Có ba đại lượng:
- Khối lượng công việc. (KLCV)
- Phần việc làm (chảy) trong một đơn vị thời gian (năng suất) (NS)
- Thời gian (t)
| $KLCV=N.t$ | Khối lượng công việc = Năng suất $\times $ Thời gian. | KLCV: |
| $NS=\frac{KLCV}{t}$ | Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian. | NS: Năng suất |
| $t=\frac{KLCV}{NS}$ | Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất. | t: thời gian |
Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta xem toàn bộ công việc là 1.
- Nếu đội nào làm xong công việc trong x (ngày) thì trong 1 ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).
- Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong 1 giờ vòi đó chảy được $\frac{1}{x}$ (bể).
Ví dụ minh họa:
Bài 1:Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì được bổ sung thêm 2 xe nên mỗi xe chở ít hơn 0,5 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc xe?
Hướng dẫn giải
Gọi số xe trong đoàn xe lúc đầu là $x$ (chiếc) $\left( x\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \right)$.
Số xe trong đoàn xe khi bổ sung thêm là $x+2$ (chiếc).
Lúc đầu, lượng hàng mỗi xe phải chở là $\frac{30}{x}$ (tấn)
Lúc thêm 2 xe, lượng hàng mỗi xe phải chở là $\frac{30}{x+2}$ (tấn)
Do bổ sung thêm 2 xe thì mỗi xe chở ít hơn $0,5=\frac{1}{2}$ tấn hàng nên ta có phương trình :
$\frac{30}{x}-\frac{30}{x+2}=\frac{1}{2} \left( x>0, x nguy\text{ }\!\!\hat{\mathrm{e}}\!\!\text{ }n \right)$
$\Rightarrow 60\left( x+2 \right)-60x=x\left( x+2 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-120=0$
$\Delta '={{1}^{2}}-1.\left( -120 \right)=121>0$, $\sqrt{\Delta '}=\sqrt{121}=11$.
${{x}_{1}}=-1+11=10$ (nhận) ; ${{x}_{2}}=-1-11=-12$ (loại).
Vậy lúc đầu đoàn xe có 10 chiếc.
Bài 2:Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?
Hướng dẫn giải
Gọi số sản phẩm tổ đã thực hiện trong mỗi ngày là x (sản phẩm). (ĐK: x>10; x ÎZ)
Do đó:
Số sản phẩm tổ dự định làm trong mỗi ngày là: $x-10$ (sản phẩm).
Thời gian tổ hoàn thành công việc trong thực tế là: $\frac{240}{x}$ (ngày)
Thời gian tổ hoàn thành công việc theo dự định là: $\frac{240}{x-10}$ ngày
Vì tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày, do đó ta có phương trình:
$\frac{240}{x-10}-\frac{240}{x}=2\Leftrightarrow \frac{120}{x-10}-\frac{120}{x}=1$
$\Rightarrow 120x-120x+1200={{x}^{2}}-10x$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-10x-1200=0$… $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 40\\ x = - 30{\rm{ }}
\end{array} \right.$
Với x = 40 thỏa mãn đk, x = -30 loại vì không thỏa mãn đk
Vậy số sản phẩm tổ đã thực hiện trong mỗi ngày là 40 sản phẩm.
Bài 3:Lớp 9A và lớp 9B cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Hỏi nếu làm riêng, mỗi lớp cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành xong công việc ?
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian lớp 9A, 9B hoàn thành xong công việc là $x;y$ (giờ) (ĐK : $x>5;y>0$)
1 giờ, lớp 9A làm được : $\frac{1}{x}$( công việc )
1 giờ, lớp 9B làm được : $\frac{1}{y}$( công việc )
1 giờ, cả 2 lớp làm được : $\frac{1}{6}$( công việc ).Ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\,\,\,\,(1)$
Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Ta có phương trình: $x-y=5\,\,\,\,\,(2)$
Từ (1), (2) , ta có hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\,\,\,\,}\\ {x - y = 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\,\,\,\,}\\ {x = y + 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{y + 5}} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\,\,\,\,}\\ {x = y + 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{6y}}{{6y(y + 5)}} + \frac{{6(y + 5)}}{{6y(y + 5)}} = \frac{{y(y + 5)}}{{6y(y + 5)}}\,\,\,\,}\\ {{\rm{ }}x = y + 5}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6y + 6y + 30 = {y^2} + 5y}\\ {{\rm{ }}x = y + 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} - 7y - 30 = 0}\\ {x = y + 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 10{\rm{ }}(tm)}\\ {y = - 3{\rm{ }}(l)} \end{array}} \right.}\\ {x = y + 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 10{\rm{ }}(tm)}\\ {x = 15{\rm{ }}(tm)}
\end{array}} \right.$
Vậy, thời gian để lớp 9A hoàn thành 1 mình xong công việc là 15 giờ, lớp 9B hoàn thành 1 mình xong công việc là 10 giờ.
