Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng

Bài viết sẽ chia sẻ với các bạn các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, cách viết phương trình đường thẳng và các dạng bài tập phương trình đường thẳng lớp 10 đầy đủ, chi tiết, dễ hiểu nhất.

Các vectơ của đường thẳng

Vectơ chỉ phương

Vectơ pháp tuyến

Các phương trình đường thẳng

Phương trình tổng quát

Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng

• ∆∶ ax + c = 0 (a≠0) khi ∆ song song hoặc trùng với Oy
• ∆∶ by + c = 0 (b≠0) khi ∆ song song hoặc trùng với Ox
• ∆∶ ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0) khi ∆ đi qua gốc tọa độ.

Phương trình đoạn chắn

Đường thẳng  cắt Ox và Oy lần lượt tại 2 điểm A(a; 0) và B(0; b) có phương trình đoạn theo chắn là

Phương trình tham số

Phương trình chính tắc

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Xét 2 điểm A(xA; yA), B(xB; yB) với xA ≠ xB , yA ≠ yB. Phương trình đường thẳng AB là:

xA = xB  , phương trình đường thẳng AB: x = xA

yA= yB , phương trình đường thẳng AB: y = yB

Hệ số góc

Phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm Mo(xo; yo) và có hệ số góc k thỏa mãn:

y – yo = k (x – xo)

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét 2 đường thẳng D1 : a1x + b1y + c1 = 0 ; D2 : a2x + b2y + c2 = 0. Tọa độ giao điểm D1, D2 là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có các trường hợp sau:

1. Hệ (I) có một nghiệm (xo; yo), khi D1 cắt D2 tại Mo(xo; yo)
2. Hệ (I) có vô số nghiệm khi D1 trùng D2
3. Hệ (I) vô nghiệm khi D1 // D2

Lưu ý: Nếu a2, b2, c2 ≠ 0 thì

Góc giữa hai đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 và điểm Mo(xo; yo). Khoảng cách từ điểm M­o đến đường thẳng ∆, ký hiệu là d(Mo,∆) được tính bằng công thức:

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: viết phương trình tham số của đường thẳng

Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:

Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:

Lưu ý:

• Nếu đường thẳng ∆1 cùng phương với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: ax + by + c’ = 0
• Nếu đường thẳng ∆1 vuông góc có với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: –bx + ay + c’ = 0

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 : a2x + b2y + c2 = 0, ta xét các trường hợp sau:

Tọa độ giao điểm ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình

Góc giữa 2 đường thẳng ∆1 và ∆2 được tính bởi công thức:

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Để tính khoảng cách từ điểm Mo(xo; yo) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0, ta dùng công thức:

Trên đây là những kiến thức về phương trình đường thẳng lớp 10. Nếu có bất kỳ thắc mắc gì về phần kiến thức này, hãy comment bên dưới bài viết nhé!

Xem thêm: 200+ Bài tập trắc nghiệm Phương trình đường thẳng có lời giải

10:11:2527/02/2019

Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và giải các bài tập minh hoạ cho từng dạng toán để các em dễ dàng nắm bắt kiến thức tổng quát của đường thẳng.

» Đừng bỏ lỡ: Tổng hợp các dạng toán phương trình đường tròn cực hay

I. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

- Cho đường thẳng (d), vectơ 

* Nhận xét: Nếu 

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

* Định nghĩa

- Phương trình (d): ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là (a2 + b2 ≠ 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng (d) nhận

* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.

- (d): ax + c = 0 (a ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Oy

- (d): by + c = 0 (b ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Ox

- (d): ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0): (d) đi qua gốc toạ độ.

- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên (d) đi qua A (a;0) B(0;b) (a,b ≠ 0)

- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m (k được gọi là hệ số góc của đường thẳng).

2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Cho đường thẳng (d), vectơ

* Nhận xét: Nếu 

b) Phương trình tham số của đường thẳng: 

* có dạng: 

* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M(x;y) ∈ (d).

 - Nếu điểm M(x;y) ∈ (d) thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.

 - 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số (vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số).

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

* có dạng:  

d) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) có dạng:

 + Nếu: 

 + Nếu: xA = xB: ⇒ AB: x = xA

 + Nếu: yA = yB: ⇒ AB: y = yA

e) Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

- Cho điểm M(x0;y0) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được tính theo công thức sau:

3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

- Cho 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; và (d2): a2x + b2y + c =0;

 + d1 cắt d2 ⇔ 

 + d1 // d2 ⇔

 + d1 ⊥ d2 ⇔

* Lưu ý: nếu a2.b2.c2 ≠ 0 thì:

 - Hai đường thẳng cắt nhau nếu: 

 - Hai đường thẳng // nhau nếu: 

 - Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu: 

II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng

 Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng (d) biết (d): đi qua điểm M(1;2) và có VTPT 

* Lời giải: Vì (d) đi qua điểm M(1;2) và có VTPT 

⇒ PT tổng quát của đường thẳng (d) là: 2(x-1) - 3(y-2) = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ pháp tuyến n

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) đi qua điểm M(-1;2) và có VTCP 

* Lời giải: Vì đường thẳng  đi qua M (1 ;-2) và có vtcp là 

 ⇒ phương trình tham số của đường thẳng là : 

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ chỉ phương u

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng:

 a) đi qua M(3;2) và //Δ: 

 b) đi qua M(3;2) và //Δ: 2x - y - 1 = 0

* Lời giải:

a) Đường thẳng Δ có VTCP 

⇒ PT đường thẳng (d) là: 

b) đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là

⇒ PT (d) đi qua điểm M(3;2) và có VTPT 

 2(x-3) - (y-2) = 0 ⇔ 2x - y -4 = 0

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d):

a) đi qua M(-2;3) và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0

b) đi qua M(4;-3) và ⊥ Δ:

* Lời giải:

a) Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là 

vì (d) vuông góc với Δ nên (d) nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒

⇒ PT (d) đi qua M(-2;3) có VTCP 

b) Đường thẳng Δ có VTCP

⇒ Vậy (d) đi qua M(4;-3) có VTPT 

 2(x-4) - (y+3) = 0 ⇔ 2x - y - 11 = 0.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận vectơ

 Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).

