Page 2
Page 3
Bài 7 trang 69 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 7. Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là \({x^2} = ab\) ) như trong hai hình sau:  Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng. Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông. Hướng dẫn giải: Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên. Xét tam giác ABC ta có: \(OA = OB = OC = {{BC} \over 2}\left( { = R} \right)\) Suy ra ∆ABC vuông tại A. Áp dụng hệ thức \({h^2} = b'c' \Rightarrow {x^2} = ab\) Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới Xét tam giác ABC ta có: \(OA = OB = OC = {{BC} \over 2}\left( { = R} \right)\) Suy ra ∆ABC vuông tại A. Áp dụng hệ thức \(A{B^2} = BC.BH \Rightarrow {x^2} = ab\). Bài 8 trang 70 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 8. Tìm x và y trong mỗi hình sau: Hướng dẫn giải: a) Dùng hệ thức lượng bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền \(h^{2}=b'c'\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {x^2} = 4.9 = 36 \cr & \Rightarrow x = 6 \cr} \) b) Xét tam giác ABC có cạnh huyền là 2x, ta nhận thấy rằng, tam giác này là tam giác vuông cân. Mặc khác, đường cao của tam giác này có độ lớn bằng 2 nên: \(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2^2}\Rightarrow y=2\sqrt{2}\) Cạnh huyền của tam giác lớn có độ lớn là 2x, áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông lớn, ta có: \(2x=\sqrt{y^2+y^2}=\sqrt{8+8}=4\Rightarrow x=2\) c) Xét tam giác vuông lớn, ta có: \(12^2=16x\Rightarrow x=9\) Xét tam giác vuông có cạnh huyền là y, ta có: \(y^2=\sqrt{12^2+9^2}=15\) Bài 9 trang 70 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng a) Tam giác DIL là một tam giác cân; b) Tổng \(\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. Hướng dẫn giải:
a) \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có: \(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\) \(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông) \(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\) cùng phụ với \(\widehat{CDI}\) Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g) Suy ra \(DI=DL\). Vậy \(\Delta DIL\) cân b) Áp dụng hệ thức \(\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\) ta có \(\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DL^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) Do đó \(\frac{1}{DC^{2}}=\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) Do DC không đổi nên \(\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}\) là không đổi. Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\) Nếu đề bài không cho vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải vẽ đường phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên. Giaibaitap.me Page 4
Bài 10 trang 76 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 10. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn \(34^{\circ}\) rồi viết các tỉ số lượng giác của góc \(34^{\circ}\). Hướng dẫn giải: Vẽ tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{C}=34^{\circ}\) Để vẽ được tam giác đề yêu cầu, chúng ta thực hiện các bước như sau: B1. Vẽ đoạn thẳng AB với độ dài bất kì. B2. Từ A dựng tia Ax vuông góc với đoạn thẳng AB B3. Từ B dùng thước đo góc vẽ tia By sao cho góc ABy bằng 34 độ. B4. Ax và By cắt nhau tại C. B5. Vẽ tam giác ABC Tỉ số lượng giác của góc 34 độ là: \(sin34^o=\frac{AC}{BC}\) \(cos34^o=\frac{AB}{BC}\) \(tg34^o=\frac{AC}{AB}\) \(cot34^o=\frac{AB}{AC}\) Bài 11 trang 76 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó \(AC=0,9m\), \(BC=1,2m\). Tính các tỷ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc A. Hướng dẫn giải: Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại C, ta có: \(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{0,9^2+1,2^2}=1,5\) Từ đó, ta có: \(sinA=cosB=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}\) \(sinB=cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}\) \(tgA=cotB=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}\) \(tgB=cotA=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}\) Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotan góc kia! Bài 12 trang 76 sgk Toán 9 - tập 1 Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn \(45^{\circ}\): \(sin 60^{\circ},\,\,\,cos75^{\circ}, \,\,\,sin52^{\circ}30', \,\,\,cotg82^{\circ},\,\,\, tg80^{\circ}.\) Giải: Vận dụng định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta có: \(sin60^o=cos(90^o-60^o)=cos30^o\) \(cos75^o=sin(90^o-75^o)=sin15^o\) \(sin52^o30'=sin52,5^o=cos(90^o-52,5^o)=cos37,5^o\) \(cot82^o=tan(90^o-82^o)=tan8^o\) \(tan80^o=cot(90^o-80^o)=cot10^o\) Bài 13 trang 77 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 13. Dựng góc nhọn \(\alpha\) , biết: a) \(sin\alpha =\frac{2}{3}\) b) \(cos\alpha =0,6\) c) \(tg\alpha =\frac{3}{4}\) d) \(cotg\alpha =\frac{3}{2}\) Hướng dẫn giải:
a) (H.a) - Dựng góc vuông xOy. -Trên tia Ox đặt OA=2 - Dựng đường tròn (A;3) cắt tia Oy tại B Khi đó \(\widehat{OBA}=\alpha\) Thật vậy \(sin\alpha =\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}\). b) (H.b) Tương tự câu a, ta sẽ tính độ lớn cạnh góc vuông còn lại bằng Pytago: \(=\sqrt{5^2-3^2}=4\) Vậy ta sẽ vẽ một góc vuông, và vẽ hai độ lớn là \(3\) và \(4\) Hình trên cho ta thấy: \(cos\alpha =cosABC=\frac{3}{5}\) c) Vẽ tam giác vuông có hai cạnh có độ lớn là \(3\) và \(4\) Hình trên cho ta thấy: \(tg\alpha =tgACB=\frac{3}{4}\) d) Vẽ tam giác vuông có hai cạnh có độ lớn là \(3\) và \(2\) Hình trên cho ta thấy: \(cot\alpha =cotABC=\frac{3}{2}\) Giaibaitap.me Page 5
Bài 14 trang 77 sgk Toán 9 - tập 1 Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn \(\alpha\) tùy ý, ta có: a)\(tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha};\) \(cotg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha };tg\alpha\cdot cotg\alpha =1\). b) \(sin\alpha ^{2}+cos\alpha ^{2}=1\) Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go. Hướng dẫn giải: a) \(tg\alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{AB\cdot BC}{AC\cdot BC}\) \(\Rightarrow tg\alpha =\frac{AB}{BC}\div \frac{AC}{BC}=\frac{sin\alpha }{cos\alpha }\) \(tg\alpha \cdot cotg\alpha =\frac{AB}{AC}\cdot \frac{AC}{AB}=1\) \(cotg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }=\frac{1}{\frac{sin\alpha }{cos\alpha }}=\frac{cos\alpha }{sin\alpha }\) b) \(sin ^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =\frac{AB^{2}}{BC^{2}}+\frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{BC^{2}}{BC^{2}}=1\) Nhận xét: Ba hệ thức: \(tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }\); \(cotg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha };\) \(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1\) là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác. Bài 15 trang 77 sgk Toán 9 - tập 1 Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cos B=0,8, hãy tính các tỷ số lượng giác của góc C. Gợi ý: Sử dụng bài tập 14. Hướng dẫn giải:
Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc C nhọn. Vì thế: \(sinC>0;\,\,\,cosC>0;\,\,\,tanC>0;\,\,\,cotC>0\) Vì hai góc B và C phụ nhau nên sinC = cosB = 0,8. Ta có: \(Sin^{2}C+cos^{2}C=1\) \(\Rightarrow cos^{2}C=1-sin^{2}C=1-(0,8)^{2}=0,36\) \(\Rightarrow cosC=0,6;\) \(tgC=\frac{sinC}{cosC}=\frac{0,8}{0,6}=\frac{4}{3};\) \(cotgC=\frac{cosC}{sinC}=\frac{0,6}{0,8}=\frac{3}{4}\) Nhận xét: Nếu biết \(sin\alpha\) (hay \(cos\alpha\)) thì ta có thể tính được ba tỷ số lượng giác còn lại. Bài 16 trang 77 sgk Toán 9 - tập 1 Bai 16: Cho tam giác vuông có một góc bằng \(60^{\circ}\) và cạnh huyền có độ dài bằng 