Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài bằng 8 và không chứa 6 số 0 liên tiếp.
A. 246
B. 248
C. 256
D. 254
ĐẠI HỌC QUẢNG NGÃI BỘ ĐỀ TOÁN RỜI RẠC Dùng cho sinh viên khoa Công nghệ thông tin và cho thí sinh luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính Biên soạn: BÙI TẤN NGỌC - 10/2011 - Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 1 Bài toán đếm Bài 1. Đếm số n gồm 2 chữ số, nếu: a. n chẵn Gọi AB là số thỏa mãn yêu cầu Vậy A có 9 cách chọn {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (không chọn 0, vì chọn 0 thì số này có 1 chữ số) B có 5 cách chọn {0, 2, 4, 6, 8} Theo nguyên lý nhân, ta có : 9 x 5 = 45 số b. n lẻ gồm 2 chữ số khác nhau Gọi AB là số thỏa mãn yêu cầu Vì là số lẻ, nên B có 5 cách chọn {1, 3, 5, 7, 9} Sau khi ta chọn B, thì A có 8 cách chọn Theo nguyên lý nhân, ta có : 5 x 8 = 40 số c. n chẵn gồm 2 chữ số khác nhau Gọi AB là số thỏa mãn yêu cầu Khi B = {0}. A có 9 cách chọn {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Số cách chọn trong trường hợp này là : 9 cách Khi B = {2, 4, 6, 8}. A có 8 cách chọn Số cách chọn trong trường hợp này là : 4 x 8 = 32 cách Theo nguyên lý cộng, ta có : 9 + 32 = 41 số Cách khác: Theo câu a ta có 45 số n chẵn. Ta có 4 chữ số chẵn gồm 2 chữ số giống nhau: 22, 44, 66, 88. => 45 – 4 = 41 số n chẵn gồm 2 chữ số khác nhau. : {0, 1, 2, 3, 4, 5} a. abc a {1, 2, 3, 4, 5}. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 2 a xong, b a) Sau k a, b c a, b) b. abc c : {0, 2, 4}. + Khi c a b như sau: c =0, a {1, 2, 3, 4, 5}. a, c b + Khi c c a b như sau: c, a c a, c b c a) Bài 3. Có bao nhiêu xâu khác nhau có thể lập được từ các chữ cái trong từ MISSISSIPI, COMPUTER yêu cầu phải dùng tất cả các chữ? Từ MISSISSIPI có chứa : 1 từ M, 4 từ I, 4 từ S và 1 từ P Số xâu khác nhau là : !1!.4!.4!.1!10 Xâu COMPUTER , nên lập được 8! xâu. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 3 Bài 4. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 8 không chứa 6 số 0 liền? Gọi A là số xâu nhị phân độ dài 8 có chứa 6 số 0 liền nhau. B là số xâu nhị phân độ dài 8. => Số xâu cần đếm là : )()()( ANBNAN N(B) = 2.2.2.2.2.2.2.2 =28 = 256. N(A) = 10 (00x, 11x, 1x1, x11, x10 ,1x0, 10x, x01,0x1, 01x : x=000000) Vậy số xâu cần đếm là : 256 – 10 = 246 Bài 5. Đếm số byte a. Bất kỳ Số byte là một dãy số có dạng: xxxxxxxx, x có 2 cách chọn 0 hoặc 1. Theo nguyên lý nhân ta có : 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28 = 256 b. Có đúng hai bít 0. Có nghĩa là chuỗi luôn có 2 bit 0 và các bit còn lại là 1. Bài toán này tương đương với tính số cách sắp xếp các xâu từ: 00111111 Đây là hoán vị lặp của 8 phần tử với 2 loại: 2 số 0 và 6 số 1. 8!/2!.6! = 7.8/2 = 28 xâu c. Có ít nhất 2 bit 0 = Số xâu bất kỳ (a) – Số xâu không có bit 0 - Số xâu có 1 bit 0 Số xâu không có bit 0 = 1 trường hợp (11111111) Số xâu có 1 bit 0 = 8!/1!7!= 8 256 – 1 – 8 = 247 d. Bắt đầu 00 và kết thúc 00 Xâu này có dạng : 00xxxx00 Theo nguyên lí nhân, ta có : 1. 2.2.2.2 = 24 = 16 e. Bắt đầu 11 và kết thúc không phải 11 Tốn rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 4 Gọi A là số xâu bắt đầu 11, có dạng 11xxxxxx Theo ngun lý nhân, ta có : A= 1.1.2.2.2.2.2.2 = 26 = 64 Gọi B là số xâu bắt đầu là 11 và kết thúc là 11, có dạng 11xxxx11 Theo ngun lý nhân, ta có : B= 1.1.2.2.2.2.1.1 = 24 = 16 Gọi C là số xâu bắt đầu 11 và kết thúc khơng phải 11 => C = A – B = 64 – 16 = 48 Bài 6. a. Mật khẩu máy tính gồm 1 chữ cái và 3 hoặc 4 chữ số. Tính số mật khẩu tối đa có thể. Dãy gồm 1 chữ cái và 3 chữ số có dạng: LNNN, NLNN, NNLN, NNNL Trong đó L là chữ cái có 26 cách chọn và mỗi N là chữ số có 10 cách chọn. Vì vậy theo ngun lý nhân, ta có : 4 × 26 × 10 × 10 × 10 = 104000. Tương tự dãy có 1 chữ cái và 4 chữ số : 5 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1300000. Theo ngun lý cộng, ta có: 104000+ 1300000 = 1404000 (mật khẩu). b. Như trên nhưng khơng lặp chữ số Số mật khẩu gồm 1 chữ cái và 3 chữ số = 4 × 26 × 10 × 9 × 8 = 74880 Số mật khẩu gồm 1 chữ cái và 4 chữ số = 5 × 26 × 10 × 9 × 8 × 7 = 655200 Theo ngun lý cộng, ta có: 74880 + 655200 = 730080 (mật khẩu). Bài 7. Đội bóng đá ACB có 20 cầu thủ. Cần chọn ra 11 cầu thủ, phân vào 11 vò trí trên sân để thi đấu chính thức. Hỏi có mấy cách chọn nếu : a. Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vò trí nào ? Chọn ra 11 cầu thủ trong 20 cầu thủ , xếp vào 11 vò trí trên sân. Số cách chọn bằng chỉnh hợp không lặp chập 11 của 20 phần tử : 0006704425728!9!20)!1120(!20)!(!knnAkncách. b. Chỉ có một cầu thủ được chỉ đònh làm thủ môn, các cầu thủ khác chơi ở vò trí nào cũng được ? Tốn rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 5 Một cầu thủ đã chỉ đònh làm thủ môn, vậy ta cần chọn ra 10 cầu thủ trong 19 cầu thủ còn lại xếp vào 10 vò trí. Số cách chọn bằng chỉnh hợp không lặp chập 10 của 19 phần tử : 003352212864!9!19)!1019(!19)!(!knnAkn cách. c. Có 3 cầu thủ chỉ có thể làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vò trí nào cũng được ? Có 3 cách chọn 1 cầu thủ để làm thủ môn từ 3 cầu thủ. Sau khi ta chọn thủ môn xong, kế đến chọn 10 cầu thủ trong 17 cầu thủ còn lại để xếp vào 10 vò trí, có: 07057290240!7!17)!1017(!17)!(!knnAkn cách Theo nguyên lý nhân, ta có: 307057290240 = 211718707200 cách. Bài 8. Có 8 người đi vào 1 thang máy của một tòa nhà 13 tầng. Hỏi có bao nhiêu cách để : a. Mỗi người đi vào 1 tầng khác nhau. Số cách đi vào 8 tầng khác nhau của 8 người này là số cách chọn 8 trong số 13 tầng khác nhau (mỗi tầng được đánh số từ 1 đến 13). Đó là số chỉnh hợp không lặp chập 8 của 13 phần tử: 51891840!5!13)!813(!13)!(!knnAkn b. 8 người này, mỗi người đi vào 1 tầng bất kì nào đó. Mỗi người có 13 cách lựa chọn từ tầng 1 đến 13. Mà có 8 người. Vậy số cách chọn là 813. Bài 9. Có bao nhiêu xâu có độ dài 10 được tạo từ tập {a, b, c} thỏa mãn ít nhất 1 trong 2 điều kiện: - Chứa đúng 3 chữ a & chúng phải đứng cạnh nhau - Chứa đúng 4 chữ b & chúng phải đứng cạnh nhau Gọi A là số xâu có độ dài 10 có chứa đúng 3 chữ a đứng cạnh nhau. B là số xâu có độ dài 10 có chứa đúng 4 chữ b đứng cạnh nhau. Như vậy: A B là số xâu mà ta phải tìm. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 6 Theo nguyên lý bù trừ, ta có: N(AUB) = N(A) + N(B) - N(A∩B) Ta tính N(A) như sau: Xét trường hợp aaa ở đầu: aaaX1X2X3X4X5X6X7. - Xi (i=1 7) chỉ có 2 giá trị là b, c, vậy số trường hợp đối với 7 ký tự này giống như xâu nhị phân có độ dài 7, hay bằng 27 trường hợp. - Xâu aaa, có thể được xếp vào 8 vị trí (aaaX1X2X3X4X5X6X7, X1aaaX2X3X4X5X6X7, X1X2aaaX3X4X5X6X7, X1X2X3aaaX4X5X6X7, X1X2X3X4aaaX5X6X7 X1X2X3X4X5aaaX6X7, X1X2X3X4X5X6aaaX7, X1X2X3X4X5X6X7aaa). Vì vậy: N(A) = 8.27 + Tương tự, số lượng xâu có 4 chữ b đứng cạnh nhau, N(B) = 7.26 + N(A∩B) được tính bằng cách gộp aaa = X, bbbb = Y, còn lại là 3 chữ c. Ta tính số xâu từ dãy: XcccY có: 5!/1!3!1! = 4.5 = 20 trường hợp. Vậy số xâu cần tính là: 8.27 + 7.26 - 20 = 2476. Bài 10. (Đề thi cao học ĐH CNTT TP HCM-2010) Xét biển số xe: A1A2A3N1N2N3N4N5N6 Ai(i=1 3): A->Z; Nj(j=1 6): 0->9 a. Hỏi có bao nhiêu biển số khác nhau? b. Hỏi có bao nhiêu biển số thỏa điều kiện: ba mẫu tự khác nhau đôi một và trong biển số có đúng 1 chữ số 3 và 1 chữ số 5? c. Hỏi có bao nhiêu biển số thỏa điều kiện: trong biển số có ít nhất 1 chữ số 3 và 1 chữ số 5? a. Ai (i=1 3) có 26 cách chọn từ 26 chữ cái tiếng Anh từ A Z Nj(j=1 6) có 10 cách chọn từ 10 chữ số từ 0 9 Theo nguyên lý nhân ta có: 26.26.26.10.10.10.10.10.10 = 263.106 biển số. b. Số cách chọn 3 mẫu tự A1A2A3 khác nhau: A1 có 26, A2 có 25, A3 có 24 cách. Số cách chọn 4 chữ số N1N2N3N4 không có số 3 và số 5: 8.8.8.8 = 84 cách. Số cách đặt số 3 vào dãy 4 chữ số N1N2N3N4 là 5 cách, đó là: 3N1N2N3N4, N13N2N3N4, N1N23N3N4, N1N2N33N4, N1N2N3N43. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 7 Tương tự số cách đặt số 5 vào 5 dãy có 5 chữ số đã liệt kê ở trên là : 5.6=30 Theo nguyên lý nhân, ta có : 24. 84.30 cách. c. Gọi A là số biển số không có chứa chữ số 3 và chữ số 5. NA = 263.86 biển số Gọi B là số là số biển số có chứa chữ số 3 và không có chứa chữ số 5. NB = 263.96 biển số Gọi C là số là số biển số có không chứa chữ số 3 và có chứa chữ số 5. NC = 263.96 biển số Gọi D số biển số có ít nhất 1 chữ số 3 và 1 chữ số 5 ND = N – NA – NB - NC Theo câu a: N= 263.106 = 263.106 - 263.96 - 263.96 - 263.86 = 263(106 – 2.96 - 86 ). Bài 11. a. Có bao nhiêu số có n chữ số mà có m chữ số đầu và m chữ số cuối tương ứng giống nhau. (n>2m>2, n,m N). Gọi A dãy số cần tìm, A có dạng: Số cách chọn m chữ số đầu tiên và m chữ số cuối tương ứng giống nhau bằng chỉnh hợp lặp chập m của 10 phần tử (0 9): 9.10m-1 (Chữ số đầu có 9 cách chọn, vì bỏ số 0 đứng đầu). Số cách chọn dãy số ở giữa: Dãy này gồm có n-2m chữ số. Số cách chọn là: 10n-2m. Theo nguyên lý nhân, ta có: 9. 10m-1.10n-2m chữ số. b. Ứng dụng tính số chữ số có 10 chữ số mà 3 chữ số đầu và 3 chữ số cuối tương ứng giống nhau. Số chữ số thỏa mãn đề bài bằng: 9.102.1010-6 = 9.102.104 = 9000000. xx…xbb…bxx…x n m Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 8 Bài 12. (Đề thi cao học Đà Nẵng - 8/2008) a. Trong một lớp học có 30 người. Cho biết có bao nhiêu cách cử một ban đại diện gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ. Có 30 cách chọn 1 lớp trưởng. Sau khi chọn 1 lớp trưởng xong, có 29 cách chọn 1 lớp phó. Sau khi chọn 1 lớp trưởng, 1 lớp phó xong, có 28 cách chọn 1thủ quĩ. Theo nguyên lý nhân, ta có : 30.29.28 = 24360 cách chọn. Cách khác: Số cách chọn chính bằng số chỉnh hợp không lặp chập 3 của 30 phần tử : A(30,3) = 30!/(30-3)!= 24360. b. Cho biết có thể nhận bao nhiêu xâu ký tự khác nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ cái của từ SUCCESS. Từ SUCCESS có: 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U và 1 chữ E. Vậy có : 4207.6.5.227.6.5.4!1!.2!.1!.3!7 xâu khác nhau. Bài 13. (Đề thi cao học Đà Nẵng - 2/2009) a. Giả sử chúng ta có 5 viên bi giống nhau và 3 chiếc túi khác màu là xanh, vàng và đỏ. Cho biết có bao nhiêu cách bỏ bi vào các túi? Ví dụ: cách 1 -> túi xanh 5 viên, túi vàng và túi đỏ không có bi; cách 2 -> túi xanh 3 viên, túi vàng và túi đỏ mỗi túi 1 viên, … Số cách bỏ bi tương ứng chính bằng số tổ hợp lặp chập 5 từ tập có 3 phần tử là: 2127.6!2)!.27(!7271315311CCCnkn b. Giả sử chúng ta có 5 viên bi (2 bi sắt, 2 bi chai và 1 bi đất) và 3 chiếc túi màu xanh, vàng và đỏ. Cho biết có bao nhiêu cách bỏ bi vào các túi? Ví dụ: Cách 1 túi xanh chứa 2 bi sắt, túi vàng 2 bi chai và túi đỏ 1 bi đất; cách 2 -> túi xanh 1 bi sắt, túi vàng 2 bi chai + 1 bi sắt và túi đỏ 1 bi đất, … Ta bỏ lần lượt từng loại vào 3 cái túi: + Bỏ 2 viên bi sắt vào 3 cái túi, có 624.3!2)!.2(!4241312311CCCnkncách bỏ Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 9 + Bỏ 2 viên bi chai vào 3 cái túi, có 624.3!2)!.2(!4241312311CCCnkncách bỏ bi + Bỏ 1 viên bi chai vào 3 cái túi, có 3!2!.1!3231311311CCCnkncách bỏ bi Theo nguyên lý nhân, ta có: 6.6.3 = 108 cách bỏ bi. c. Giả sử chúng ta có 5 viên bi (2 bi sắt, 2 bi chai và 1 bi đất. Cho biết có bao nhiêu cách sắp chúng thành hàng? Ví dụ: sắt sắt chai chai đất, sắt chai sắt chai đất,… Cách sắp các viên bi thành hàng chính bằng hoán vị lặp của 5 phần tử, trong đó 2 bi sắt, 2 bi chai và 1 bi đất, vậy có: 3025.4.3!1!.2!.2!5cách sắp bi. 14. (Đề thi cao học ĐH CNTT TPHCM -5/2001) a. Tìm số các chuỗi 8 bits thỏa mãn điều kiện: bit đầu tiên là 1 hay 2 bit cuối là 0 Gọi A là số chuỗi 8bits có bit đầu tiên là 1 B là số chuỗi 8bits có 2 bit cuối là 0. Theo nguyên lý bù trừ, ta có N(A B) = N(A) + N(B) – N(A B) Tính N(A): Gọi S=s1s2s3s4s5s6s7s8 là chuỗi 8bits có bit đầu tiên là 1. Vậy s1 có 1 trường hợp, si(i=2 8) có 2 trường hợp 0 và 1. Theo nguyên lý nhân, ta có: N(A) = 1.2.2.2.2.2.2.2 = 27 Tương tự: N(B) = 26. N(A B) = 25 Vậy: N(A B) = 27 + 26 – 25 = 160 b. Mỗi người sử dụng một hệ thống máy tính của một công ty X phải sử dụng một password dài từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi ký tự là một chữ cái hoặc là một chữ s Mỗi password phải có ít nhất một chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu password khác nhau? n. