\(\sqrt{\dfrac{289}{225}}=\dfrac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}}=\dfrac{\sqrt {17^2}}{\sqrt{15^2}}=\dfrac{17}{15}\).
\(\sqrt{2\dfrac{14}{25}}=\sqrt{\dfrac{2.25+14}{25}}=\sqrt{\dfrac{50+14}{25}}\) \(=\sqrt{\dfrac{64}{25}}=\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}}=\dfrac{8}{5}\).
\(\sqrt{\dfrac{0,25}{9}}=\dfrac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{0,5^2}}{\sqrt{3^2}}=\dfrac{0,5}{3}\) \(=0,5.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\).
\(\sqrt{\dfrac{8,1}{1,6}}=\sqrt{\dfrac{81.0,1}{16.0,1}}=\sqrt{\dfrac{81}{16}}=\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\dfrac{\sqrt{9^2}}{\sqrt{4^2}}=\dfrac{9}{4}\). Bài 29 trang 19 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi: Tính:
Phương pháp: Sử dụng các công thức sau: \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\), với \( a \ge 0 ,\ b >0\). \((a.b)^m=a^m.b^m\), với \(m \in \mathbb{N}\). Lời giải:
\(\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\dfrac{15}{735}}=\sqrt{\dfrac{15.1}{15.49}}\)\(=\sqrt{\dfrac{1}{49}}=\sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{7}} \right)}^2}}\) \(=\dfrac{1}{7}\). \(\dfrac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\dfrac{12500}{500}}=\sqrt{\dfrac{500.25}{500}}\) \(=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5\). \(\dfrac{\sqrt{6^{5}}}{\sqrt{2^{3}.3^{5}}}=\sqrt{\dfrac{6^5}{2^3.3^5}}\)\(=\sqrt{\dfrac{(2.3)^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{\dfrac{2^5.3^5}{2^3.3^5}}\) \(=\sqrt{\dfrac{2^5}{2^3}}\)\(=\sqrt{\dfrac{2^3.2^2}{2^3}}=\sqrt{2^2}=2\) Bài 30 trang 19 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi:
Lời giải: Ta có: \(\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^{4}}}\) \(=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{(y^2)^2}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|}\) Vì \(x> 0\) nên \(|x|=x\). Vì \(y \ne 0\) nên \(y^2 > 0 \Rightarrow |y^2|=y^2\). \(\Rightarrow \dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|} =\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y^2}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y.y}=\dfrac{1}{y}\). Vậy \(\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{1}{y}\). Ta có: \(2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{4y^2}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{(x^2)^2}}{\sqrt{2^2.y^2}}\) \(=2y^2.\dfrac{\sqrt{(x^2)^2}}{\sqrt{(2y)^2}}=2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}\) Vì \(x^2 \ge 0 \Rightarrow |x^2|=x^2\). Vì \(y<0\) nên \(2y < 0 \Rightarrow |2y|=-2y\) \(\Rightarrow 2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}=2y^2.\dfrac{x^2}{-2y}=\dfrac{2y^2.x^2}{-2y}\) \(=\dfrac{x^2.y.2y}{-2y}=-x^2y\). Vậy \(2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=-x^2y\). Ta có: \(5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=5xy.\dfrac{\sqrt{25x^2}}{\sqrt{y^6}}=5xy.\dfrac{\sqrt{5^2.x^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}\) \(=5xy.\dfrac{\sqrt{(5x)^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}=5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}\) Vì \(x<0\) nên \(|5x|=-5x\) Vì \(y>0 \Rightarrow y^3 >0 \Rightarrow |y^3|=y^3\). \( \Rightarrow 5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}=5xy.\dfrac{-5x}{y^3}=\dfrac{5xy.(-5x)}{y^3}\) \(=\dfrac{[5.(-5)].(x.x).y}{y^2.y}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\) Vậy \(5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\). Ta có: \(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^4y^8}}\) \(=0,2x^3y^3\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2)^2.(y^4)^2}}\) \(=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2)^2}.\sqrt{(y^4)^2}}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}\). Vì \(x \ne 0,\ y \ne 0\) nên \( x^2 > 0\) và \(y^4 > 0\) \(\Rightarrow |x^2| =x^2\) và \(|y^4|=y^4\). \( \Rightarrow 0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{x^2y^4}\) \(=\dfrac{0,2x^3y^3.4}{x^2y^4}\) \(=\dfrac{0,8x}{y}.\) Vậy \(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=\dfrac{0,8x}{y}\). Bài 31 trang 19 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi:
Phương pháp: +) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm: \( a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\). +) \( \sqrt{ a^2} = a\), với \( a \ge 0\). +) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương \(a,b\) ta có: \(\sqrt {a + b} < \sqrt a + \sqrt b \) Lời giải: Ta có: +) \( \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\) +) \( \sqrt {25} - \sqrt {16} \)\(= \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}\)\(=5 - 4 = 1 \). Vì \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16} \). Vậy \(\sqrt {25 - 16} > \sqrt {25} - \sqrt {16} \) Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương. Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương \(a-b\) và \(b,\) ta sẽ có: \(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt {a - b + b} \) Suy ra: \(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt a \Leftrightarrow \sqrt {a - b} > \sqrt a - \sqrt b \) Vậy \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\) Cách khác 1: Với \(a > b > 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a > \sqrt b \\a - b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - \sqrt b > 0\\\sqrt {a - b} > 0\end{array} \right.\) Xét \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) , bình phương hai vế ta được \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b} } \right)^2} \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2.\sqrt a .\sqrt b + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a - b\) \( \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b < a - b \)\(\Leftrightarrow 2b - 2\sqrt {ab} < 0\) \( \Leftrightarrow 2\sqrt b \left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) < 0\) luôn đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt b > 0\\\sqrt b - \sqrt a < 0\,\left( {do\,0 < b < a} \right)\end{array} \right.\) Vậy \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\) Cách khác 2: Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương. Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) Ta có \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) là số dương và \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} \)\(= a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} + b \)\(= a + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} \) Rõ ràng \(2\sqrt {b(a - b)} > 0\) nên \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > a\) (1) Ta có \(\sqrt a \) là số không âm và \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > {\left( {\sqrt a } \right)^2}\) (3) Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra \(\sqrt {{{\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)}^2}} > \sqrt {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}} \) |
