1 0 Chu y y = C la NKD 67) Gia' i phu . o . ng trnh: x2 y = y(x + y) HD gia’i: x2 y = y(x + y) ⇔ y − 1 y = 1 x2 y2 : phu . o . ng trnh Bernouilli D- a. t z = y−1 (y = 0) : −z − 1 x z = 1 x2 . NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: z = Cx bi^en thi^en hang s^o C: C(x) = ε − 1 2x2 . V^a. y z = x(ε − 1 2x2 ) V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = 2x εx2 − 1 68) Gia' i phu . o . ng trnh: yy” − (y )2 = y3 thoa'    y(0) = − 1 2 y (0) = 0 www.VNMATH.com
• 16. a. t y = p(y); y = p.py thay vao phu . o . ng trnh py dp dy − p2 = y3 , da. t ti^ep: p(y) = y.z(y) du . a phu . o . ng trnh v^e dz dy = 1 z ⇒ z2 = 2(y + C1) ⇔ dy dx = y |2y + C| Do di^e u ki^e. n y(0) = − 1 2 ; y (0) = 0 ⇒ C = 1. Tu . do suy ra: dy dx = y |2y + 1| ⇒ ln |2y + 1| − 1 |2y + 1| + 1 = x + C2. do y(0) = − 1 2 ⇒ C2 = 0. V^a. y nghi^e. m ri^eng c^a n tm thoa' : ln |2y + 1| − 1 |2y + 1| + 1 = x. 69) Gia' i phu . o . ng trnh: ydx + 2xdy = 2y √ x cos2 y dy thoa' di^e u ki^e. n y(0) = π HD gia’i: D- u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng x + 2 y x = 2 cos2 y .x 1 2 (Bernoulli) (∗) D- a. t z = x 1 2 ta co z = x + 1 2 x− 1 2 x thay vao (∗) z + 1 y z = 1 cos2 y Nghi^e. m t^o'ng qua t: z = c y bi^en thi^en hang s^o: C = y cos2 y ⇒ C(y) = ytgy + ln | cos y| + ε V^a. y Z = tgy + 1 y ln | cos y| + ε y Va TPTQ cu' a phu . o . ng trnh: tgy + 1 y ln | cos y| + ε y = √ x y(0) = π ⇒ ε = 0 v^a. y TPR : tgy + 1 y ln | cos y| = √ x 70) Gia' i phu . o . ng trnh: xydy = (y2 + x)dx HD gia’i: Do y = 0 kh^ong pha' i la nghi^e. m, chia hai v^e cho xy bi^en d^o'i phu . o . ng trnh v^e da.ng: y − 1 x y = y−1 Bernouilli; D- a. t z = y2 du . a phu . o . ng trnh v^e da.ng: z − 2 x z = 2 → z = −2x + Cx2 V^a. y TPTQ: y2 = −2x + Cx2 71) Gia' i phu . o . ng trnh: (y + √ xy)dx = xdy www.VNMATH.com
• 17. u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng y − 1 x y = 1 √ x .y 1 2 ; x = 0 D- a. t z = y 1 2 : z − 1 2x z = 1 √ x phu . o . ng trnh tuy^en tnh gia' i ra z = √ x(ln x + C) V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = x(ln x + C)2 72) Gia' i phu . o . ng trnh: xy − 2x2√ y = 4y HD gia’i: Phu . o . ng trnh Bernouilli, da. t z = y1−α = √ y ⇒ z = 1 2 √ y phu . o . ng trnh tro .' thanh: z − 4 x z = 2x → NTQ z = Cx4 − x2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = (Cx2 − 1)2 x4 . 73) Gia' i phu . o . ng trnh: 2x2 y = y2 (2xy − y) HD gia’i: Xem x la ham theo bi^en y : x y3 − 2xy2 = −2x2 Bernouilli D- a. t z = 1 x , phu . o . ng trnh tro .' thanh: z + 2z y = 2 y3 → TPTQ: y2 = x ln Cy2 , nghi^e. m ky di. y = 0. 74) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh: x2 y = y(x + y) thoa' ma~ n di^e u ki^e. n d^a u y(−2) = −4. HD gia’i: Do y(−2) = −4 n^en y ≡ 0. D- u . a phu . o . ng trnh v^e phu . o . ng trnh Bernouilli: y − 1y = y2 x2 . Ti^ep tu.c da. t z = y−1 du . a phu . o . ng trnh v^e PT tuy^en tnh z + 1 x z = − 1 x2 . NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: z = Cx, bi^en thi^en hang s^o du . o . . c C(x) = Cx− 1 2x . Nhu . v^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh ban d^a u la: y = 2x Cx2 − 1 . D- i^e u ki^e. n d^a u cho C = 1 2 . V^a. y nghi^e. m ri^eng c^a n tm la y = 4x x2 − 1 75) Gia' i phu . o . ng trnh: y − xy = −xy3 HD gia’i: Phu . o . ng trnh: y − xy = −xy3 la phu . o . ng trnh Bernouilli, gia' i ra du . o . . c y2 (1 + Ce−x ) = 1 76) Gia' i phu . o . ng trnh: xy + y = y2 ln x. HD gia’i: Phu . o . ng trnh xy + y = y2 ln x la phu . o . ng trnh Bernouilli, gia' i ra du . o . . c y = 1 1 + Cx + ln x . 77) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y − 4 y x = x √ y www.VNMATH.com
• 18. ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli, bang ca ch da. t z = √ y ta du . a phu . o . ng trnh v^e da.ng z − 2 x z = x 2 va co nghi^e. m t^o'ng qua t la z = x2 ( 1 2 ln |x| + C). V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la y = x4 ( 1 2 ln |x| + C)2 . 78) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: y + y x = y2 xtgx. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Bernoulli va co nghi^e. m t^o'ng qua t la y = 1 Cx + x ln | cos x| . 79) Gia' i phu . o . ng trnh: y2 dx + (2xy + 3)dy = 0 HD gia’i: P(x, y) = y2 , Q(x, y) = 2xy + 3; ∂P ∂y = ∂Q ∂x = 2y (1) ⇔ d(xy2 + 3y) = 0. V^a. y xy2 + 3y = C 80) Gia' i phu . o . ng trnh: ex (2 + 2x − y2 )dx − yex dy = 0 HD gia’i: ∂P ∂y = ∂Q ∂x = −2yex suy ra phu . o . ng trnh tu . o . ng du . o . ng vo . i: d ex (2x−y2 ) = 0. V^a. y ex (2x − y2 ) = C. 81) Gia' i phu . o . ng trnh: (y2 + 1) 3 2 dx + (y2 + 3xy 1 + y2)dy = 0 HD gia’i: p = (y2 + 1) 3 2 ; Q = y2 + 3xy 1 + y2 ⇒ ∂P ∂y = ∂Q ∂x = 3y 1 + y2 (∗) Suy ra nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a (∗) la: x 0 P(x, 0)dx + y 0 Q(x, y)dy = C ⇔ y3 3 + x(1 + y2 ) 3 2 = C 82) Gia' i phu . o . ng trnh: (y cos2 x − sin x)dy = y cos x(y sin x + 1)dx HD gia’i: ∂P ∂y = ∂Q ∂x = y sin 2x + cos x www.VNMATH.com
• 19. y)dy = C ⇔ y sin x − y2 2 cos2 x = C 83) Gia' i phu . o . ng trnh: (2x + 3x2 y)dx = (3y2 − x3 )dy HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n: x2 + x3 y − y3 = C 84) Gia' i phu . o . ng trnh: ( x sin y + 2)dx − (x2 + 1) cos y 2 sin2 y dy = 0 HD gia’i: ∂P ∂y = ∂Q ∂x = − x cos y sin2 y TPTQ: x 0 P(x, π 2 )dx + y π 2 Q(x, y)dy = C ⇔ x2 2 + 2x − (x2 + 1) 2 ( 1 sin y − 1) = C 85) Gia' i phu . o . ng trnh: (y + ex sin y)dx + (x + ex cos y)dy = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n, nghi^e. m t^o'ng qua t: xy + ex sin y = C. 86) Gia' i phu . o . ng trnh: (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n: NTQ x2 + 2(x sin y − cos y) = C. 87) Gia' i phu . o . ng trnh: 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − x3 y )dy HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n: Nghi^e. m t^o'ng qua t: x3 (1 + ln y) − y2 = C 88) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − x3 y )dy HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n co tch ph^an t^o'ng qua t la: x3 (1 + ln y) − y2 = C 89) Ha~ y tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 HD gia’i: PTVPTP co tch ph^an t^o'ng qua t: x2 + 2(x sin y − cos y) = C www.VNMATH.com