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 10 n. n- 52n 6- 526 7- 527 8- 528 6- 526) + (627- 527) + (628- 528) 6 – 266) + (367 – 267) + (368 – 268) 15. (Đề thi cao học ĐH KHTN-1999) Xét 3 chuỗi ký tự trên tập mẫu tự {a, b, c} ( với a < b < c) : s1 = ac, s2 = aacb, s3 = aba. a. Hãy sắp xếp chúng theo thứ tự tăng đối với thứ tự từ điển. a < b < c, nên s2 < s3 < s1) b. Cho biết giữa s1 và s3 có bao nhiêu chuỗi ký tự có chiều dài 6. s3 = aba < ab * * * * < s1 = ac Bài 16. Cho trước một đa giác lồi P có 10 đỉnh lần lượt là A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Giả sử rằng trong đa giác không có 3 đường chéo nào cắt nhau tại một điểm. Hãy cho biết đa giác có tổng bao nhiêu đường chéo. Vì đa giác lồi P có 10 đỉnh, nên tổng số các đường nối 2 đỉnh bất kỳ của P chính bằng tổ hợp chập 2 (đỉnh) của 10 (đỉnh). 45210.9!2)!.210(!10210C cạnh. Theo đề bài đa giác lồi P có 10 cạnh, vậy số đường chéo của đa giác P là: 45 -10 =35 Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 11 Bài 17. Tìm số nghiệm nguyên không âm của: a. Phương trình 204321xxxx với x10 ; x2 0; x30; x4 0 Ta nhận thấy mỗi nghiệm của phương trình ứng với một cách chọn 20 phần tử từ một tập có 4 loại, sao cho có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại 2, x3 phần tử loại 3, x4 phần tử loại 4 được chọn. Vậy số nghiệm bằng số tổ hợp lặp chập 20 từ tập có 4 phần tử là: 177123.11.73.223.22.21!3!.20!23!3)!.323(!2332314120411CCCnkn b. Phương trình 204321xxxx với x1 6 ; x2 3; x3 9; x4 -2 x1 > 6 x1 – 6 0 Đặt : a = x1 - 6 => x1 = a + 6 x2 > 3 x2 – 3 0 b = x2 - 3 => x2 = b + 3 x3 > 9 x3 – 9 0 c = x3 - 9 => x3 = c + 9 x4>-2 x4 + 2 0 d = x4 + 2 => x4 = d - 2 204321xxxx a + 6 + b + 3 + c + 9 + d – 3 = 20 a + b + c + d = 5 với a 0; b 0; c 0; d 0 Vậy có : 563.28.7.6!3!.5!8!3)!.38(!8381415411CCCnkn nghiệm c. Bất phương trình x1 + x2 + x3 ≤ 11 với x1 0; x2 0; x3 0. Thêm ẩn phụ x4 0. ương đương x1 + x2 + x3 + x4 = 11 với x1 0; x2 0; x3 0; x4 0. 3643.214.13.12!3!.11!1431414111411CCCnkn. d. Phương trình x + y + z = 10 với 0 x 2, 0 y 4, 0 z 6. Gọi U là tập tất cả các nghiệm nguyên không âm của phương trình x + y + z = 10, ta có: 66212.11!2!.10!1221213110311CCCUNnkn. Gọi: A là tập nghiệm với x 3, y 0, z 0. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 12 B là tập nghiệm với x 0, y 5, z 0. C là tập nghiệm với x 0, y 0, z 7. Theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm nguyên của phương trình là: N* = N – A B C A B C = A + B + C + A B + A C + B C - A B C A là tập nghiệm với x 3, y 0, z 0, đặt x’=x-3, y’=y, z’=z, phương trình đã cho tương đương với x’ + y’ + z’ = 7 với x’ 0, y’ 0, z’ 0. => A = C(9,2) = 9!/7!.2! = 8.9/2 = 36. Tương tự : B = C(7,2) = 7!/5!.2! = 6.7/2 = 21. C = C(5,2) = 5!/3!.2! = 4.5/2 = 10. A B : x 3, y 5, z 0 : => x’ + y’ + z’ = 2 với x’ 0, y’ 0, z’ 0. A B =C(4,2) = 4!/2!2!= 3.4/2 = 6. A C : x 3, y 0, z 7 : => x’ + y’ + z’ = 0 với x’ 0, y’ 0, z’ 0. A C =C(2,2) = 2!/0!2! = 1. B C : x 0, y 5, z 7 : => x’ + y’ + z’ = -2 với x’ 0, y’ 0, z’ 0. => B C =0. A B C : x 3, y 5, z 7 : => x’ + y’ + z’ = -5 với x’ 0, y’ 0, z’ 0. => A B C =0. Vậy : A B C = 28 + 21 + 10 + 6 + 1 + 0 – 0 = 60 => N* = 66 – 60 = 8. Đó là các nghiệm: (0,4,6); (1,3,6); (1,4,5); (2,2,6); (2,3,5); (2,4,4); N (x 0, y 0, z 0) A x 3 B y 5 C z 7 N* Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 13 e. Phương trình 204321xxxx(1) thỏa mãn x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 > 4 Vì các biến nhận giá trị nguyên. Nên điều kiện x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 > 4 được viết lại là: x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5 (*). Xét các điều kiện sau: x2 ≥ 2; x3 ≥ 5 (**) x1 ≥ 4; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5 (***) Ta gọi p, q, r lần lượt là các số nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn (*), (**), (***). Ta có: p = q – r Trước hết, ta tìm q như sau: Đặt: x1’= x1, x2’ = x2 – 2, x3’ = x3 – 5, x4’ = x4. Phương trình (1) trở thành: x1’ + x2’ + x3’ + x4’ = 13 (2) Số nghiệm nguyên không âm của (2) chính bằng số nghiệm của (1) thỏa mãn (**). Mà số nghiệm của (2) là .56016.5.73.216.15.14!3!.13!1631614113411CCCnkn Ta tìm r như sau: Đặt: x1’= x1 - 4, x2’ = x2 – 2, x3’ = x3 – 5, x4’ = x4. Phương trình (1) trở thành: x1’ + x2’ + x3’ + x4’ = 9 (3) Số nghiệm nguyên không âm của (3) chính bằng số nghiệm của (1) thỏa mãn (***). Mà số nghiệm của (3) là: 2204.11.53.212.11.10!3!.9!123121419411CCCnkn => P = q – r = 560 – 220 = 340. Vậy số nghiệm nguyên nguyên không âm của phương trình (1) thỏa điều kiện (*) là 340. . (Đề thi cao học ĐH Đà Nẵng – 10/2010). (1) : Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 14 126504.3.225.24.23.22!4!.21!25!4)!.425(!2542515121511CCCnkn b. x5<4. + x1 ≥ 3 (II) + x1 ≥ 3, x5 ≥ 4 (III) – r. (1) x1 ≥ 3 – a = x1 - 3 x1 = a + 3 a + 3 + b + c + d + e = 21 a + b + c + d + e = 18 (2) ≥ 3. q = 73154.3.222.21.20.19!4!.18!22!4)!.422(!2242215118511CCCnkn x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 4. x1 ≥ 3 – - 3 x1 = a + 3 x5 ≥ 4 x5 – 4 ≥ 0 e = x5 – 4 x5 = e + 4 a + 3 + b + c + d + e + 4 = 21 a + b + c + d + e = 14 (3 x1 ≥ 3, x5 ≥ 4. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 15 r = 30604.3.218.17.16.15!4!.14!18!4)!.418(!1841815114511CCCnkn – r = 7315 – 3060 = 4255. . ( – 9/2011) Người ta chia 10 viên kẹo (hoàn toàn giống nhau) cho 3 em bé. a. Có bao nhiêu cách chia kẹo Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số kẹo được chia cho mỗi em Ta có : x1 + x2 + x3 = 10 với x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 0310 3 Vậy có 66 cách chia 10 viên kẹo cho 3 em bé. b. Có bao nhiêu cách chia kẹo sao cho em nào cũng có ít nhất 1 viên Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số kẹo được chia cho mỗi em. Vì mỗi em phải có ít nhất 1 viên nên: x1 + x2 + x3 = 10 (1) với x1 ≥ 1, x2 ≥ 1, x3 ≥ 1. Đặt: x1’ = x1 – 1 ≥ 0 x1 = x1’ + 1 (a) x2’ = x2 – 1 ≥ 0 x2 = x2’ + 1 (b) x3’ = x3 – 1 ≥ 0 x3 = x3’ + 1 (c) Thay (a), (b) và (c) vào phương trình (1), ta được : x1’ + x2’ + x3’ = 7 (2) với x1’ ≥ 0, x2’ ≥ 0, x3’ ≥ 0 Số nghiệm nguyên dương của phương trình (2) cũng chính bằng số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thỏa mãn với điều kiện mà đề bài đưa ra và bằng: Vậy có 36 cách chia 10 viên kẹo cho 3 em bé mà mỗi em bé có ít nhất 1 viên. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 16 Bài 20. (Đề thi cao học ĐH Đà Nẵng – 8/2009). Cho bảng chữ cái gồm n ký tự phân biệt, trong đó có ký tự a. Hãy cho biết: a. Có bao nhiêu chuỗi ký tự được xây dựng từ có độ dài p. Số chuỗi có độ dài p được xây dựng từ bảng chữ cái gồm n ký tự phân biệt, chính bằng chỉnh hợp lặp chập p của n phần tử: pn. b. Có bao nhiêu chuỗi ký tự được xây dựng từ có độ dài p chứa ít một ký tự a. Số chuỗi có độ dài p không chứa ký tự a là: pn )1(. Số chuỗi có độ dài p chứa ít nhất 1 ký tự a bằng số chuỗi có độ dài p trừ đi số chuỗi có độ dài p không chứa ký tự a: pn-pn )1(. c. Có bao nhiêu chuỗi được xây dựng từ có độ dài p chứa chỉ một ký tự a. Gọi B là số chuỗi có độ dài p-1 không có ký tự a là: B = 1)1(pn. Để có chuỗi có đúng 1 ký tự a, ta đem chèn ký tự a vào số chuỗi B. Ứng với 1 chuỗi trong B có p cách chèn ký tự a vào. Vậy số chuỗi được xây dựng từ có độ dài p chứa chỉ một ký tự a là: 1)1(pnp d. Có bao nhiêu chuỗi ký tự được xây dựng từ có độ dài p có đúng q ký tự a. Số tập hợp gồm q vị trí trong số p vị trí của chuỗi có độ dài p là: !)!.