2.293 lượt xem Show
GiaiToan.com biên soạn và đăng tải tài liệu Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song bao gồm các kiến thức: điều kiện để hai đường thẳng song song, cách chứng minh hai đường thẳng song song ... . Tài liệu được xây dựng dựa trên nội dung trọng tâm Toán hình 7 giúp học sinh củng cố lý thuyết và tính chất hình học của các đường trong tam giác. Mời các em học sinh cùng tham khảo. Chứng minh hai đường thẳng song song1. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song1. Xét vị trí các cặp góc tạo bởi hai đường thẳng định chứng minh song song với một đường thẳng thứ ba (so le, đồng vị…) 2. Sử dụng tính chất của hình bình hành. 3. Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. 4. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành. 5. Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song. 6. Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng. 7. Sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên hay đi qua trung điểm của hai đường chéo của hình thang. 8. Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn. 9. Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. 2. Chứng minh hai đường thẳng song song- Để chứng minh hai đường thẳng trong không gian song song với nhau, ta cần trang bị cho bản thân các kiến thức sau đây: 1. Ghi nhớ lại các một số kiến thức trong hình học phẳng + Trong hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật, …: Các cặp cạnh đối song song với nhau. + Đường trung bình của tam giác, hình bình hành, …: Đường thẳng đi qua hai trung điểm của cặp cạnh bên (cặp cạnh đối diện). + Định lý Ta – let đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. 2. Ghi nhớ các tính chất Tính chất 1. Qua một điểm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. A ∉ a ⇒ ∃! b: b ⊃ A và a // b Tính chất 2. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. a // x; b // x và a ≠ b ⇒ a // b 3. Bài tập Hai đường thẳng song songBài tập 1: Cho tam giác ABC, qua A kẻ đường thẳng song song với AB, hai đường thẳng này cắt nhau tại D a. Chứng minh AD = BC và AB = DC b. Gọi O là trung điểm của AC. Chứng minh B, O, D thẳng hàng c. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD. Chứng minh M, O, N thẳng hàng Bài tập 2: Cho hai đường thẳng song song a và b bị cắt bởi một đường thẳng c tại A và B. Gọi Ax và By là hai tia phân giác của một cặp góc so le trong. Chứng minh Ax // By. Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng song song cắt một đường thẳng thứ 3 thì tia phân giác của 2 góc so le trong song song với nhau. Bài tập 4: Cho  a. Chứng minh tt’ // Oy b. Gọi Om và An theo thứ tự là tia phân giác của các góc Bài tập 5: Chứng minh rằng: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc trong cùng phía bù nhau Bài tập 6: Cho tam giác ABC, qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua C kẻ đường thẳng song song với AB, hai đường thẳng cắt nhau tại D a. Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác ADC b. Chứng minh hai tam giác ADB và tam giác CBD bằng nhau c. Gọi O là giao điểm của AC và DB. Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác COD Bài tập 7: Cho góc vuông a. Chứng minh tam giác ONP bằng tam giác OMQ b. Chứng minh tam giác MAN bằng tam giác PAQ, với A là giao điểm của NP và MQ c. Chứng minh OA vuông góc với NQ Bài tập 8: Cho đoạn thẳng BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Trên đường trung trực của BC lấy điểm A (A khác I) a. Chứng minh b. Kẻ IH vuông góc với AB, kẻ IK vuông góc với AC: c. Chứng minh tam giác AKH có hai cạnh bằng nhau d. HK // BC --------------------------------------------- Hy vọng tài liệu Bài Tập Toán 7: Chứng minh 2 đường thẳng song song sẽ giúp các em học sinh củng cố, ghi nhớ lý thuyết về các đường trong tam giác từ đó vận dụng giải các bài toán về tam giác một cách dễ dàng, chuẩn bị hành trang kiến thức vững chắc trong năm học lớp 7. Chúc các em học tốt. Ngoài ra GiaiToan.com mời thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Lý thuyết toán 7, Giải bài tập Toán 7, Luyện tập Toán 7, Đề thi học kì 1 lớp 7, ... Chứng minh hai đường thẳng song song là một dạng toán hay trong chương trình lớp 9. Để chứng minh hai đường thẳng song song chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp, Top lời giải xin gửi đến các bạn những phương pháp hay nhất dễ dùng nhất: 1. Các phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song songĐể chứng minh hai đường thẳng song song trong chương trình Toán lớp 9 chúng ta có thể sử dụng các cách dưới đây. - Cách 1:Xét vị trí các cặp góc tạo bởi hai đường thẳng định chứng minh song song với một đường thẳng thứ ba (so le, đồng vị…) - Cách 2:Sử dụng tính chất của hình bình hành. - Cách 3:Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. - Cách 4:Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành. - Cách 5:Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song. - Cách 6:Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng. - Cách 7:Sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên hay đi qua trung điểm của hai đường chéo của hình thang. - Cách 8:Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn. - Cách 9:Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. 2. Một số bài tập có lời giảiBài 1:Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng AO. * Cách 1(Chứng minh nó cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3) Ta có: AM, AN là các tiếp tuyến của đường tròn (O) => AO vuông góc MN (1) Mặt khác:∠NMC = 90º (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Từ (1) và (2) => AO // MC * Cách 2(Sử dụng tính chất đường trung bình)