• 20. tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: 1 x − y2 (x − y)2 dx + x2 (x − y)2 − 1 y dy = 0 HD gia’i: PTVPTP co tch ph^an t^o'ng qua t: ln x y + xy x − y = C 91) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: (sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xydy = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n co nghi^e. m t^o'ng qua t la x sin(xy) = C. 92) Ha~ y tm thu . a s^o tch ph^an cu' a phu . o . ng trnh: (x + y2 )dx − 2xydy = 0 suy ra nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh. HD gia’i: Thu . a s^o tch ph^an cu' a phu . o . ng trnh la µ(x) = 1 x2 . Nh^an hai v^e cu' a phu . o . ng trnh cho thu . a s^o tch ph^an r^o i gia' i ra x = Ce y2 x . 93) Gia' i phu . o . ng trnh: 2xy ln ydx + (x2 + y2 y2 + 1)dy = 0 HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n, thu . a s^o tch ph^an: µ(y) = 1 y nh^an thu . a s^o tch ph^an vao hai v^e cu' a phu . o . ng trnh r^o i gia' i ra du . o . . c: x2 ln y+ 1 3 (y2 +1) 3 2 = 0 94) Tm nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh (x3 + xy2 )dx + (x2 y + y3 )dy = 0. tho' a di^e u ki^e. n y(0) = 1. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n NTQ la: x4 + 2x2 y2 + y4 = C . tho' a di^e u ki^e. n y(0) = 1 khi C = 1. 95) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: a) − 2xydy + (y2 + x2 )dx = 0 HD gia’i: Ta tm du . o . . c thu . a s^o tch ph^an µ(x) = 1 x2 . D- u . a phu . o . ng trnh da~ cho v^e da.ng vi ph^an toan ph^a n. Khi do nghi^e. m t^o'ng qua t la x2 − y2 = Cx. www.VNMATH.com
• 21. minh rang h^e. ca c vecto . {e2x , e−x , cos x} la h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. Tnh di.nh thu . c Wronski cu' a chu ng. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: x2 − ydy − 2x(1 + x2 − y)dx = 0. HD gia’i: a) Dung di.nh ngh~a ki^e'm tra h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. D- i.nh thu . c Wronski W[y1, y2, y3](x) = 3ex (3 cos x − sin x). b) D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n. Tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la x2 + 2 3 (x2 − y) 3 2 = C 97) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a ca c phu . o . ng trnh sau: ( x2 y − y2 )dy − 2xdx = 0. HD gia’i: Ta tm du . o . . c thu . a s^o tch ph^an µ(x) = 1 y . D- u . a phu . o . ng trnh da~ cho v^e da.ng vi ph^an toan ph^a n. Khi do nghi^e. m t^o'ng qua t la 2x2 + y3 = Cy. 98) a) Chu . ng minh rang h^e. ca c vecto . {ex , e2x , x2 } la h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: (x − y)dy + (x + y)dx = 0. HD gia’i: a) Ki^e'm tra h^e. phu . o . ng trnh la d^o. c l^a. p tuy^en tnh . b) D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n n^en ta co d(xy − y2 2 + x2 2 ) = 0. V^a. y tch ph^an t^o'ng qua t la x2 − y2 + 2xy = C. 99) a) Chu . ng minh rang h^e. ca c vecto . {1, x, ex } la h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: (x2 − y)dx + xdy = 0 HD gia’i: a) Dung di.nh ngh~a ki^e'm tra h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh . b) Tm thu . a s^o tch ph^an, ta du . o . . c µ(x) = 1 x2 . Phu . o . ng trnh da~ cho du . a du . o . . c v^e da.ng phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n (1 − y x2 )dx + 1 x dy = 0. Gia' i phu . o . ng trnh nay ta du . o . . c y = Cx − x2 . 100) a) Chu . ng minh rang h^e. ca c vecto . {e2x , ex , x} la h^e. d^o. c l^a. p tuy^en tnh. b) Tm tch ph^an t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh sau: (x − y)dx − (x + y)dy = 0. HD gia’i: www.VNMATH.com
• 22. h^e. phu . o . ng trnh la d^o. c l^a. p tuy^en tnh. b) D- ^ay la phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n. Suy ra tch ph^an t^o'ng qua t co da.ng: x2 + y2 − 2xy = C. www.VNMATH.com
• 23. PHU . O . NG TR`INH VI PHˆAN (tiˆe´p theo) 101) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = x + e−x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + λ = 0 ⇔ λ1 = 0; λ2 = −1 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1 + C2e−x Tm nghi^e. m ri^eng du . o . i da.ng y = y1 + y2, trong do y1, y2 la ca c nghi^e. m tu . o . ng u . ng cu' a ca c phu . o . ng trnh: y” + y = x va y” + y = e−x • V λ1 = 0 la nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng n^en y1 = x(Ax + B) Bang phu . o . ng pha p h^e. s^o b^at di.nh du . o . . c: y1 = 1 2 x2 − x • λ2 = −1 la nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng n^en: y2 = Axe−x Thay vao va dung h^e. s^o b^at di.nh suy ra: y2 = −xe−x Cu^oi cung NTQ: y = C1 + C2e−x + 1 2 x2 − x − xe−x 102) Gia' i phu . o . ng trnh: 2y” + 5y = 29x sin x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: 2λ2 + 5λ = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = − 5 2 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at y = C1 + C2e − 5x 2 V ±i kh^ong pha' i la nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng n^en tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x Thay vao phu . o . ng trnh du . o . . c: A = −2; B = 185 29 ; C = −5; D = − 16 29 103) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y + 5y = x sin 3x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − 2λ + 5 = 0 ⇔ λ1 = 1 − 2i; λ2 = 1 + 2i NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x) Do ±3i kh^ong pha' i la nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng n^en nghi^e. m ri^eng cu' a (2) du . o . . c tm du . o . i da.ng: y = (Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x Thay vao (2) ta du . o . . c: A = 3 26 ; B = 57 26 ; C = − 1 13 ; D = 41 13 104) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y − 3y = xe4x + x2 HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − 2λ − 3 = 0 ⇔ λ1 = −1; λ2 = 3. NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1e−x + C2e3x Tm nghi^e. m ri^eng da.ng y = y1 + y2 vo . i y1 la nghi^e. m cu' a y” − 2y − 3y = xe4x y1 = e4x (Ax + B) = e4x x 5 − 6 25 con y2 la nghi^e. m ri^eng cu' a y” − 2y − 3y = x2 co da.ng: y2 = A1x2 + B1x + C1 = − 2 3 x2 + 4 9 x − 14 27 . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e−x + C2e3x + e4x 5 (x − 6 5 ) − 1 3 (x2 − 4 3 x + 14 9 ) www.VNMATH.com