(!qqppCqp Trong chuỗi p, có q ký tự a, số ký tự ký còn lại không có chứa a là p-q, và bằng qpn )1( Vậy số chuỗi được xây dựng từ có độ dài p chứa q ký tự a là: qpnqqpp)1(!)!.(! Bài 21. Đếm số cách đặt 20 cuốn sách vào 4 ngăn tủ, mỗi ngăn đựng 5 cuốn, nếu: a. Mỗi ngăn được đánh số phân biệt b. Các ngăn như nhau a. Chọn 5 cuốn sách bỏ vào ngăn 1, có : !5)!.15(!20520C cách Sau khi chọn 5 cuốn bỏ vào ngăn 2, số sách còn lại là 15. Chọn tiếp 5 cuốn bỏ vào ngăn 2, có: !5)!.10(!15515C cách. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 17 Tương tự, chọn 5 cuốn trong số sách còn bỏ vào ngăn 3, có: !5)!.5(!10510Ccách Bỏ 5 cuốn cuối cùng vào ngăn 4, có : 1!5)!.0(!555C cách. Theo nguyên lý nhân, ta có: 4)!5(!201!5)!.5(!10!5)!.10(!15!5)!.15(!20cách bỏ sách. b. Vì 4 ngăn như nhau nên số cách bỏ sách vào 4 ngăn là: !4)!5(!204 Bài 22. (Đề thi cao học ĐH Đà Nẵng – 3/2010). Cho bảng chữ cái, gồm bốn chữ số {1, 2, 3, 4} và bảy ký tự {a, b, c, d, e, f, g}. a. Có bao nhiêu từ có độ dài n được xây dựng từ bảng chữ cái trên. Ta có bảng chữ cái là : 11. Số xâu có độ dài n được xây dựng trên bảng có 11 chữ, chính bằng chỉnh hợp lặp chập n của 11 phần tử. Vậy : 11n. b. Có bao nhiêu từ có độ dài n mà trong từ đó không có hai ký tự đứng liền kề. Gọi M là từ có độ dài n mà trong đó có hai ký tự kề nhau. Gọi A là từ có độ dài n-2 được xây dựng từ bảng 11 chữ cái, số từ A là: 11n-2 M được lập bằng cách: chọn 2 ký tự bất kỳ, đem chèn vào từng vị trí của A. Số cách chọn 2 ký tự từ 7 chữ cái: 72, được chèn vào n-1 vị trí trong từ A. Số từ có độ dài n mà trong đó có hai ký tự kề nhau: 72(n-1). 11n-2 Vậy số từ có độ dài n mà trong đó không có hai ký tự kề nhau là: 11n – (72(n-1). 11n-2 ) c. Có bao nhiêu từ có độ dài n được xây dựng từ bảng chữ cái trên mà trong từ đó luôn xuất hiện ít nhất 1 chữ số và một ký tự (n>1). Gọi X là số từ có độ dài n chỉ có chữ số: X= 4n Y là số từ có độ dài n chỉ có ký tự: Y= 7n Vậy số từ thỏa mãn đề bài là: 11n – 4n – 7n Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 18 Bài 23. (Đề thi cao học Đà Nẵng – 10/2010) Cho X={0 15}. Chứng tỏ rằng nếu S là một tập con gồm 9 phần tử của X thì có ít nhất 2 phần tử của S có tổng bằng 15. Phân hoạch X thành 8 tập con, mỗi tập con đều có tổng bằng 15, như sau: {0,15}, {1,14}, {2,13}, {3,12}, {4,11}, {5,10}, {6,9}, {7,8} Phân 9 phần tử của S vào 8 tập con trên. Theo nguyên lý Dirichlet, có 2 phần tử của S thuộc một tập nào đó, mà tổng 2 phần tử này sẽ bằng 15. Bài 24. (Đề thi cao học Đà Nẵng – 3/2011) Trong mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt nối nhau từng đôi một bởi các đoạn thẳng màu xanh hoặc đỏ. Chứng tỏ rằng có 3 điểm nối nhau bởi các đoạn thẳng cùng màu. Gọi A, B, C, D, E, F là 6 điểm phân biệt nằm trong một mặt phẳng. Giả sử ta chọn điểm A, nối điểm A với 5 điểm còn lại B, C, D, E, F bởi các đoạn thẳng màu xanh hoặc đỏ. + Ngược lại, tam giác BCD không có cạnh màu đỏ, thì tam giác này phải màu xanh. Vậy luôn luôn tồn tại 3 điểm nối với nhau từng đôi 1 bởi các đoạn thẳng cùng màu A B C D E F Giả sử ta chọn điểm A, nối điểm A với 5 điểm còn lại B, C, D, E, F bởi các đoạn thẳng màu xanh hoặc đỏ. Theo nguyên lý Dirichlet phải có 3 đoạn thẳng cùng màu xanh hoặc đỏ. Giả sử là 3 đoạn thẳng AB, AC và AD có màu đỏ (như hình vẽ). + Nếu trong tam giác BCD có cạnh màu đỏ, giả sử là cạnh BC, thì tam giác ABC là tam giác có các cạnh màu đỏ (hay 3 điểm nối nhau cùng màu). Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 19 Bài 25. Một võ sĩ quyền anh thi đấu giành chức vô địch trong 75 giờ. Mỗi giờ đấu ít nhất một trận, nhưng toàn bộ không quá 125 trận. Chứng tỏ rằng có những giờ liên tiếp đã đấu 24 trận. Gọi ai là số trận đấu cho đến hết giờ thứ i (i=1 75) của võ sĩ quyền anh. Ta có : 1 a1 < a2 …< a75 125. (1) 25 a1 +24 < a2+24 …< a75+24 149. (2) Như vậy ta có 150 số trong 2 dãy (1) và (2) nhận giá trị trong {1 149}. Theo nguyên lý Dirichlet phải có 2 hai số bằng nhau. Vì 2 dãy trên là dãy tăng, nên hai số bằng nhau thuộc 2 dãy khác nhau. Hay, ta có: ai+24 = aj aj – ai =24. Như vậy, từ giờ i đến hết giờ j võ sĩ đã thi đấu 24 trận. Bài 26. (Đề thi cao học Đà Nẵng – 8/2009) a. Một mạng máy tính có n (n>1) máy tính. Mỗi máy tính được nối trực tiếp hoặc không nối với các máy khác. CMR có ít nhất hai máy tính mà số các máy tính khác nối với chúng là bằng nhau. Gọi q1, q2, q3, … qn là số máy tính kết nối với máy 1, 2, 3 n. Như vậy ta có: 0 qi n-1 i=1 n Tuy nhiên, không thể xảy ra đồng thời: có 1 máy không kết nối với máy nào cả, tức là qi=0 và có một máy kết nối với tất cả các máy còn lại (qj=n-1). Vậy chỉ xảy ra 1 trong hai trường hợp sau: 0 qi n-2 i=1 n 1 qi n-1 i=1 n Cả hai trường hợp trên n có qi nhận n-1 giá trị. Theo nguyên lý Dirichlet, có i j sao cho qi=qj. Hay có ít nhất 2 trong số n máy tính có số máy kết nối với chúng bằng nhau. b. Trong một mặt phẳng có 17 điểm phân biệt được nối với nhau từng đôi một bởi các đoạn thẳng màu xanh, hoặc màu đỏ, hoặc màu vàng. CMR luôn tồn tại ba điểm nối với nhau bởi các đoạn thẳng cùng màu Chọn 1 điểm bất kỳ, giả sử là P, từ P ta nối với 16 điểm còn lại bởi các đoạn thẳng là màu xanh, hoặc màu đỏ, hoặc màu vàng. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 16 đoạn thẳng này sẽ có 6 đoạn thẳng có cùng màu. Giả sử 6 đoạn thẳng đó nối P với 6 điểm A, B, C, D, E, F có 2 trường hợp: Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 20 + Sáu điểm A, B, C, D, E, F được nối với nhau từng đôi một bởi các đoạn thẳng, trong đó có ít nhất 1 đoạn thẳng có màu đỏ. Khi đó, đoạn thẳng màu đỏ này cùng với điểm P tạo thành 3 điểm nối với nhau bởi các đoạn thẳng có màu đỏ. + Sáu điểm A, B, C, D, E, F được nối với nhau từng đôi một bởi các đoạn thẳng không có màu đỏ, tức là các đoạn thẳng này có màu xanh hoặc vàng. Khi đó, chọn điểm bất kỳ (chẳng hạn điểm A) nối với 5 điểm còn lại bởi các đoạn thẳng màu xanh hoặc vàng. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất 3 trong 5 đoạn thẳng có cùng màu, giả sử đó là màu xanh. Giả sử đó là các cạnh AB, AC và AD. Nếu có ít nhất một trong 3 đoạn thẳng BC, CD và DB có màu xanh thì cùng với điểm A tạo thành 3 điểm được nối với bởi màu xanh. Ngược lại, thì B, C, D là điểm được nối với nhau bởi màu vàng. Như vậy, luôn tồn tại ba điểm nối với nhau bởi các đoạn thẳng cùng màu Bài 27. Trong mặt phẳng xOy lấy ngẫu nhiên 5 điểm tọa độ nguyên. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trung điểm của các đoạn nối chúng có tọa độ nguyên. Giả sử trong mặt phẳng xOy có A(x1,y1), B(x2,y2). Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB sẽ là: 221,221 yyxx. Các tọa độ này nguyên khi: (x1,x2) đều chẵn hoặc đều lẻ, (y1,y2) đều chẵn hoặc đều lẻ. Vì có 4 bộ bao gồm 2 phần tử có tính chẵn lẻ với nhau. Nên theo nguyên lý Dirichlet thì trong 5 điểm sẽ có ít nhất 2 điểm có tính chẵn lẻ như nhau. Do dó, trung điểm của 2 điểm này sẽ có tọa độ nguyên. Bài 28. Cho trước các tập hợp gồm các phần tử xác định nào đó. a. Hãy cho biết các cách mô tả, hay biểu diễn một tập hợp? Cho ví dụ. + Nếu A là một tập hợp gồm một số hữu hạn phần tử, để biểu diễn tập A, ta có thể liệt kê hết các phần tử của A. - Ví dụ biểu diễn A là tập hợp 4 chữ cái hoa đầu tiên: A={‘A’,’B’,’C’,’D’} + Nếu A là một tập hợp vô hạn các phần tử, để biểu diễn tập A, ta dùng cách biểu diễn tính chất của các phần tử, có dạng: A={x P(x)} là tập hợp các phần tử x, sao cho x thỏa mãn tính chất P Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 21 - Ví dụ biểu diễn A là tập hợp các số thực: A={x x R} b. Hãy cho biết thế nào là một tập hợp đếm được, một tập hợp không đếm được? Cho ví dụ. + Nếu A là một tập hợp có hữu hạn phần tử, thì tập A được gọi là tập đếm được. Ví dụ: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A là tập đếm được vì nó có 9 phần tử, từ 1 đến 9 + Nếu A là một tập hợp có vô hạn phần tử, thì