* Lời giải:

- Vì (d) đi qua 2 điểm A, B nên (d) có VTCP là: 

⇒ Phương trình tham số của (d) là: 

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước

- (d) có dạng: y = k(x-x0) + y0

 Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3;

* Lời giải: 

- PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k(x-x0) + y0

⇒ Vậy PTĐT (d) là: y = 3(x+1) + 2 ⇔ y = 3x + 5.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k

Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng

- Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận vectơ 

 Ví dụ: Viết PTĐT (d) vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết: A(3;-1) và B(5;3)

* Lời giải:

- (d) vuông góc với AB nên nhận 

- (d) đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ:

 xi = (xA+xB)/2 = (3+5)/2 = 4;

 yi = (yA+yB)/2 = (-1+3)/2 = 1;

⇒ toạ độ của I(4;1)

⇒ (d) đi qua I(4;1) có VTPT (2;4) có PTTQ là:

 2(x-4) + 4(y-1) = 0 

⇔ 2x + 4y -12 = 0

⇔ x + 2y - 6 = 0.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước

- (d) đi qua M(x0;y0) và tạo với Ox 1 góc ∝ (00 < ∝ < 900) có dạng: y = k(x-x0) + y0 (với k = ±tan∝

 Ví dụ: Viết PTĐT (d) biết (d) đi qua M(-1;2) và tạo với chiều dương trục Ox 1 góc bằng 450.

* Lời giải: 

- Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, như vây k được cho bở công thức:

k = tan∝ = tan(450) = 1.

⇒ PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 1 là:

 y = 1.(x+1) + 2 ⇔ y = x + 3

Dạng 9: Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên 1 đường thẳng

* Giải sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng (d), ta làm như sau:

- Lập phương trình đường thẳng (d') qua M vuông góc với (d). (theo dạng toán 4).

- H là hình chiếu vuông góc của M lên (d) ⇒ H là giao của (d) và (d').

Ví dụ:  Tìm hình chiếu của điểm M(3;-1) lên đường thẳng (d) có PT: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

- Gọi (d') là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d)

- (d) có PT: x + 2y - 6 = 0 nên VTPT của (d) là: 

- (d') ⊥ (d) nên nhận VTPT của (d) là VTCP ⇒ 

- PTĐT (d') qua M(3;-1) có VTCP (1;2) là: 

- H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của (d) và (d') nên có:

 Thay x,y từ (d') và PT (d): (3+t) + 2(-1+2t) - 6 = 0 ⇔ 5t - 5 = 0 ⇔ t =1

⇒ x = 4, y = 1 là toạ độ điểm H.

» xem thêm ví dụ: Cách tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên đường thẳng trong Oxy

Dạng 10: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua một đường thẳng

 * Giải sử cần tìm điểm M' đối xứng với M qua (d), ta làm như sau:

- Tìm hình chiếu H của M lên (d). (theo dạng toán 9).

- M' đối xứng với M qua (d) nên M' đối xứng với M qua H (khi đó H là trung điểm của M và M').

Ví dụ: Tìm điểm M' đối xứng với M(3;-1) qua (d) có PT: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

- Đầu tiên ta tìm hình chiếu H của M(3;-1) lên (d). Theo ví dụ ở dạng 9 ta có H(4;1)

- Khi đó H là trung điểm của M(3;-1) và M'(xM';yM'), ta có:

⇒ xM' = 2xH - xM = 2.4 - 3 = 5

⇒ yM' = 2yH - yM = 2.1 - (-1) = 3

⇒ Điểm đối xứng của M(3;-1) lên (d): x + 2y - 6 = 0 là M'(5;3)

» xem thêm ví dụ: Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng

Dạng 11: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng

- Để xét vị trí của 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; và (d2): a2x + b2y + c =0; ta giải hệ phương trình:

_ Hệ (*) vô nghiệm ⇒ d1 // d2

_ Hệ (*) vô số nghiệm ⇒ d1 ≡ d2

_ Hệ (*) có nghiệm duy nhất ⇒ d1 cắt d2 và nghiệm là toạ độ giao điểm.

 Ví dụ: Xét vị trí tương đối của 2 đường thằng

a) d1: x + y - 2 = 0; d2: 2x + y - 3 = 0

b) d1: x + 2y - 5 = 0; d2: 

* Lời giải:

a) Số giao điểm của d1 và d2 là số nghiệm của hệ phương trình

- Giải hệ PT trên ta được nghiệm x = 1; y =1.

b) Từ PTĐT d2 ta có x = 1-4t và y = 2+2t thay vào PTĐT d1 ta được:

 (1-4t) + 2(2+2t) - 5 = 0 ⇔ 0 = 0 ⇒ 2 đường thẳng trùng nhau (có vô số nghiệm).

Hy vọng với bài viết tổng hợp một số dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ. Chúc các em học tập tốt!