• 24. phu . o . ng trnh: x2 y” − 2y = x3 cos x bi^et m^o. t nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la y1 = x2 HD gia’i: Chia 2 v^e cho x2 (x = 0): y” − 2 x2 y = x cos x. Tm nghi^e. m ri^eng thu . hai cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at da.ng: p(x) = 0; q(x) = − 2 x2 . y2 = y1 1 y2 1 e− p(x)dx dx = x2 dx x4 = − 1 3x V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la: y = C1x2 − C2. 1 3x Coi C1, C2 la ham cu' a x, a p du.ng phu . o . ng pha p hang s^o bi^en thi^en:    C1x2 + C2(− 1 3x ) = 0 C12x + C2( 1 3x2 ) = x cos x Gia' i ra:    C1 = cos x 3 ⇒ C1 = sin x 3 + K1 C2 = x3 cos x ⇒ C2 = x3 sin x + 3x2 cos x − 6x sin x + 6 cos x + K2 V^a. y NTQ: y = x2 sin x 3 − 1 3x (x3 sin x + 3x2 cos x − 6x sin x + 6 cos x) + K1x2 − K2 3x . 106) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + 2 x y + y = cotgx x bi^et m^o. t nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la y1 = sin x x HD gia’i: p(x) = x 2 , q(x) = 1, f(x) = cotgx x . Tm nghi^e. m ri^eng thu . hai: y2 = y1 1 y2 1 e− p(x)dx dx = sin x x x2 sin2 x e− 2 x dx dx = sin x x dx sin2 x = − cos x x NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1 sin x x − C2 cos x x Bi^en thi^en hang s^o:    C1 sin x x + C2( cos x x ) = 0 C1 x cos x − sin x x2 + C2 x sin x + cos x x2 = cotgx x ⇒ C1 = cos2 x sin x ⇒ C1(x) = cos2 x sin x dx + K1 = 1 − sin2 x sin x dx + K1 = dx sin x − sin xdx + K1 = ln |tg x 2 | + cos x + K1 C2 = cos x → C2 = sin x + K2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = · · · 107) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y + y = 1 + ex x www.VNMATH.com
• 25. trnh da. c tru . ng: λ2 − 2λ + 1 = 0 ⇔ λ = 1 NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = ex (C1x + C2) Dung phu . o . ng pha p bi^en thi^en hang s^o tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = α1(x).xex + α2(x).ex .    α1(x).xex + α2(x).ex = 0 α1(x)(ex + xex ) + α2(x).ex = 1 + ex x ⇔    α1 = e−x + 1 x α2 = −(xex + 1) V^a. y α1 = −e−x + ln |x| α2 = xe−x + e−x − x Nhu . v^a. y nghi^e. m ri^eng: y = (ln |x| − e−x )xex + (xe−x + e−x − x)ex Va nghi^e. m t^o'ng qua t: y = ex (C1x + C2) + xex ln |x| − xex + 1 108) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = xe−x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 + λ = 0 ⇔ λ1 = 0; λ2 = −1 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1 + C2e−x Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = xe−x (Ax + B) K^et qua' : y = C1 + C2e−x − ( x2 2 + x)e−x 109) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 4y + 5y = e2x + cos x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − 4λ + 5 = 0 ⇔ λ1 = 2 − i; λ2 = 2 + i Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = y1 + y2 vo . i y1 = Ae2x ; y2 = A cos x + B sin y ⇒ y1 = e2x ; y2 = 1 8 cos x − 1 8 sin x Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) + e2x + 1 8 (cos x − sin x) 110) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + 4y + 4y = 1 + e−2x ln x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 + 4λ + 4 = 0 ⇔ λ = −2 NTQ : y = e−2x (C1x + C2) Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = α1(x).xe−2x + α2e−2x . α1(x).xe−2x + α2e−2x = 0 α1(e−2x − 2xe−2x ) + α2(−2e−2x ) = 1 + e−2x ln x    α1 = e−2x + ln x → α1 = 1 2 e−2x + x ln |x| − x α2 = −x(e−2x + ln x) → α2 = 1 4 e2x + x2 4 − 1 2 xe2x − x2 2 ln x ⇒ nghi^e. m ri^eng ⇒ nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e−2x (C1x + C2) + e−2x ( 1 4 e2x − 3x2 4 + x2 2 ln x) 111) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = e−x (sin x − cos x) www.VNMATH.com
• 26. a. t y = e−x z thay vao phu . o . ng trnh du . o . . c: z” − z = sin x − cos x. Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − λ = 0 ⇔ λ = 0, λ = 1 Nghi^e. m t^o'ng qua t: z = C1 + C2ex . Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: z = A cos x + B sin x ⇒ A = 1, B = 0. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = e−x (C1 + C2ex + cos x) 112) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 4y + 8y = e2x + sin 2x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − 4λ + 8 = 0 ⇔ λ1 = 2 − 2i; λ2 = 2 + 2i Nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) Nghi^e. m ri^eng da.ng y = y1 + y2 vo . i y1 la nghi^e. m ri^eng cu' a y” − 4y + 8y = e2x da.ng y1 = Ae2x → A = 1 4 ; y2 la nghi^e. m ri^eng cu' a y” − 4y + 8y = sin 2x da.ng y2 = A cos 2x + B sin 2x → A = 1 10 , B = 1 20 . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) + 1 4 e2x − 1 20 (2 cos 2x + sin 2x) . 113) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = 1 sin x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i NTQ : y = C1 cos x + C2 sin x Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = α1(x) cos x + α2(x) sin x Bang ca ch bi^en thi^en hang s^o    α1 cos x + α2 sin x = 0 α1(− sin x) + α2 cos x = 1 sin x ⇒ α1 = −1 α2 = cos x sin x ⇒ α1 = −x α2 = ln sin x V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x − x cos x + sin x ln sin x 114) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 3y + 2y = 2x2 − 5 + 2ex cos x 2 HD gia’i: λ2 − 3λ + 2 = 0 ⇔ λ1 = 1; λ2 = 2 NTQ: y = C1ex + C2e2x Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = α1(x)ex + α2(x)e2x bang ca ch bi^en thi^en hang s^o: α1ex + α2e2x = 0 α1ex + α2(2e2x ) = 2x2 − 5 + 2ex cos x 2   α1 = −e−x (2x2 − 5) − 2 cos x 2 α2 = e−2x (2x2 − 5) + 2e−x cos x 2 ⇒    α1 = e−x (2x2 − 4x − 1) − 4 sin x 2 α2 = − 1 2 [e−2x (2x2 − 5) + 2(xe−2x + 1 2 e−2x )] + 8 3 (−e−2x cos x 2 + 1 2 e−x sin x 2 ) Tu . do co nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh. www.VNMATH.com
• 27. phu . o . ng trnh: y” − 4y = (2 − 4x)e2x HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e−2x + C2e2x Nghi^e. m ri^eng da.ng: y = xe2x (Ax + B); A = − 2 3 , B = 2 3 → Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e−2x + C2e2x + 2 3 xe2x (1 − x) 116) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y + y = ex x + cos x HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = ex (C1x + C2) nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = α1xex + α2ex bi^en thi^en hang s^o:    α1 = 1 x e−x cos x α2 = −(1 + xe−x cos x) →    α1 = ln |x| + 1 2 e−x (sin x − cos x) α2 = −x − 1 2 (xe−x (sin x − cos x) + e−x sin x) ⇒ Nghi^e. m t^o'ng qua t 117) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y + 2y = x(ex + 1) HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ2 − 2λ + 2 = 0 ⇔ λ1 = 1 − i λ2 = 1 + i Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) Nghi^e. m ri^eng da.ng y = y1 + y2 vo . i y1 la nghi^e. m ri^eng cu' a y” − 2y + 2y = xex co da.ng y1 = ex (Ax + B) → A = 1, B = 0; Va y2 la nghi^e. m ri^eng cu' a y” − 2y + 2y = x y2 = Ax + B → A = B = 1 2 . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + xex + 1 2 (x + 1) . 118) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + 2y + y = sin x + e−x x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + 2λ + 1 = 0 ⇔ λ = −1 (b^o. i 2) Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e−x (C1x + C2). Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = α1(x)xe−x + α2(x)xe−x Bi^en thi^en hang s^o:    α1 = ex sin x + 1 x α2 = −xex sin x − x 2 ⇒    α1 = ex 2 (sin x − cos x) + ln |x| α2 = −[ xex 2 (sin x − cos x) + ex 2 cos x] − x2 4 Suy ra nghi^e. m t^o'ng qua t: y = e−x (C1x + C2) + xe−x ln |x| − cos x 2 − x2 e−x 4 . www.VNMATH.com