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện góc \(60^{\circ}\). Hướng dẫn giải: Xem hình dưới: Bài toán yêu cầu tính cạnh AC Nhìn vào hình vẽ, ta thấy hệ thức liên quan đến cạnh AC cần tìm, cạnh huyền BC cho trước, và góc ABC bằng 60 độ cho trước, ta có: \(sinB=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC\cdot sinB=8\cdot sin60^{\circ}=4\sqrt{3}\). Bài 17 trang 77 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 17: Tìm giá trị của x trong hình 23: Giải: Vẽ lại hình và đặt tên các góc như hình sau: Vậy độ dài AC chính là x cần tìm. Xét tam giác BHA vuông tại H có: \(\left\{\begin{matrix} \widehat{ABC}=45^o\\ BH\perp HA \end{matrix}\right.\) Vậy tam giác ABH vuông cân tại H. \(\Rightarrow BH=AH=20\) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác AHC vuông tại H ta có: \(AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{20^2+21^2}=29\) Vậy \(x=29\) Giaibaitap.me Page 6
Bài 18 trang 83 sgk Toán 9 - tập 1 Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm các tỉ số lượng giác sau (làm tròn tới chữ số thập phân thứ tư) : a) \(sin40^{\circ}12'\); b) \(cos52^{\circ}54'\); c) \(tg63^{\circ}36'\); d) \(cotg25^{\circ}18'\). Hướng dẫn giải: a) \(a) sin40^{\circ}12'\approx 0,6455\); b) \(cos52^{\circ}54'\approx 0,6032\); c) \(tg63^{\circ}36'\approx 2,0145\); d) \(cotg25^{\circ}18'\approx 2,1155\). Nhận xét: Vì trong máy tính không có phím cotg nên để tìm \(cotg 25^{\circ}18'\) ta phải tìm \(tg25^{\circ}18'\) rồi lấy nghịch đảo của kết quả bằng cách nhấn vào phím \({x^{ - 1}}\). Bài 19 trang 84 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 19: Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng: a) \(sinx=0,2368\); b) \(cosx=0,6224\); c) \(tgx=2,154\); d) \(cotgx=3,251\). Hướng dẫn giải: a) \(x\approx 13^{\circ}42'\); b) \(x\approx 51^{\circ}31'\); c) \(x\approx 65^{\circ}6'\); d) \(x\approx 17^{\circ}6'\). Loigiahay.com Bài 20 trang 84 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 20: Dùng bảng lượng giác (có sử dụng phần hiệu chỉnh) hoặc máy tính bỏ túi, hãy tìm các tỉ số lượng giác sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) : a) \(sin 70^{\circ}13'\); b) \(cos25^{\circ}32'\); c) \(tg43^{\circ}10'\); d) \(cotg32^{\circ}15'\). Hướng dẫn giải: a) \(sin 70^{\circ}13'\) \(\approx 0,9410\); b) \(cos25^{\circ}32'\) \(\approx 0,9023\); c) \(tg43^{\circ}10'\) \(\approx 0,9380\); d) \(cotg32^{\circ}15'\) \(\approx 1,5849\). Bài 21 trang 84 sgk Toán 9 - tập 1 Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm góc nhọn x (làm tròn kết quả đến độ), biết rằng: a) \(sinx=0,3495;\) b) \(cosx=0,5427\); c) \(tgx=1,5142\); d) \(cotgx=3,163\). Hướng dẫn giải: a) \(sinx=0,3495\Rightarrow x\approx 20^{\circ}\); b) \(cosx=0,5427\Rightarrow x\approx 57^{\circ}\); c) \(tgx=1,5142\Rightarrow x\approx 57^{\circ}\); d) \(cotgx=3,163\Rightarrow x\approx 18^{\circ}\). Giaibaitap.me Page 7
Bài 22 trang 84 sgk Toán 9 - tập 1 So sánh: a) \(sin 20^{\circ}\) và \(sin70^{\circ}\) b) \(cos25^{\circ}\) và \(cos63^{\circ}15'\) c) \(tg73^{\circ}20'\) và \(tg45^{\circ}\) d) \(cotg2^{\circ}\) và \(cotg37^{\circ}40'\) Hướng dẫn giải: a) Vì \(20^{\circ}< 70^{\circ}\) nên \(sin20^{\circ}< sin70^{\circ}\). b) Vì \(25^{\circ}< 63^{\circ}\) nên \(cos25^{\circ}> cos63^{\circ}15'\) c) Vì \(73^{\circ}20'> 45^{\circ}\) nên \(tg73^{\circ}20'> tg15^{\circ}\) d) Vì \(2^{\circ}< 37^{\circ}40'\) nên \(cotg2^{\circ}> cotg37^{\circ}40'\) Cảnh báo: Từ \(25^{\circ}< 63^{\circ}15'\) suy ra \(cos25^{\circ}< cos63^{\circ}15'\) là sai vì khi góc \(\alpha\) tăng từ \(0^{\circ}\) đến \(90^{\circ}\) thì \(cos\alpha\) giảm. Bài 23 trang 84 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 23: Tính: a) \(\frac{sin25^{\circ}}{cos65^{\circ}}\) b) \(tg 58^{\circ}-cotg32^{\circ}\) Hướng