Gọi: Vì AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) +H là trung điểm của MN + MH = HN Lại có: CO = ON +HO là đường trung bình của tam giác MNC. +HO // MC +AO // MC Bài 2:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường phân giác trong của các góc B , C lần lượt cắt đường tròn tại E và F. Dây cung EF cắt AC, AB lần lượt tại H và I. Gọi K là giao của FC và EB. C/m IK//AC Hướng dẫn: +) C/m tứ giác FIKB nội tiếp +) C/m góc IKF bằng góc ACF( Vì cùng bằng góc ABF) Bài 3:Cho đường tròn đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A. Vẽ tia Ax vuông góc với BC, lấy P thuộc tai Ax. Giao của PB, PC với đường tròn lần lượt là M, N. Giao của AN với đường tròn là E a) Chứng minh bốn điểm A, B, N ,P cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh AP//EM Hướng dẫn:Câu b +) C/m bốn điểm A, B, N ,P cùng thuộc một đường tròn. +) Góc APB bằng góc ANB (1) +) Vì bốn điểm A, B, N ,P cùng thuộc một đường tròn => góc ANB bằng góc BME (2) +) Từ (1) và (2) suy ra góc APB bằng góc BME => AP//ME Chứng min hai đường thẳng song song là một dạng toán hay và khó trong chương trình toán 8, Top lời giải xin giới thiệu chi tiết nhất để các bạn có thể tự tin chứng minh hai đường thẳng song song. I. Lý thuyết liên quan đến hai đường thẳng song song1.Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thằng này đến đường thẳng kia. 2. Tính chất của các điểm các đều một đường thẳng cho trước Các điểm cách đều một đường thẳng b một khoảng là h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h. Nhận xét:Tập hớp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng cách bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h. 3. Đường thẳng song song cách đều Cho các đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và khoảng cách giữa các đường thẳng a và b, b và c, c và d bằng nhau. Khi đó ta gọi a, b, c, d là các đường thẳng song song cách đều. Ta có định lí: – Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau. – Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều. II. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song songPhương pháp 1:Sử dụng tính chất hình bình hành. Tính chất: Trong hình bình hành các cạnh đối song song Phương pháp 2:Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang. Tính chất: - Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. - Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy Phương pháp 3:Sử dụng định lí Talet đảo: Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì song song với cạnh còn lại của tam giác III. Một số bài tập vận dụng chứng minh hai đường thẳng song songBài 1: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy.Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của OA,OB. Đường vuông góc với OA tại D và đường vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C. Chứng ming rằng: CA // DE Hướng dẫn:Sử dụng tính chất hình bình hành
+) Tứ giác ECDO là hình chữ nhật (vì có 4 góc vuông) +) Lại có EC // DA (cùng vuông góc Oy) => EC = OD mà OD = DA (gt); EC = DA => tứ giác ECDA là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hbh) Bài 2:Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác của góc C cắt BA tại N. Chứng minh rằng: MN // AC. Phân tích: Để chứng minh MN // AC có nhiều cách để chứng minh. Theo bài ra cho các đường phân giác của các góc vì thế ta sẽ sử dụng tính chất đường phân giác đưa ra các tỉ lệ bằng nhau, từ đó áp dụng định lý Talet đảo để chứng minh MN // AC Bài 3:Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm của DE. a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng. b) Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào? c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất? Lời giải: a) Tứ giác ADME có ∠A=∠D=∠E=90∘∠A=∠D=∠E=90∘nên ADME là hình chữ nhật O là trung điiểm của đường chéo DE nên O cũng là trung điểm của đường chéo AM. Vậy A, O, M thẳng hàng. b) Kẻ AH⊥ BC. Tương tự như bài 70 ta có hai cách chứng minh như sau: - Cách 1: Kẻ OK⊥ BC. Ta có OA = OM, OK // AH (cùng vuông góc BC) => OK = ½. Ạ. Điểm O cách đoạn thẳng BC cố định một khoảng không đổi bằng ½ AH. Mặt khác khi M trùng C thì O chính là trung điểm của AC, khi M trùng B thì O chính là trung điểm của AB. Vậy O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của tam giác ABC. - Cách 2: Vì O là trung điểm của AM nên HO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AM. Do đó OA = OH. Suy ra điểm O di chuyển trên đường trung trực của AH. Mặt khác vì M di chuyển trên cạnh BC nên O chỉ di chuyển trên cạnh PQ. Vậy điểm O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ABC. |