• 28. phu . o . ng trnh: y” + y = 1 sin x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = A1 cos x + A2 sin x. Bi^en thi^en hang s^o: A1 = −1 A2 = cotgx ⇒ A1 = −x A2 = ln | sin x|. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = (C1 − x) cos x + (C2 + ln | sin x|) sin x. 120) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = xex + 2e−x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x. Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = (Ax + B)ex + Ce−x →    2A = 1 A + B = 0 2C = 2 →    A = 1 2 B = − 1 2 C = 1 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x + 1 2 (x − 1)ex + e−x 121) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − y − 2y = cos x − 3 sin x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + λ − 2 = 0 ⇔ λ1 = −2; λ2 = 1 Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e−2x + C2ex Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = A cos x + B sin x → B − 3A = 1 −A − 3B = −3 → A = 0 B = 1 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e−2x + C2ex + sin x 122) Gia' i phu . o . ng trnh: y” − 2y = 2 cos2 x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ = 0 ⇔ λ1 = 0; λ2 = 2 Nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 + C2e2x . Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = Ax + B cos 2x + C sin 2x Thay vao du . o . . c:    −2A = 1 −4(B + C) = 1 4(B − C) = 0 →    A = − 1 2 B = − 1 8 C = − 1 8 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 + C2e2x − x 2 − 1 8 (cos 2x + sin 2x) 123) Gia' i phu . o . ng trnh: y” + y = sin x + cos 2x www.VNMATH.com
• 29. trnh da. c tru . ng λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1 cos x + C2 sin x. Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y = x(A cos x + B sin x) + C cos 2x + D sin 2x Thay vao phu . o . ng trnh va d^o ng nh^at du . o . . c: A = − 1 2 ; B = 0; C = − 1 3 ; D = 0 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x − 1 2 x cos x − 1 3 cos 2x. 124) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: y − 2y = 2 cos2 x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ = 0 ⇐⇒ λ1 = 0; λ2 = 2. Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = C1 + C2e2x . Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = Ax + B cos 2x + C sin 2x D- u . o . . c A = − 1 2 ; B = − 1 8 ; C = − 1 8 . V^a. y NTQ: y = C1 + C2e2x − x 2 − 1 8 (cos 2x + sin 2x) 125) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: (x + e x y )dx + e x y (1 − x y )dy = 0. HD gia’i: Phu . o . ng trnh vi ph^an toan ph^a n co tch ph^an t^o'ng qua t; x2 2 + ye x y = C. 126) Gia' i phu . o . ng trnh: y − 6y + 9y = 25ex sin x. HD gia’i: NTQ cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng y = (C1+C2x)e3x . Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = ex (A cos x + B sin x); du . o . . c A = 4; B = 3. V^a. y NTQ: y = (C1 + C2x)e3x + ex (3 cos x + 4 sin x) 127) Ha~ y tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: y − 2y + 2y = x(ex + 1) HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ + 2 = 0 ⇐⇒ λ1 = 1 ± i. Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = ex (C1 cos x + C2 sin x). Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = y1 + y2; vo . i y1 la nghi^e. m ri^eng cu' a y − 2y + 2y = xex , co da.ng y1 = ex (Ax + B) =⇒ A = 1; B = 0 va y2 la nghi^e. m ri^eng cu' a y − 2y + 2y = x, co da.ng y2 = A x + B =⇒ A = B = 1 2 . v^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + xex + 1 2 (x + 1) www.VNMATH.com
• 30. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: x2 y − 2y = x3 cos x bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la y1 = x2 . HD gia’i: Tm NR da.ng y2 = uy1 = ux2 du . o . . c y2 = − 1 3x . Nhu . v^a. y NTQ: y = C1x2 + C2 x . Bi^en thi^en hang s^o du . o . . c C 1 = − 1 3 cos x; C 2 = x3 cos x ... 129) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an sau d^ay n^eu bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a no co da. ng da thu . c: (x2 + 1)y − 2y = 0 HD gia’i: D^e~ th^ay y1 = x2 + 1 la m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a phuu . o . ng trnh, nghi^e. m ri^eng thu . hai d^o. c l^a. p tuy^en tnh vo . i y1 la: y2 = y1 1 y1 2 e− 0.dx dx = (x2 + 1) dx (x2 + 1)2 = 1 2 (x2 + 1)( x x2 + 1 + arctan x) V^a. y NTQ: y = C1(x2 + 1) + C2(x2 + 1)( x x2 + 1 + arctan x) 130) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: y + y = sin x + cos 2x. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + 1 = 0 ⇐⇒ λ1 = ±i. Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh tuy^en tnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = C1 cos x + C2 sin x. Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = y1 + y2; vo . i y1 la nghi^e. m ri^eng cu' a y + y = sin x, du . o . . c y1 = − 1 2 x cos x va y2 la nghi^e. m ri^eng cu' a y + y = cos 2x, du . o . . c y2 = − 1 3 cos 2x. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x − 1 2 x cos x − 1 3 cos 2x 131) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: y + 10y + 25y = 4e−5x HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng r2 + 10r + 25 = 0 gia' i ra r1 = r2 = 5 NTQ cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = (C1 + C2x)e−5x va NR cu' a phu . o . ng trnh kh^ong thu^a n nh^at: y∗ = 2x2 e−5x . V^a. y NTQ: y = (C1 + C2x)e−5x + 2x2 e−5x 132) Bi^et rang phu . o . ng trnh xy + 2y + xy = 0 co nghi^e. m ri^eng da. ng y = sin x x . Ha~ y tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh. HD gia’i: Nghi^e. m ri^eng d^o. c l^a. p tuy^en tnh vo . i y = sin x x la y = cos x x . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la y = C1. sin x x + C2. cos x x www.VNMATH.com