dẫn giải: a) \(\frac{sin25^{\circ}}{cos65^{\circ}}=\frac{sin25^{\circ}}{sin25^{\circ}}=1\) b) \(tg 58^{\circ}-cotg32^{\circ}=tg 58^{\circ}-tg58^{\circ}=0\) Nhận xét: Cách giải như trên là dựa vào định lý: nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia. Bài 24 trang 84 sgk Toán 9 - tập 1 Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần : a) \(sin 78^{\circ}, cos14^{\circ}, sin47^{\circ},cos87^{\circ}\); b) \(tg 73^{\circ}, cotg25^{\circ}, tg 62^{\circ}, cotg38^{\circ}\). Hướng dẫn giải: a) \(cos14^{\circ}=sin76^{\circ}; cos87^{\circ}=sin3^{\circ}.\). Vì \(sin3^{\circ}< sin 47^{\circ}< sin76^{\circ}< sin 78^{\circ}\) nên \(cos 78^{\circ}< cos76^{\circ}< cos 47^{\circ}< cos3^{\circ}\). b) \(cotg25^{\circ}=tg 65^{\circ}; cotg38^{\circ}=tg 52^{\circ}\). Vì \(tg 52^{\circ}< tg62^{\circ}< tg65^{\circ}< tg73^{\circ}\); nên \(cotg38^{\circ}< tg62^{\circ}< cotg25^{\circ}< tg73^{\circ}\). Nhận xét: Để so sánh các tỉ số lượng giác sin và côsin của các góc, ta đưa về so sánh cùng một loại tỉ số lượng giác (ví dụ cùng là sin của các góc). Tương tự như vậy, để so sánh các tỉ số lượng giác tang và côtang của các góc, ta đưa về so sánh cùng một loại tỉ số lượng giác (ví dụ cùng là tang của các góc). Bài 25 trang 84 sgk Toán 9 - tập 1 So sánh: a) tg250 và sin250 b)cotg320 và cos320; c) tg450 và cos450; d) cotg600 và sin300. Hướng dẫn giải: Dùng tính chất \(sin\alpha < tg\alpha\) và \(cos\alpha < cotg\alpha\). a) \(tg25^{\circ}> sin25^{\circ}\); b) \(cotg32^{\circ}> cos32^{\circ}\); c) \(tg45^{\circ}> sin45^{\circ}=cos45^{\circ}\); d) \(cotg60^{\circ}> cos60^{\circ}=sin30^{\circ}\). Giaibaitap.me Page 8
Bài 26 trang 88 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 26. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xáp xỉ bằng \(34^{\circ}\) và bóng của một tháp trên mặt đất dài 86m (H.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét). Hướng dẫn giải: Chiều cao của tháp là: \(86\cdot tg34^{\circ}\approx 58 \left ( m \right )\). Bài 27 trang 88 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 27. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng: a) \(b=10cm; \widehat{C}=30^{\circ}\) b) \(c=10cm; \widehat{C}=45^{\circ}\) c) \(a=20cm; \widehat{B}=35^{\circ}\) d) \(c=21cm; b=18cm\) Hướng dẫn giải: a) (H.a) \(\widehat{B}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.\) \(AB=AC\cdot tgC=10\cdot tg30^{\circ}\approx 5,774 (cm)\) \(BC=\frac{AC}{cosC}=\frac{10}{\cos30^{\circ}}\approx 11,547 (cm)\). b) (H.b) \(\widehat{B}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.\) \(\Rightarrow AC=AB=10 (cm);\) \(BC=\frac{AB}{sin C}=\frac{10}{\sin45^{\circ}}\approx 14,142 (cm)\) c) (H.c) \(\widehat{C}=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}.\) \(AB=BC\cdot cosB=20\cdot cos35^{\circ}\approx 16,383 (cm)\) \(AC= BC \cdot sinB=20\cdot sin35^{\circ}\approx 11,472 (cm)\). d) (H.d) \(tgB=\frac{AC}{AB}=\frac{18}{21}\approx 0,8571\) \(\Rightarrow \widehat{B}\approx 41^{\circ};\widehat{C }\approx 49^{\circ}.\) \(C=\frac{AC}{sinB}=\frac{18}{sin41^{\circ}}\approx 27,437 (cm)\) Nếu tính theo định lý Py-ta-go thì \(BC=\sqrt{21^{2}+18^{2}}\approx 27,659 (cm)\). Kết quả này chính xác hơn vì khi tính toán, ta dùng ngay các số liệu đã cho mà không dùng kết quả trung gian. Bài 28 trang 89 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 28. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc \(\alpha\) trong hình 31). Hướng dẫn giải: Góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất là: \(tg\alpha =\frac{7}{4}\Rightarrow \alpha \approx 60^{\circ}15'\). Bài 29 trang 89 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 29. Một khúc sông sộng khoảng 250m. Một chiếc thuyền chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc \(\alpha\) trong hình 32).