tập A có thể là tập đếm được hoặc không đếm được. Để xác định A có đếm được hay không ta chỉ cần xây dựng song ánh giữa tập A với tập các số tự nhiên N. Ví dụ: Cho A là tập hợp các số phức. A là tập vô hạn không đếm được. c. Cho A là tập không đếm được, B là tập đếm được. Hãy cho biết tập hợp A-B (hiệu) có đếm được hay không? Giả sử A-B là tập đếm được, khi đó A=(A-B) B cũng là tập hợp đếm được, vì: (A-B) : là tập đếm được theo giả thiết. B : là tập đếm được theo đề bài. Mâu thuẩn với đề bài đã cho là A là tập không đếm được. Vậy A-B là tập không đếm được. d. CMR tích Decac của hai tập hợp vô hạn đếm được cũng là một tập vô hạn đếm được? Tích Decac AxB là tập tất cả các cặp phần tử có trật tự sắp xếp (a,b) được tạo ra bởi một phần tử a A với các phần tử đứng kế tiếp b B. Giả sử A={ai, i=1 n}; B={bj, j=1 n} Ta xây dựng một (bảng) ma trận hai chiều, đầu mỗi hàng là một phần tử của A, đầu mỗi cột là phần tử của B. Khi đó, các phần tử của tích Decac AxB là các phần tử của ma trận. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 22 b1 b2 … bn a1 a1b1 a1b2 a1bn a2 a2b1 a2b2 … a1bn … an anb1 anb2 … anbn Từ ma trận trên ta suy ra AxB là đếm được. Bài 29. (Đề thi cao học Đà Nẵng – 5/2007) Cho dãy u = <a1, a2, …, an> trong đó ai là các ký tự tùy ý, i 1 n, n là độ dài của dãy u đã cho. Một dãy v = <b1, b2, …, bm> được gọi là dãy con của dãy u nếu tìm được dãy các chỉ số 1 i1 < i2 < … < im n và bk=aik với mọi k 1 m. Chẳng hạn dãy v = < B, C, D, B> là dãy con của dãy u = < A, B, C, B, D, A, B> với dãy chỉ số là <2, 3, 5, 7>. Một dãy w được gọi là dãy con chung của hai dãy u và v đã cho, nếu w vừa là dãy con của u và vừa là dãy con của v. Một dãy con chung được gọi là lớn nhất nếu có độ dài lớn nhất trong số các dãy con của các dãy đã cho. Chẳng hạn, các dãy <A, B, B, C> và <B, D, A, B> đều là dãy con chung lớn nhất của hai dãy <A, B, C, B, D, A, B> và <B, D, C, A, B, A>. Gọi C(i,j) là độ dài của một dãy con chung lớn nhất của hai dãy X= <a1, a2, … an> và Y= <b1, b2, … bm> (0 i n, 0 j m). Người ta tìm được công thức đệ quy tính C(i,j) như sau: Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 23 a, Hãy giải thích công thức đệ quy trên: - Nếu i=0 hoặc j=0 thì C[i,j] = 0. - Nếu i>0, j>0: + Nếu Xi = Yj thì dãy con chung dài nhất của Xi và Yj sẽ thu được bằng việc bổ sung Xi vào dãy con chung dài nhất của hai dãy Xi-1và Yj-1 + Nếu Xi Yj thì dãy con chung dài nhất của Xi và Yj sẽ là dãy con dài nhất trong hai dãy con chung dài nhất của (Xi và Yi-1) và của (Xi-1 và Yj). b, Viết hàm RecMaxSubSeq dùng phương pháp lặp tính độ dài dãy con chung lớn nhất của hai dãy trên. Type Mang= array[1 50,1 50] of byte; Function RecMaxSubSeq (X,Y,m,n): Mang; Var i,j: Byte; C: Mang; Begin for i :=1 to n do c[i,0]:=0; for j: =1 to m do c[0,j]:=0; for i: =1 to n do for j: = 1to m do if x[i] = y[i] then c[i,j]:=c[i-1,j-1]+1 else if c [i-1,j] c[i,j-1] then c[i,j]:=c[i-1,j] else c[i,j]:=c[i,j-1]; RecMaxSubSeq :=C; End; Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc 24 Kỹ thuật đếm nâng cao Bài 1. Cho dãy số {an} thỏa mãn hệ thức truy hồi: an = 5an-1 – 6an-2 ; a0=0 và a1=1. a. Giải hệ thức truy hồi trên. Ta có phương trình đặt trưng : x2 = 5x – 6 x2 – 5x + 6 =0 có 2 nghiệm phân biệt : x1 = 3 và x2 = 2 Hệ thức truy hồi có dạng: an = b3n + d2n (1) Với a0=0, a1=1thay lần lượt vào (1), ta có hệ phương trình sau: b + d =0 3b + 2d = 1 => b = 1, d = -1 Vậy hệ thức truy hồi là : an = 3n - 2n b. Viết hàm A(n) để tính an Function A(n: integer): Integer; Begin If n=0 then A:=0 Else if n=1 then A:=1 Else A:=5*A(n-1) – 6*A(n-2); End; Bài 2. Giải hệ thức truy hồi an = 6an-1 - 9an-2 ; a0=1, a1=6 Ta có phương trình đặt trưng : x2 = 6x – 9 x2 – 6x + 9 =0 PT có nghiệm kép : x = 3 Hệ thức truy hồi có dạng: an = b3n + d.n.3n Thay a0=1 và a1=6, ta có hệ phương trình : 6331dbb => b = 1, d = 1 Vậy hệ thức truy hồi là : an = 3n + n3n = (1+n) 3n |