• 31. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: y + y = 4x2 ex HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = C1+C2e−x Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y∗ = (A1x2 + A2x + A3)e−x , gia' i ra A1 = 2; A2 = −6; A3 = 7. 134) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: y + 3y + 2y = x sin x HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng: y = C1e−x + C2e−2x . Nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh kh^ong thu^a n nh^at du . o . . c tm du . o . i da.ng: y = (A1x + A2) cos x + (B1x + B2) sin x va tm du . o . . c A1 = − 3 10 ; A2 = 17 50 ; B1 = 1 10 ; B2 = 3 25 . 135) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 2y + 2y = xex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + 1 2 (x + 1) + ex 136) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = cos 2x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 cos x + C2 sin x + 1 2 − 1 6 cos 2x. 137) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh: (1 − x2 )y” − 2xy + 2y = 0 khi bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng y1 = x. HD gia’i: Chuy^e'n v^e da.ng y” + p1(x)y + p2(x)y = 0. Vo . i p1(x) = − 2x 1 − x2 n^en nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la y = x{ C1 e 2x 1−x2 dx x2 dx + C2} = x{C1 dx x2(1 − x2) + C2} = x{(− 1 x + 1 2 ln 1 + x 1 − x ) + C2} = C2x + C1( x 2 ln 1 + x 1 − x − 1). 138) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 3y + 2y = 2 + ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: www.VNMATH.com
• 32. C2e2x − 2xex . 139) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − y = sin2 x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 + C2ex + 1 2 cos x − 1 2 ln x. 140) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 2y + 10y = xex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex cos 3x + C2ex sin 3x − 1 9 xex . 141) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = cos 2x + sin x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex cos x + C2ex sin x − 1 3 cos 2x − 1 2 x cos x. 142) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 2y + y = xex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex + C2xex + x3 6 ex . 143) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = cos 2x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 + C2e−x + 1 10 sin 2x − 1 5 cos 2x. 144) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh y” + 3 x y + 1 x2 y = 0, khi bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng co da. ng y1 = 1 x . www.VNMATH.com
• 33. trnh da~ cho tu . o . ng du . o . ng vo . i phu . o . ng trnh x2 y” + 3xy + y = 0. D- ^ay la phu . o . ng trnh Euler n^en ta co th^e' du . a v^e phu . o . ng trnh tuy^en tnh vo . i h^e. s^o hang bang ca ch da. t x = et . Khi do phu . o . ng trnh da~ cho tro .' thanh yt” + 2yt + y = 0. Phu . o . ng trnh nay co nghi^e. m la y = C1e−t + C2te−t . V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la y = C1 x + C2 ln |x| x . 145) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang a) y” − 3y + 2y = 2e2x HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex + C2e2x + 2e2x . 146) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang a) y” + y = 1 cos2 x HD gia’i: Nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at y = C1 cos x + C2 sin x. Dung phu . o . ng pha p bi^en thi^en hang s^o ta du . o . . c C1(x) = − sin x cos2 x va C2(x) = 1 cos x . V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh la y = C1 cos x + C2 sin x − 1 + sin x 2 ln | 1 + sin x 1 − sin x |. 147) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 2y + 2y = x + ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + 1 2 (x + 1) + ex . 148) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = cos2 x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 cos x + C2 sin x + 1 2 − 1 6 cos 2x. 149) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh xy” + y − 1 x y = 0, khi bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng co da. ng y1 = a x . www.VNMATH.com
• 34. = 1 x la m^o. t nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh. Ta tm nghi^e. m ri^eng y2 = u(x) 1 x . Thay vao phu . o . ng trnh ta tm du . o . . c y2 = x. V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la y = C1 x + C2x. 150) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang a) y” − 3y + 2y = 2ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex + C2e2x − 2xex . 151) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − y = sin x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 + C2ex + 1 2 cos x − 1 2 sin x. 152) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh x2 y” − 2xy − 4y = 0, khi bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng co da. ng y1 = 1 x . HD gia’i: y1 = 1 x la m^o. t nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh. Ta tm nghi^e. m ri^eng y2 = u(x) 1 x . Thay vao phu . o . ng trnh ta tm du . o . . c y2 = x4 . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh la y = C1 x + C2x4 . 153) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = x + 2ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 cos x + C2 sin x + x + ex . 154) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − y + y = x. www.VNMATH.com
• 35. la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = e x 2 (C1 cos √ 3 2 x + C2 sin √ 3 2 x) + 1 + x. 155) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” − 2y + y = x + ex HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex + C2xex + 2 + 1 2 x2 ex . 156) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang y” + y = sin2 x. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 cos x + C2 sin x + 1 2 + 1 6 cos 2x. 157) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 sau: xy” − y − 1 x y = 0. HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh Euler n^en ta co th^e' du . a v^e phu . o . ng trnh tuy^en tnh vo . i h^e. s^o hang bang ca ch da. t x = et . Khi do phu . o . ng trnh da~ cho tro .' thanh yt” − 2yt − y = 0. Phu . o . ng trnh nay co nghi^e. m la y = C1e(1+ √ 2)t + C2e(1− √ 2)t . V^a. y nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da~ cho la y = C1x1+ √ 2 + C2x1− √ 2 . 158) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang sau: y” − 3y + 2y = 2 cos x HD gia’i: D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1ex + C2e2x + 1 5 cos x − 3 5 sin x. 159) Gia' i phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 vo . i h^e. s^o hang sau: y” − y = sin x + ex . www.VNMATH.com