Bài 4: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau)
Hướng dẫn giải
Gọi số xe thực tế chở hàng là x xe ( ĐK: x
Thì số xe dự định chở hàng là $x\text{ }+1$ ( xe ).
Theo dự định mỗi xe phải chở số tấn là: $\frac{15}{x+1}$ ( tấn )
Nhưng thực tế mỗi xe phải chở số tấn là : $\frac{15}{x}$( tấn )
Theo bài ra ta có PT : $\frac{15}{x}-\frac{15}{x+1}=0,5$
Giải phương trình ta được : ${{x}_{1}}=-6~~$ ( loại ) ; ${{x}_{2}}=~5~$( t/m)
Vậy thực tế có 5 xe tham gia vận chuyển hàng .
Bài 5: Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa dẫ tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mối tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau?
Hướng dẫn giải
Gọi x (chiếc) số tàu dự định của đội( $x\in N*,\text{ }x<140$)
Số tàu tham gia vận chuyển là $x+1$ (chiếc)
Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định: $\frac{280}{x}$ (tấn)
Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế: $\frac{286}{x+1}$ (tấn)
Theo đề bài ta có pt: $\frac{280}{x}-\frac{286}{x+1}=2$$\Rightarrow $$280\left( x+1 \right)-286x=2x\left( x+1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\text{ }4x140=\text{ }0$
$\left[ \begin{array}{l} x = 10{\rm{ (t/m)}}\\ x = - 14{\rm{ }}(l)
\end{array} \right.$
Vậy đội tàu lúc đầu là 10 chiếc.
Bài tập tự luyện:
Bài C.01: Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian dự định. Sau khi làm được 2 giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác hợp lý hơn nên đã tang năng suất được thêm 3 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1 giờ 36 phút. Hãy tính năng suất dự kiến.
Bài C.02: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất $1200$ sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ đã làm theo đúng kế hoạch đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Bài C.03: Một tổ sản xuất dự định sản xuất $360$ máy nông nghiệp. Khi làm do tổ chức quản lí tốt nên mỗi ngày họ đã làm được nhiều hơn dự định 1 máy, vì thế tổ đã hoàn thành trước thời hạn 4 ngày. Hỏi số máy dự định sản xuất trong mỗi ngày là bao nhiêu?
Bài C.04: Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ đã may được mỗi ngày 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn may thêm được 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.
Bài C.05: Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt $3000$ tấm thảm. Trong 8 ngày đầu họ đã thực hiện theo đúng kế hoạch, những ngày còn lại họ đã dệt vượt mức mỗi ngày 10 tấm nên đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt bao nhiêu tấm.
Bài C.06: Tháng đầu hai tổ sản xuất làm được 720 dụng cụ. Sang tháng 2 tổ 1 làm vượt mức $12%$, tổ 2 vượt mức $15%$ nên cả hai tổ đã làm được $819$ dụng cụ. Hỏi mỗi tháng mỗi tổ làm được bao nhiêu dụng cụ?
Toán về công việc làm chung, làm riêng.
Bài C.07: Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi tổ phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết rằng khi làm riêng tổ 1 hoàn thành sớm hơn tổ 2 là 3 giờ.
Bài C.08: Hai công nhân nếu làm chung thì trong $12$ giờ sẽ hoàn thành công việc. Họ làm chung trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt công việc trong $10$ giờ. Hỏi người thứ hai làm một mình thì bao lâu hoàn thành công việc.
Bài C.09: Hai người cùng làm chung một công việc thì $15$ giờ sẽ xong. Hai người làm được 8 giờ thì người thứ hất được điều đi làm công việc khác, người thứ hai tiếp tục làm việc trong $21$ giờ nữa thì xong công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc.
Bài C.10 Hai người cùng làm chung một công việc trong $24$ giờ thì xong. Năng suất người thứ nhất bằng $\frac{3}{2}$ năng suất người thứ hai. Hỏi nếu mỗi người làm cả công việc thì hoàn thành sau bao lâu?