Hướng dẫn giải: Chiếc đò lệch đi một góc bằng: \(cos\alpha =\frac{250}{320}\Rightarrow \alpha \approx 38^{\circ}37'\). Giaibaitap.me Page 9
Bài 30 trang 89 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 30. Cho tam giác \(ABC\), trong đó \(BC=11cm\), \(\widehat{ABC}=38^{\circ},\widehat{ACB}=30^{\circ}.\) Gọi điểm \(N\) là chân của đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến cạnh \(BC\). Hãy tính: a) Đoạn thẳng \(AN\); b) Cạnh \(AC\). Gợi ý: Kẻ \(BK\) vuông góc với \(AC\). Giải: a) Kẻ \(BK\perp AC\) Xét tam giác vuông \(BKC\) ta có: \(\widehat{KBC}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\) suy ra \(\widehat{KBA}=60^{\circ}-38^{\circ}=22^{\circ}\) Xét tam giác \(KBC\) vuông tại \(K\) có: \(BK=BC\cdot \sin C=11\cdot \sin30^{\circ}=5,5(cm)\) Xét tam giác \(KBA\) vuông tại \(K\) có: \(AB=\frac{BK}{cos22^{\circ}}=\frac{5,5}{\cos22^{\circ}}\approx 5,932 (cm).\) Xét tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) có: \(AN= AB\cdot \sin38^{\circ}\approx 5,932\cdot \sin38^{\circ}\approx 3,652(cm)\) b) Xét tam giác \(ANC\) vuông tại \(N\) có: \(AC=\frac{AN}{\sin C}\approx \frac{3,652}{\sin30^{\circ}}\approx 7,304(cm)\). Bài 31 trang 89 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 31. Trong hình 33 \(\eqalign{ & AC = 8cm;A{\rm{D}} = 9cm \cr & \widehat {ABC} = {90^0};\widehat {AC{\rm{D}}} = {74^0} \cr} \) Hãy tính: a) AB; b) \(\widehat {A{\rm{D}}C}\) Hướng dẫn giải: a) Xét tam giác ABC vuông tại B có: \(AB = AC.\sin C = 8.\sin {54^0} \approx 6,472\left( {cm} \right)\) b) Vẽ CD. Xét tam giác ACH có: \(AH = AC.\sin C = 8.\sin {74^0} \approx 7,690\left( {cm} \right)\) Xét tam giác AHD vuông tại H có: \(\sin {\rm{D}} = {{AH} \over {A{\rm{D}}}} \approx {{7,690} \over {9,6}} \approx 0,8010 \Rightarrow \widehat D = {53^0}\) Nhận xét: Để tính được số đo của góc D, ta đã vẽ AH ⊥ CD. Mục đích của việc vẽ đường phụ này là để tạo ra tam giác vuông biết độ dài hai cạnh và có góc D là một góc nhọn của nó. Từ đó tính được một tỉ số lượng giác của góc D rồi suy ra số đo của góc D. Bài 32 trang 89 sgk Toán 9 - tập 1 Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biêt rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc \(70^{\circ}\). Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét) Hướng dẫn giải: Gọi AB là đoạn đường mà con thuyền đi được trong 5 phút, BH là chiều rộng của khúc sông. Xét tam giác ABH vuông tại H, biết cạnh huyền AB và một góc nhọn thì có thể tính được BH. Quãng đường thuyền đi trong 5 phút \(=\frac{1}{12}h\) là: \(AB=2\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{6} (km)\) Chiều rộng khúc sông là: \(BH=AB\cdot sinA=\frac{1}{6}\sin70^{\circ}\approx 0,1566(km)\approx 157(m)\). Giaibaitap.me Page 10
Page 11
Bài 37 trang 94 SGK Toán 9 tập 1 Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm. a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó. b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nắm trên đường nào? Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có: 62 + 4,52 = 36 + 20,25 = 56,25 = 7,52 = 56,25 ∆ABC có AB2 + AC2 = BC2 (=56,25) nên vuông tại A. \(\eqalign{& tgB = {{AC} \over {AB}} = {{4,5} \over 6} = 0,75 \Rightarrow \widehat B \approx {37^0} \cr & \widehat C = {90^0} - \widehat B \approx {53^0} \cr} \) ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao nên: AH.BC = AB.AC \( \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{4,5.6} \over {7,5}} = 3,6(cm)\) b) SMBC = SABC ⇒ M cách BC một khoảng bằng AH. Do đó M nằm trên hai đường thẳng song song cách BC một khoảng bằng 3,6 cm Bài 38 trang 95 SGK Toán 9 tập 1 Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 48. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét)
Hướng dẫn làm bài:
\(\widehat {IKB} = {50^0} + {15^0} = {65^0}\) ∆IBK vuông tại I nên IB = IK. tgIKB = 380 . tg65° ≈ 814,9 (cm) ∆IAK vuông tại I nên IA = IK. tgIKA = 380 . tg50° ≈ 452,9 (cm) Khoảng cách giữa hai thuyền là: AB = IB – IA ≈ 362 (m) Bài 39 trang 95 SGK Toán 9 tập 1 Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét)
Hướng dẫn làm bài: Khoảng cách giữa hai cọc là: \({{20} \over {\cos {{50}^0}}} - {5 \over {\sin {{50}^0}}} \approx 31,12 - 6,53 \approx 24,59(m)\) Giaibaitap.me Page 12
Bài 40 trang 95 SGK Toán 9 tập 1 Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đề - xi – mét)
Hướng dẫn làm bài:
Chiều cao của cây là: 1,7 + 30tg35° ≈ 1,7 + 21 = 22,7 (cm) Bài 41 trang 96 SGK Toán 9 tập 1 Tam giác ABC vuông tại C có AC = 2cm, BC = 5cm, \(\widehat {BAC} = x,\widehat {ABC} = y$\). Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm x – y: sin 23°36’ ≈ 0,4; cos66°24’ ≈ 0,4; tg21°48’ ≈ 0,4
Hướng dẫn làm bài: \(tgy = {2 \over 5} = 0,4\) nên y ≈ 21°48’ Do đó: x = 90° - y ≈ 68°12’ Vậy: x – y ≈ 68°12’ - 21°48’ ≈ 46°24’ Bài 42 trang 96 SGK Toán 9 tập 1 Bài 42. Ở một cái thang dài \(3m\) người ta ghi: “ Để đảm bảo an toàn khi dùng thang phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ \(60^0\) đến \(70^0\)”. Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn. Giải
\(AC = AB \cos C = 3\cos60^0 = 1,5 (m)\) \(A'C’ = A'B'\cos C’ = 3\cos70^0 ≈ 1,03 (m)\) Vậy khi dùng thang đó, chân thang phải đặt cách tường một khoảng từ \(1,03m\) đến \(1,5m\) để đảm bảo an toàn. Bài 43 trang 96 SGK Toán 9 tập 1 Đố:
Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Ơ-ra—tô-xten, một nhà Toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chi vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau: 1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (Nay gọi là Át –xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng. 2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-săng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25cm có bóng trên mặt đất dài 3,1m Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ “chu vi” Trái Đất. (Trên hình 5, điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trung cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB) Hướng dẫn làm bài:
Bóng của tháp vuông góc với tháp: ∆ABC vuông tại A. Ta có: \(\eqalign{ & tgC = {{AB} \over {AC}} = {{3,1} \over {25}} \approx 0,124 \cr & \Rightarrow \widehat C = {7^0} \cr}\) Các tia sáng được coi là song song với nhau nên \(\widehat O = {7^0}\) Chu vi của Trái Đất là: \(800.{{360} \over 7} \approx 41143(km)\) Giaibaitap.me Page 13
Page 14
Page 15
Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Page 20
Page 21
Page 22
Bài 26 trang 115 sgk Toán 9 - tập 1 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC. b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO. c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết \(OB=2cm, OA=4cm\). Giải: a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến nên \(AB=AC\) và \(\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\). Suy ra \(OA\perp BC\) (tính chất của tam giác cân). b) Điểm B nằm trên đường tròn đường kính CD nên \(\widehat{CBD}=90^{\circ}\). Suy ra BD//AO (vì cùng vuông góc với BC). c) Nối OB thì \(OB\perp AB.\) Xét tam giác AOB vuông tại B có: \(\sin \widehat {{A_1}} = {{OB} \over {OA}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow \widehat{A_{1}}=30^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAC}=60^{\circ}.\) Tam giác ABC cân, có một góc \(60^{\circ}\) nên là tam giác đều. Ta có \(AB^{2}=OA^{2}-OB^{2}=4^{2}-2^{2}=12\Rightarrow AB=2\sqrt{3.}\) Vậy \(AB=AC=BC=2\sqrt{3}cm\). Nhận xét. Qua câu c) ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng \(60^{\circ}\). Bài 27 trang 115 sgk Toán 9 - tập 1 Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn O, nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB. Hướng dẫn giải: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có; \(AB=AC; \,\,DB=DM;\,\,EC=EM.\) Chu vi \(\Delta ADE=AD + DM + ME + AE\) \(= AD + DB + EC + AE\) \(= AB + AC = 2AB\) Bài 28 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1 Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào? Giải:
Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh góc xAy. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\widehat {xAO} = \widehat {y{\rm{A}}O}\) Hay AO là tia phân giác của góc xAy. Vậy tâm O các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc(xAy). Bài 29 trang 116 sgk Toán 9 - tập 1 Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay. Giải:
Phân tích Đường tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nên tâm O nằm trên tia phân giác Am của góc xAy. Đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B nên tâm O nằm trên đường thẳng \(d\perp Ax\) tại B. Vậy O là giao điểm của tia Am với đường thẳng d. Cách dựng - Dựng tia phân giác Am của góc xAy. - Qua B dựng đường thẳng \(d\perp Ax\), cắt tia Am tại O. - Dựng đường tròn (O;OB), đó là đường tròn phải dựng. Chứng minh Vì \(OB\perp Ax\) tại B nên đường tròn (O;OB) tiếp xúc với Ax tại B. Vì O nằm trên tia phân giác của góc xAy nên O cách đều hai cạnh của góc xAy. Do đó đường tròn (O;OB) tiếp xúc với Ay. Biện luận. Bài toán luôn có một nghiệm hình. Giaibaitap.me Page 23
Page 24
Page 25
Bài 35 trang 122 sgk Toán 9 - tập 1 Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O;R) và (O';r) có \(OO'=d,\,\, R>r\)
Giải:
Bài 38 trang 123 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 38. Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (...) : a) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;3cm) nằm trên ... b) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc trong với đường tròn (O;3cm) nằm trên ... Giải: a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nên \(d=R+r=3+1=4 (cm).\) Trả lời: Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;3cm) nằm trên đường tròn (O; 4cm). b) Hai đường tròn tiếp xúc trong nên \(d=R-r=3-1=2 (cm).\) Trả lời: Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc trong với đường tròn (O;3cm) nằm trên đường tròn (O;2cm). Bài 39 trang 123 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 39. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, \(B\in (O),C\in (O').\) Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. a) Chứng minh rằng \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\). b) Tính số đo góc OIO'. c) Tính độ dài BC, biết \(OA=9cm, O'A=4cm.\) Giải: a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(IA=IB=IC=\frac{1}{2}BC\). Do đó tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow \widehat{BAC}=90^{\circ}\). b) Ta có \(\widehat{I}_{1}=\widehat{I}_{2};\widehat{I}_{3}=\widehat{I}_{4}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó \(\widehat{OIO'}=90^{\circ}\) (hai tia phân giác của hai góc kề bù). c) Ta có \(AI\perp OO'\). Xét tam giác OIO' vuông tại I, ta có: \(IA^{2}=OA\cdot O'A=9\cdot 4=36\Rightarrow IA=6.\) Do đó \(BC=12cm.\) Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi. Bài 40 trang 123 sgk Toán 9 - tập 1 Bài 40. Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được? Hướng dẫn giải: Trong hệ thống các bánh xe răng cưa thì hai bánh xe răng cưa tiếp xúc ngoài bao giờ cũng chuyển động ngược chiều nhau, hai bánh răng cưa tiếp xúc trong bao giờ cũng chuyển động cùng chiều nhau. Vì vậy hệ thống bánh răng ở hình a), hình b) chuyển động được. Hệ thống bánh răng ở hình c) không chuyển động được. Giaibaitap.me Page 26