• 36. ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap 2 kh^ong thu^a n nh^at vo . i h^e. s^o hang. Nghi^e. m t^o'ng qua t la: y = C1 + C2ex + xex + 1 2 cos x − 1 2 sin x. 160) Dung phe p d^o'i ham y = z x2 d^e' gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an: x2 y” + 4xy + (x2 + 2)y = ex HD gia’i: y = z x2 ⇒ y = z x − 2z x3 ; y” = z”x2 − 4z x + 6z x4 Phu . o . ng trnh tro .' thanh: z” + z = ex co m^o. t nghi^e. m ri^eng y = ex 2 Phu . o . ng trnh thu^a n nh^at co phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 + 1 = 0 ⇔ λ = ±i V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: z = C1 cos x + C2 sin x + ex 2 V^a. y y = C1 cos x x2 + C2 sin x x2 + ex 2x2 161) Gia' i phu . o . ng trnh y” cos x + y sin x − y cos3 x = 0 bang phe p bi^en d^o'i t = sin x HD gia’i: t = sin x : yx = yt.tx = yt cos x y”xx = y”tt cos2 x − yt sin x Thay vao phu . o . ng trnh: y”tt − y = 0 → y = C1et + C2e−t = C1esin x + C2e− sin x 162) Tm nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh (x + e x y )dx + e x y (1 − x y ) = 0 thoa' di^e u ki^e. n y(0) = 2 HD gia’i: ∂P ∂y = ∂Q ∂x = − x y2 e x y , y = 0 TPTQ: x2 2 + ye x y = C y(0) = 2 ⇒ C = 2. 163) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an y” + y tgx − y cos2 x = 0 bang phe p bi^en d^o'i t = sin x HD gia’i: Tu . o . ng tu . . bai 2 164) Cho bi^e'u thu . c: h(x) ( 1 x + y − ln(x + y))dx + 1 x + y dy . Ha~ y tm ham s^o h(x) sao cho bi^e'u thu . c tr^en tro . ' thanh vi ph^an toan ph^a n cu' a m^o. t ham F(x, y) va tm ham s^o do . HD gia’i: D- a. t P = h(x) 1 x + y ln (x + y) Q = h(x). 1 x + y (D- i^e u ki^e. n x+y 0) d^e' Pdx + Qdy la vi ph^an toan ph^a n: ∂P ∂y = ∂Q ∂x ⇔ −h(x)(x + y + 1) (x + y)2 = h (x)(x + y) − h(x) (x + y)2 www.VNMATH.com
• 37. + y) + h(x + y) = 0 ⇔ h + h = 0 ⇔ h(x) = e−x Va F(x, y) = e−x ln(x + y) 165) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an : xy” + 2(1 − x)y + (x − 2)y = e−x bang phe p d^o'i ^a'n ham z = yx HD gia’i: z = yx ⇔ y = z x ; y = z x − z x2 = ...; y” = ... tu . o . ng tu . . bai 1 166) Cho P(x, y) = ex sin y + 2m2 x cos y; Q(x, y) = ex cos y + mx2 sin y. Tm m d^e' P(x, y)dx + Q(x, y)dy la vi ph^an toan ph^a n cu' a ham s^o F(x, y) nao do va tm ham ^ay. HD gia’i: ∂P ∂y = ∂Q ∂x ⇔ 2x sin y(m2 + m) = 0 Cho.n m = 0V m = −1. 167) Gia' i phu . o . ng trnh x2 y” + 2xy + y x2 = 0 bang phe p bi^en d^o'i x = 1 t HD gia’i: 168) Tm ham µ(x2 + y2 ) sao cho µ(x2 + y2 ) (x − y)dx + (x + y)dy la vi ph^an toan ph^a n cu' a m^o. t ham F(x, y) nao do . Tm ham F(x, y) n^eu bi^et µ(1, 1) = 0; µ( √ 2, √ 2) = ln 2 HD gia’i: P(x, y) = h(x2 + y2 )(x − y); Q(x, y) = h(x2 + y2 )(x + y) D- ^e' h(x − y)dx + h(x + y)dy la vi ph^an toan ph^a n ta pha' i co : ∂P ∂y = ∂Q ∂x D- a. t t = x2 + y2 ⇒ ht.2y(x − y) − h = ht.2y(x + y) + h ⇔ −ht(x2 + y2 ) = h ⇔ htt = h ⇒ h = C1 t ⇒ h = C1 x2 + y2 . ⇒ F(x, y) = C1 x 1 x − 0 x2 + 02 dx + C1 y 0 x + y x2 + y2 dy = C1arctg y 2 + C1 2 ln(x2 + y2 ) + C2 F(1, 1) = 0; F( √ 2, √ 2) = ln 2 Cho: C1 = 2; C2 = −( π 2 + ln 2) 169) Gia' i phu . o . ng trnh x2 y” + xy + y = x bang phe p d^o'i bi^en x = et HD gia’i: x = et ta co : yx = yt. 1 x ; y”xx = (y”tt − yt) 1 x2 Thay vao phu . o . ng trnh: y”tt + y = et Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1 cos t + C2 sin t Tm nghi^e. m ri^eng da.ng: y + Aet ; A = 1 2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1 cos (ln x) + C2 sin (ln x) + x 2 www.VNMATH.com
• 38. phu . o . ng trnh vi ph^an: xy” − (x + 1)y − 2(x − 1)y + x2 = 0 bi^et rang phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng co m^o. t nghi^e. m ri^eng y1 = eαx vo . i α la hang s^o c^a n xa c di.nh. HD gia’i: Thay nghi^e. m y1 = eαx vao phu . o . ng trnh r^o i d^o ng nh^at du . o . . c α = 2 D- u . a phu . o . ng trnh v^e da.ng: y” − x + 1 x y − 2(x − 1) x y = −x; x = 0 p(x) = − x + 1 x ; q(x) = − 2(x − 1) x ; f(x) = −x Tm nghi^e. m ri^eng: y2 = e2x e−4x e x + 1 x dx dx = − 1 9 (3x + 1)e−x . Suy ra nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = C1e2x + C2(3x + 1)e−x Bi^en thi^en hang s^o:    C1 = − 1 9 (3x + 1)e−2x C2 = 1 9 ex →    C1 = 1 36 (6x + 5)e−2x C2 = 1 9 ex ⇒ NTQ. 171) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an x2 y − 4xy + 6y = 0 bang phe p d^o'i bi^en x = et . HD gia’i: x = et , ta co : yx = yt. 1 x , y”xx = (y”tt − yt) 1 x2 Phu . o . ng trnh tro .' thanh: y”tt − 5yt + 6y = 0 ⇒ NTQ: y = C1x2 + C2x3 172) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an: y” − (2ex + 1)y + e2x y = e3x bang phe p d^o'i bi^en t = ex . HD gia’i: D- ^o'i bi^en t = ex ⇒ yx = yt.ex , y”xx = y”tt.e2x + yt.ex Thay vao phu . o . ng trnh: y”tt − 2yt + y = t3 Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: y = et (C1t + C2) Tm nghi^e. m ri^eng da.ng y = At3 + Bt2 + Ct + D → y = t3 + 6t2 + 18t + 24 K^et qua' y = eex (C1ex + C2) + e3x + 6e2x + 18ex + 24. 173) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an: (x − 1)y” − xy + y = (x − 1)2 e2x bi^et m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng co da. ng y = eαx (α c^a n xa c di.nh). HD gia’i: D- u . a phu . o . ng trnh v^e : y” − x x − 1 .y + 1 x − 1 .y = (x − 1)e2x Vo . i p(x) = x x − 1 ; q(x) = 1 x − 1 ; f(x) = (x − 1)e2x Thay y1 = eαx vao phu . o . ng trnh thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng r^o i d^o ng nh^at suy ra α = 1 Tm nghi^e. m ri^eng y2 = ex e−2x e x x−1 dx dx = −x www.VNMATH.com
