Các bài toán về dãy số lớp 6

Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại (zalo ): 0393.732.038

Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ)

Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm

Email: [email protected]

Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW

Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC

Website: http://tailieumontoan.com

Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)

Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.

Bài tập

Bài 1:

Tính:

1. A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)

2. \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)

3. \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)

4. \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)

5. \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)

6. \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)

Bài 2:

Tính các tổng sau:

1. \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)

2. \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)

Bài 3:

1. Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)

2. Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)

Hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1:

Tính:

1. A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)

2. b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)

3. \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)

4. \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)

5. \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)

6. \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)

Phương pháp

Nhận xét: Tử số bằng hiệu của các thừa số ở mẫu.

Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)

Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.

Lời giải

\(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\dfrac{{2017}}{{2018}}}\\{ = 2017.\dfrac{{2018}}{{2017}} = 2018.}\end{array}\)

Vậy \(x = \dfrac{{ - 2}}{3}\)

2. \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{5 - 2}}{{2.5}} + \dfrac{{8 - 5}}{{5.8}} + \dfrac{{11 - 8}}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019 - 2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{5}{{2.5}} - \dfrac{2}{{2.5}} + \dfrac{8}{{5.8}} - \dfrac{5}{{5.8}} + \dfrac{{11}}{{8.11}} - \dfrac{8}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2016.2019}} - \dfrac{{2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{11}} + \ldots + \dfrac{1}{{2016}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{{2019 - 2}}{{2.2019}}\\\, = \dfrac{{2017}}{{4038}}.\end{array}\)

3. \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)

Xét từng phân số ta thấy: Hiệu 2 thừa số ở mẫu bằng \(6\) \( \Rightarrow \) Nhân cả 2 vế của biểu thức với \(3\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)