Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=f\left( x \right)$, $p$ và $q$ là hai số dương tùy ý. Khi đó: – Tịnh tiến $\left( C \right)$ lên trên $q$ đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)+q$. – Tịnh tiến $\left( C \right)$ xuống dưới $q$ đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)-q$. – Tịnh tiến $\left( C \right)$ sang trái $p$ đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số $y=f\left( x+p \right)$. – Tịnh tiến $\left( C \right)$ sang phải $p$ đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số $y=f\left( x-p \right)$. 2. Một số phép suy đồ thịþ Mẫu 1: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$$\left( C \right)$ thì đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ gồm 2 phần. – Phần 1: Là phần đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nằm phía trên trục hoành. – Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua $Ox$. þ Mẫu 2: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$$\left( C \right)$ suy ra đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ gồm hai phần – Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ nằm bên phải trục tung. – Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua trục tung (vì hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là hàm chẵn nên nhận trục tung là trục đối xứng). þ Mẫu 3: Cho đồ thị hàm số $y=u\left( x \right).v\left( x \right)\left( C \right)$ thì đồ thị hàm số $y=\left| u\left( x \right) \right|.v\left( x \right)$ gồm hai phần. – Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ ứng với miền $u\left( x \right)\ge 0$. – Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ ứng với miền $u\left( x \right)<0$ qua trục $Ox$. Bài tập trắc nghiệm biện luận số nghiệm của phương trình có đáp án
Lời giải chi tiết  Gọi $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\left( C \right)$. Đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right|$ gồm 2 phần: Phần 1: Là phần đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nằm phía bên trục hoành. Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua $Ox$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right|$ (hình vẽ) và đường thẳng $y=m$. Suy ra phương trình $\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right|=m$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị có 4 giao điểm. Khi đó $m=1$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2\left( C \right)$. Khi đó đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2 \right|$ gồm 2 phần: Phần 1: Là phần đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nằm phía bên trên trục hoành. Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua $Ox$. Dựa vào đồ thị hàm số (hình vẽ bên) để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi $2<m<3$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: PT $\Leftrightarrow \left| -{{x}^{3}}+3x+1 \right|=2-m\left( * \right)\Rightarrow $ Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số $y=\left| 3x-{{x}^{3}}+1 \right|$ và đường thẳng $y=2-m$ vuông góc với trục tung. Phương trình đã cho có sáu nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị cắt nhau tại 6 điểm phân biệt. Ta có đồ thị hai hàm số như hình bên. Để hai đồ thị cắt nhau tại 6 điểm thì $0<2-m<1\Leftrightarrow 1<m<2$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: $\left| 2f\left( x \right)+1 \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 2f\left( x \right)+1=5 \\ {} 2f\left( x \right)+1=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} f\left( x \right)=2 \\ {} f\left( x \right)=-3 \\ \end{array} \right.$ Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, phương trình $f\left( x \right)=2$ có 2 nghiệm và phương trình $f\left( x \right)=-3$ có một nghiệm nên phương trình đã cho có 3 nghiệm. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: $\left| 2f\left( x \right)+3 \right|=8\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 2f\left( x \right)+3=8 \\ {} 2f\left( x \right)+3=-8 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} f\left( x \right)=\frac{5}{2} \\ {} f\left( x \right)=\frac{-11}{2} \\ \end{array} \right.$ Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, phương trình có 4 nghiệm và phương trình $f\left( x \right)=\frac{-11}{2}$ có 2 nghiệm nên phương trình đã cho có 6 nghiệm. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: PT $\Leftrightarrow \left| 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1 \right|=4m$ Gọi $y=2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1\left( C \right)$ Đồ thị hàm số $y=\left| 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1 \right|$ gồm 2 phần: Phần 1: Là phần đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nằm phía bên trên trục hoành. Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua $Ox$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=\left| 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1 \right|$ và đường thẳng $y=4m$ suy ra phương trình đã cho có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị có 8 giao điểm. Hai đồ thị có 8 giao điểm $\Leftrightarrow 0<4m<1\Leftrightarrow 0<m<\frac{1}{4}$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Vẽ đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3 \right|\left( {{C}’} \right)$ Ký hiệu $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3\left( C \right)$ khi đó $\left( {{C}’} \right)$ gồm 2 phần: Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ nằm trên trục $Ox$. Phần 2: Lấy đối xứng phần của $\left( C \right)$ nằm dưới $Ox$ qua trục $Ox$ Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y=m$ cắt $\left( C \right)$ tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0 \\ {} 1<m<3 \\ \end{array} \right.$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Phương trình $\left| f\left( x \right) \right|=m$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ và đường thẳng $y=m$ song song trục hoành có đồ thị ở hình bên. Hai đồ thị có bao nhiêu giao điểm thì PT $\left| f\left( x \right) \right|=m$ có bấy nhiêu nghiệm. $m\in \left( 1;3 \right)$ thì hai đồ thị có 4 giao điểm, suy ra PT $\left| f\left( x \right) \right|=m$ có 4 nghiệm. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: ${{x}^{2}}+x-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x\ge 1 \\ {} x\le -2 \\ \end{array} \right.$ Gọi $y=f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+x-2 \right).g\left( x \right)\left( C \right)$ thì đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|.g\left( x \right)$ gồm 2 phần. Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ ứng với miền $\left[ \begin{array} {} x\ge 1 \\ {} x\le -2 \\ \end{array} \right.$ Phần 2: Lấy đối xứng phần $\left( C \right)$ ứng với miền $-2<x<1$ qua trục hoành. Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình $\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|.g\left( x \right)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-4<m<0$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m=\left\{ -3;-2;-1 \right\}\Rightarrow $ tổng các phần tử của $S$ là $-6$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có dạng như hình sau: Đồ thị hàm số $y=f\left( x-1 \right)\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ khi dịch sang phải 1 đơn vị (xem hình 1). Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$ là gồm 2 phần (xem hình 2) Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ nằm trên trục hoành Phần 2: Lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành của $\left( C \right)$ qua $Ox$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$ suy ra phương trình $\left| f\left( x-1 \right) \right|=2$ có 5 nghiệm. Chọn B.
Lời giải chi tiết Đồ thị hàm số $y=f\left( x+1 \right)\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ khi dịch sang trái 1 đơn vị (xem hình 1)
Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x+1 \right) \right|$ gồm 2 phần (xem hình 2) Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ nằm trên trục hoành Phần 2: Lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành của $\left( C \right)$ qua $Ox$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x+1 \right) \right|$ suy ra phương trình $\left| f\left( x+1 \right) \right|=m$ có nhiều nghiệm nhất là 6 nghiệm khi $0<m<1$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Đồ thị hàm số $y=f\left( x-1 \right)\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ khi dịch sang phải 1 đơn vị (hình 1) Đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right|-1 \right)$ gồm 2 phần: Phần 1: Là phần của $\left( C \right)$ nằm bên phải trục tung. Phần 2: Hàm số $y=f\left( \left| x \right|-1 \right)$ là hàm chẵn, ta lấy đối xứng phần 1 qua trục tung (hình 2). Dựa vào hình 2 suy ra phương trình $f\left( \left| x \right|-1 \right)=m$ có 4 nghiệm phân biệt khi $-1<m<3$ Với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;1;2 \right\}$. Chọn A. |