• 39. = C1ex + C2(−x) Bi^en thi^en hang s^o: C1 = xex C2 = e2x →    C1 = xex − ex + K1 C2 = 1 2 e2x + K2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = ( x 2 − 1)e2x + K1ex − K2x 174) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an: x2 (x + 1)y” = 2y bi^et m^o. t nghi^e. m y1 = 1 + 1 x . HD gia’i: D- u . a phu . o . ng trnh v^e : y − 2 x2(x + 1) .y = 0; p(x) = 0; f(x) = 0. Tm NR da.ng y2 = (1 + 1 x ) x2 (x + 1)2 .e− 0dx dx = (1 + 1 x )(x − 2 ln |x + 1| − 1 1 + x ) = x + 1 − x + 1 x ln(x + 1)2 − 1 x . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1(1 + 1 x ) + C2(x − 1 x − 1 + x + 1 x ln(x + 1)2 + 1). 175) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an (x2 + 1)y” − 2y = 0 n^eu bi^et m^o. t nghi^e. m cu' a no co da. ng da thu . c. HD gia’i: D^e~ th^ay y1 = x2 + 1 la m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a (1). Nghiˆe.m th´u. hai: y2 = y1 1 y2 1 .e− p(x)dx dx = (x2 + 1) dx (x2 + 1)2 = 1 2 (x2 + 1)( x x2 + 1 + arctgx) V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1(x2 + 1) + C2(x2 + 1)( x x2 + 1 + arctgx). 176) Gia' i phu . o . ng trnh vi ph^an xy” + 2y − xy = ex bang phe p d^o'i ham z = xy. HD gia’i: D- a. t z = xy ⇒ z = y + xy ; z = 2y + xy . Thay vao phu . o . ng trnh: z − z = ex → NTQ z = C1 + C2ex Nghi^e. m ri^eng da.ng: y = Axex → A = 1 2 V^a. y: y = z x = 1 x (C1 + C2ex + 1 2 xex ) 177) Chu . ng to' rang ham: f(x) = ∞ n=0 xn+1 n! la nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh xf (x) − (x + 1)f(x) = 0. www.VNMATH.com
• 40. tnh ch^at D'Alembert d^e' chu . ng to' chu^o~i ∞ n=0 xn+1 n! h^o. i tu. vo . i mo.i x Nhu . v^a. y ham f(x) = ∞ n=0 xn+1 n! xa c di.nh vo . i mo.i x. Ho . n n~u . a: f(x) = x ∞ n=0 xn n! = xex ⇒ xf (x) − (x + 1)f(x) = x(x + 1)ex − (x + 1)xex = 0, ∀x di^e u pha' i chu . ng minh. 178) Gia' i phu . o . ng trnh x(x2 + 6)y” − 4(x2 + 3)y + 6xy = 0 bi^et rang no co nghi^e. m da. ng da thu . c. HD gia’i: Ta tm nghi^e. m ri^eng du . o . i da.ng y1 = Ax2 + Bx + C ⇒ y1 = x2 + 2 nghi^e. m ri^eng thu . hai: y2 = y1 1 y2 1 e− − 4(x2+3) x(x+6) dx dx = (x2 + 2) x2 (x2 + 6) (x2 + 2)2 dx = (x2 + 2)(x + 2x (x2 + 2) + 2 √ 2arctg x √ 2 ) V^a. y NTQ: y = C1(x2 + 2) + C2[x3 + 4x + 2 √ 2(x2 + 2)arctg x √ 2 ] 179) Gia' i phu . o . ng trnh (2x + 1)y” + (2x − 1)y − 2y = x2 + x bi^et rang no co hai nghi^e. m ri^eng y1 = x2 + 4x − 1 2 ; y2 = x2 + 1 2 . HD gia’i: Tu . hai nghi^e. m ri^eng y1, y2 cu' a phu . o . ng trnh ta suy ra nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la y1 = y1 − y2 = 2x − 1 Suy ra nghi^e. m thu . hai: y2 = y1 1 y1 2 e− p(x)dx dx = (2x − 1) 1 (2x − 1)2 e− 2x−1 2x+1 dx dx = 2(x − 1) (2x + 1)e−x (2x − 1)2 dx = 1 2 (2x − 1)[− (2x + 1)e−x (2x − 1)2 + e−x (1 − 2x) 2x − 1 dx] = −e−x Suy ra NTQ: y = C1(2x − 1) + C2e−x Va nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh ban d^a u: y = C1(2x − 1) + C2e−x + x2 + 1 2 180) Xa c di.nh hang s^o α sao cho y = eαx2 la m^o. t nghi^e. m ri^eng cu' a phu . o . ng trnh vi ph^an: y” + 4xy + (4x2 + 2)y = 0. Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a phu . o . ng trnh ^ay. HD gia’i: Ta tm nghi^e. m ri^eng du . o . i da.ng y = eαx2 thay vao du . o . . c α = −1 va nghi^e. m ri^eng y1 = e−x2 Nghi^e. m thu . hai: y2 = y1 1 y2 1 e− P(x)dx dx = e−x2 e2x2 e− 4xdx dx = xe−x2 . V^a. y NTQ: y = C1e−x2 + C2xe−x2 . 181) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 3x − y dy dt = 4x − y www.VNMATH.com
• 41. trnh da. c tru . ng 3 − λ −1 4 −1 − λ = (λ − 1)2 = 0 ⇔ λ = 1 (b^o. i 2) Tm nghi^e. m da.ng x y = (at + b)et (ct + d)et thay vao h^e. r^o i d^o ng nh^at du . o . . c:    a = 3a − c a + b = 3b − d c = 4a − c c + d = 4b − d Cho a = C1, b = C2 ⇒ c = 2C1, d = 2C2 − C1 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: x = (C1t + C2)et y = (2C1t + 2C2 − C1)et . 182) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 2x + y dy dt = 4y − x HD gia’i: Tu . o . ng tu . . bai 1), phu . o . ng trnh da. c tru . ng co nghi^e. m λ = 3 (b^o. i 2) Tm nghi^e. m da.ng (at + b)e3t (ct + d)e3t ⇒ a = C1, c = C1, b = C2, d = C1 + C2 V^a. y NTQ: x = (C1t + C2)e3t y = (2C1t + C1 + C2)e3t . 183) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = x − 2y − z dy dt = y − x + z dz dt = x − z HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng 1 − λ −2 −1 −1 1 − λ 1 1 0 −1 − λ = 0 ⇔ λ(λ2 − λ − 2) = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 2 Vo . i ca c λi; i = 1, 2, 3 gia' i h^e. :   1 − λi −2 −1 −1 1 − λi 1 1 0 −1 − λi     P1i P2i P3i   = 0 D- ^e' tm nghi^e. m ri^eng tu . o . ng u . ng. Tu . do suy ra h^e. nghi^e. m co . ba' n: x1 = 1, y1 = 0, z1 = 1; x2 = 0, y2 = e−t , z2 = −2e−t ; x3 = 3e2t , y3 = −2e−2t , z3 = e2t . V^a. y h^e. nghi^e. m t^o'ng qua t:    x = C1 + 3C3e2t y = C2e−t − 2C3e2t z = C1 − 2C2e−t + C3e2t 184) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt − 5x − 3x = 0 dy dt + 3x + y = 0 HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng 5 − λ 3 −3 −λ − 1 = 0 ⇔ λ = 2 (b^o. i 2) www.VNMATH.com
• 42. co da.ng at + b ct + d e2t thay vao h^e. ⇒    a − 3b = 3d a + c = 0 c + 3b = −3d Cho a = C1, b = C2 ⇒ c = −C1, d = C1 3 − C2 V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t:    x = (C1t + C2)e2t y = (−C1t + C1 3 − C2)e2t . 185) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 2x − 3y dy dt = x − 2y + 2 sin t HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng co hai nghi^e. m λ1,2 = ±1 + λ1 = −1 gia' i h^e. : 0 0 = 3 −3 1 −1 γ11 γ12 ⇒ γ11 = γ12 = 1. + λ2 = 1 gia' i h^e. : 1 −3 1 −3 γ21 γ22 = 0 0 ⇒ γ21 = 3; γ22 = 1. H^e. nghi^e. m co . ba' n cu' a h^e. thu^a n nh^at tu . o . ng u . ng la: x1 = e−t y1 = e−t ; x2 = 3et y2 = et V^a. y NTQ cu' a h^e. thu^a n nh^at: x(t) = C1e−t + 3C2et y(t) = C1e−t + C2et Bi^en thi^en hang s^o: C1e−t + 3C2et = 0 C1e−t + C2et = 2 sin t ⇒ C1 = 3et sin t C2 = e−t sin t ⇒    C1(t) = 3 2 et (sin t − cos t) C2(t) = − 1 2 e−t (sin t + cos t) V^a. y NTQ: x(t) = C1e−t + 3C2et − 3 cos t y(t) = C1e−t + C2et + sin t − 2 cos t 186) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 2x − y + z dy dt = x + 2y − z dz dt = x − y + 2z HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) = 0 co 3 nghi^e. m λ1 = 1; λ2 = 2; λ3 = 3. u . ng vo . i λi gia' i h^e. :   2 − λi −1 1 1 2 − λi −1 1 −1 2 − λi     P1i P2i P3i   =   0 0 0   D- u . o . . c   0 1 1   ;   1 1 1   ;   1 0 1  . Suy ra h^e. nghi^e. m co . ba' n   0 et et   ;   e2t e2t e2t   ;   e3t 0 e3t   www.VNMATH.com