Bài 41 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và(O); (I) và (K). b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh đẳng thức \(AE.AB = AF.AC\) d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường trong (I) và (K) e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất. Hướng dẫn làm bài:
a) \(OI = OB – IB\) nên (I) tiếp xúc trong với (O) \(OK = OC – KC\) nên (K) tiêó xúc trong với (O) \(IK = IH + KH\) nên (I) tiếp xúc ngoài với (K) b) \(\widehat {BEH} = 90°\) (E thuộc đường tròn đường kính BH) \( \Rightarrow \widehat {A{\rm{E}}H} = {90^0}\) Tương tự có \(\widehat {AFH} = {90^0};\widehat {BAC} = {90^0}\) Tứ giác AEHF có \(\widehat {EAF} = \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật. c) ∆ABH vuông tại H, HE là đường cao nên \(AH^2 = AE. AB\) ∆ACH vuông tại H, HF là đường cao nên \(AH^2 = AF. AC\) Do đó \(AE. AB = AF. AC\) d) Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: \(ME = MF = MH = MA\) Xét ∆MEI và ∆MHI có: \(ME = MH, IE = IH (=R)\), MI (cạnh chung) Do đó \(∆MEI = ∆MHI\) (c.c.c) \(\Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {MHI}\) mà \(\widehat {MHI} = {90^0}\) nên \(\widehat {MEI} = {90^0}\) ⇒ EF là tiếp tuyến của đường tròn (I) Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn (K) e) Ta có \(EF = AH\) mà \(AH ≤ AO = R\) Do đó \(EF ≤ R\), không đổi. Dấu “=” xảy ra \(⇔ H ≡ O\) Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất. Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) ME.MO = MF.MO’ c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC. d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’. Hướng dẫn làm bài:
a) \(MA, MB\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt). Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(MA = MB\), MO là tia phân giác \(\widehat {AMB}\) \(∆MAB\) cân tại \(M (MA = MB)\) Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao \(\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}\) Chứng minh tương tự có MO’ là tia phân giác góc \(\widehat {AMC}\) và \(\widehat {MFA} = 90^0\) \(MO, MO’\) là tia phân giác của hai góc kẻ bù \(\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}\) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì \(\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}\) b) \(∆MAO\) vuông tại A có AE là đường cao nên \(ME. MO = MA^2\) Tương tự, ta có: \(MF. MO’ = MA^2\) Do đó, \(ME. MO = MF. MO’ (= MA^2)\) c) Ta có \(MA = MB = MC\) nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà \(OO’ ⊥ MA\) tại A. Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC d) Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đướng kính là OO’, bán kính KM (\(∆MOO’\) vuông tại M) Ta có \(OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC ⇒ OB // OC.\) Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC. Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ \(⇒ KM // OB\) Mà \(OB ⊥ BC\) nên \(KM ⊥ BC\) Ta có \(BC ⊥ KM\) tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ Bài 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và \(B (R > r)\). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A). a) Chứng minh rằng AC = AD. b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB Hướng dẫn làm bài:
a) Vẽ OM ⊥ CD tại M, O’N ⊥CD tại N, ta có: \(MA = MC = {{AC} \over 2};\) \(NA = N{\rm{D}} = {{A{\rm{D}}} \over 2}\) Mặt khác, ta có \(OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O’N ⊥ CD\) \(⇒ OM // IA //O’N.\) Hình thang OMNO’ (OM //O’N) có \(IA // OM; IO = IO’\) nên \(MA = NA.\) Do vậy \(AC = AD\) b) (O) và (O’) cắt nhau tại A, B ⇒ OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB \(⇒ IA = IB\) Mặt khác \(IA = IK\) ( vì K đối xứng với A qua I) Do đó: \(IA = IB = IK\) Ta có ∆KBA có BI là đường trung tuyến và \(BI = {{AK} \over 2}\) nên ∆KBA vuông tại B \(⇒ KB ⊥ AB\) Giaibaitap.me |