• 43. = C2e2t + C3e3t y = C1et + C2e2t z = C1et + C2e2t + C3e3t . 187) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = y − 5 cos t dy dt = 2x + y HD gia’i: Dung phu . o . ng pha p khu .' : L^ay da.o ham theo t phu . o . ng trnh thu . hai: y” = 2x + y D- ^e' y phu . o . ng trnh d^a u, du . a v^e : y” = 2(y − 5 cos t) + y ⇔ y” − y − 2y = −10 cos t. D- ^ay la phu . o . ng trnh tuy^en tnh c^ap hai, gia' i ra du . o . . c nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1e2t + C2e−t + 3 cos t + sin t Thay vao phu . o . ng trnh d^a u: x = 1 2 C1e2t − C2e−t − cos t − 2 sin t V^a. y NTQ: x = A1e2t + A2e−t − cos t − 2 sin t y = 2A1e2t − A2e−t + 3 cos t + sin t. 188) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh: y = 3y + 2z + 4e5x z = y + 2z HD gia’i: Nghi^e. m phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ1 = 1; λ2 = 4; NTQ: y = C1ex + 2C2e4x z = −C1ex + C2e4x Bi^en thi^en hang s^o:    C1 = 4 3 e4x C2 = 4 3 ex → NTQ y = C1ex + 2C2e4x + 3e5x z = −C1ex + C2e4x + e5x 189) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh: y = 2y − z + 2ex z = 3y − 2z + 4ex HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a h^e. thu^a n nh^at: y = C1ex + C2e−x z = C1ex + 3C2e−x Nghi^e. m ri^eng cu' a h^e. kh^ong thu^a n nh^at: y∗ = xex z∗ = (x + 1)ex . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1ex + C2e−x + xex z = C1ex + 3C2e−x + (x + 1)ex . 190) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh: y = 2y − 4z + 4e−2x z = 2y − 2z www.VNMATH.com
• 44. m t^o'ng qua t: y = C1(cos 2x − sin 2x) + C2(cos 2x + sin 2x) z = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e−2x . 191) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dy dx = y + z dz dx = z − 4y. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ + 5 = 0. Khi do λ1 = 1 + 2i, λ2 = 1 − 2i. H^e. thu^a n nh^at co nghi^e. m y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x). 192) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dy dx = y + z + ex dz dx = z − 4y. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ + 5 = 0. Khi do λ1 = 1 + 2i, λ2 = 1 − 2i. H^e. thu^a n nh^at co nghi^e. m y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x). Va nghi^e. m cu' a h^e. kh^ong thu^a n nh^at y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) − ex . 193) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dy dx = 2y − z dz dx = 2z + 4y + e2x . HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 4λ + 8 = 0. Khi do λ1 = 2 + 2i, λ2 = 2 − 2i. H^e. thu^a n nh^at co nghi^e. m y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = −2e2x (C2 cos 2x − C1 sin 2x). Va nghi^e. m cu' a h^e. kh^ong thu^a n nh^at y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) − 1 4 e2x , z = −2e2x (C2 cos 2x − C1 sin 2x). 194) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dy dx = 2y + z + ex dz dx = z − 4y. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng λ2 − 2λ + 5 = 0. Khi do λ1 = 1 + 2i, www.VNMATH.com
• 45. − 2i. H^e. thu^a n nh^at co nghi^e. m y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x). Va nghi^e. m cu' a h^e. kh^ong thu^a n nh^at y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) − ex . 195) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = x + 2y dy dt = x − 5 sin t. HD gia’i: Nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a h^e. phu . o . ng trnh thu^a n nh^at: x = C1e−t + 2C2e2t y = −C1et + C2e2t . Bi^en thi^en hang s^o d^e' du . o . . c nghi^e. m: x = C1e−t + 2C2e2t + 8 3 sin t + 4 3 cos t y = −C1et + C2e2t + 2 cos t − sin t. 196) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = x − 2y + et dy dt = x + 4y + e2t . HD gia’i: Nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng: r1 = 2; r2 = 3; tu . do du . o . . c NTQ cu' a h^e. phu . o . ng trnh thu^a n nh^at la: x = 2C1e2t + C2e3t y = −C1e2t − C2e3t . Bi^en thi^en hang s^o d^e' du . o . . c nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a h^e. kh^ong thu^a n nh^at:    x = 2C1e2t + C2e3t − 3 2 et + 2te2t y = −C1e2t − C2e3t + 1 2 et − (t + 1)e2t . 197) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 2x + y dy dt = 4y − z. HD gia’i: Nghi^e. m cu' a phu . o . ng trnh da. c tru . ng: r1 = r2 = 3. V^a. y NTQ co da.ng: x = (λ1 + µ1t)e3t y = (λ2 + µ2t)e3t . vo . i λ2 = λ1 + µ1; µ2 = µ1 Tu . c la: x = (C1 + C2t)e3t y = (C1 + C2 + C2t)e3t . www.VNMATH.com
• 46. m cu' a h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 3x + 8y dy dt = −x − 3y tho' a ma~ n ca c di^e u ki^e. n: x(0) = 6; y(0) = −2 HD gia’i: Tu . phu . o . ng trnh thu . hai: x = − dy dt − 3y, l^ay da.o ham theo t hai v^e, r^o i thay vao phu . o . ng trnh thu . nh^at cu' a h^e. du . o . . c: d2 y dt − y = 0, gia' i ra: y = C1et − C2e−t , suy ra x = −4C1et − 2C2e−t tho' a ma~ n ca c di^e u ki^e. n x(0) = 6; y(0) = −2, suy ra C1 = C2 = −1. V^a. y nghi^e. m cu' a h^e. : x = 4et + 2e−t y = −et − e−t 199) Gia' i h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 3x − y + z dy dt = −x + 5y − z dz dt = x − y + 3z. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: λ3 − 11λ2 + 36λ − 36 = 0, gia' i ra λ1 = 2; λ2 = 3; λ3 = 6. Tu . do du . o . . c ba h^e. nghi^e. m co . ba' n:   e2t e3t e6t   ;   0 e3t −2e6t   ;   −e2t e3t e6t   . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t:    x = C1e2t + C2e3t + C3e6t y = C2e3t − 2C3e6t z = −C1e2t + C2e2t + C3e6t . 200) Tm nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a h^e. phu . o . ng trnh:    dy dx = y + z dz dx = z − 4y. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng: (λ − 1)(λ − 2) = 0, gia' i ra λ1 = 1; λ2 = 2. Tu . do du . o . . c ba h^e. nghi^e. m co . ba' n: ex −ex ; 2e2x −3e2x . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: y = C1ex + 2C2e3x z = −C1ex − 3C2e2x . www.VNMATH.com
• 47. h^e. phu . o . ng trnh:    dx dt = 2x − 3y dy dt = x − 2y + 2 sin t. HD gia’i: Phu . o . ng trnh da. c tru . ng co ca c nghi^e. m λ1 = −1; λ2 = 1. Tu . do du . o . . c h^e. nghi^e. m co . ba' n: e−t e−t ; 3et et . V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t: x = C1e−t + 3C2et y = C1e−t + C2et . Bi^en thi^en hang s^o: C 1e−t + 3C 2et = 0 C 1e−t + C 2et = 2 sin t. ⇐⇒ C 1 = 3et sin t C 2 = e−t sin t. Gia' i ra:    C1(t) = 3 2 et (sin t − cos t) C2(t) = − 1 2 e−t (sin t + cos t). V^a. y nghi^e. m t^o'ng qua t cu' a h^e. : x(t) = C1e−t + 3C2et − 3 cos t y(t) = C1e−t + C2et + sin t − 2 cos t. www.VNMATH.com