I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Show
1. Định nghĩa Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: \(at + b = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Trong đó, \(a,b\) là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\) và \(t\) là một trong các hàm số lượng giác. 2. Cách giải Chia cả hai vế cho \(a\) ta được được \(\left( 1 \right)\) về phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ: \(\begin{array}{l}2\cos x - \sqrt 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array}\) 3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Ví dụ: \(\begin{array}{l}5\sin x - \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 5\sin x - 2\sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {5 - 2\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\5 - 2\cos x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = \frac{5}{2}\left( {VN\,vi\,\frac{5}{2} > 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z\end{array}\) II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(a{t^2} + bt + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) Trong đó \(a,b,c\) là các hằng số và \(t\) là một trong số các hàm số lượng giác. 2. Cách giải - Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có). - Giải phương trình với ẩn phụ. - Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ: \({\tan ^2}x - \tan x - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\) Đặt \(t = \tan x\) thì (1) là: \({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\tan x = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan 2 + k\pi \end{array} \right.,k \in Z\end{array}\) III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI \(\sin x\) VÀ \(\cos x\) Xét phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) +) Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) +) Gọi \(α\) là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto \(\overrightarrow {OM} = (a;b)\) thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải: \(\sin (x + \alpha ) = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) Chú ý : Để phương trình \(\sin (x + a) = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là \(\left| {{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right| \le 1\) \(\Leftrightarrow \left| c \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) \(\Leftrightarrow {c^2} \le {a^2} + {b^2}\) Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm.  Loigiaihay.com Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình lượng giác cơ bản giúp các ôn lại kiến thức để chuẩn bị hành trang thật kỹ cho các kỳ thi đạt kết qua cao nhé Lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản thường gặp1. Phương trình sin x = sin α, sin x = a (1)Nếu |a|>1 thì phương trình vô nghiệm. Nếu |a|≤1 thì chọn cung α sao cho sinα=a. Khi đó (1)
Các trường hợp đặc biệt: sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z) sin x =1 ⇔ x = π/2 + k2π (k ∈ Z) sin x = -1 ⇔ x = -π/2 + k2π (k ∈ Z) sin x = ±1 ⇔ sin2x = 1 ⇔ cos2x = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z) 2. Phương trình cos x = cos α, cos x = a (2)Nếu |a|>1 thì phương trình vô nghiệm. Nếu |a|≤1 thì chọn cung α sao cho cosα = a. Khi đó (2) ⇔ cosx = cosα ⇔ x = ± α + k2π (k ∈ Z) b. cosx = a điều kiện -1 ≤ a ≤ 1 cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k2π (k ∈ Z) c. cosu = cosv ⇔ cosu = cos( π – v) d. cosu = sinv ⇔ cosu = cos(π/2 – v) e. cosu = – sinv ⇔ cosu = cos(π/2 + v) Các trường hợp đặc biệt: 3. Phương trình tan x = tan α, tan x = a (3)Chọn cung α sao cho tanα = a. Khi đó (3) Các trường hợp đặc biệt: tanx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z) tanx = ±1 ⇔ x = ± π/4 + kπ (k ∈ Z) 4. Phương trình cot x = cot α, cot x = a (4)Chọn cung α sao cho cotα = a. Khi đó (3) cotx = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z) cotx = a ⇔ x = arccota + kπ (k ∈ Z) Các trường hợp đặc biệt: cotx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z) cotx = ±1 ⇔ x = ± π/4 + kπ (k ∈ Z) 5. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giácDạng asinx + b; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx+ b = 0 (a, b ∈ Ζ, a ≠ 0) Cách giải: Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a Tham khảo thêm: 6. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giácDạng asin2x + bsinx + c = 0 (a, b ∈ Ζ, a ≠ 0) Phương pháp Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t. Ví dụ: Giải phương trình asin2x + bsinx + c = 0 Đặt t = sinx (-1≤ t ≤1) ta có phương trình at2 + bt + c = 0 Lưu ý khi đặt t = sinx hoặc t = cosx thì phải có điều kiện -1≤t ≤1 7. Một số điều cần chú ý:a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm Các dạng bài tập về phương trình lượng giácDạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bảnPhương pháp: Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau: a) sinx = sin(π/6). c) tanx – 1 = 0 b) 2cosx = 1. d) cotx = tan2x. Lời giải a) sinx = sinπ/6 b) 2cosx = 1 ⇔ cosx = ½ ⇔ x = ± π/3 + k2π (k ∈ Z) c) tanx = 1 ⇔ cosx = π/4 + kπ (k ∈ Z) d) cotx = tan2x ⇔cotx = cot(π/2 – 2x) ⇔ x = π/2 – 2x + kπ ⇔ x = π/6 + kπ/3 (k ∈ Z) Ví dụ 2: Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos2 x – sin2x =0. b) 2sin(2x – 40º) = √3 Lời giải a) cos2x – sin2x=0 ⇔ cos2x – 2sinx.cosx = 0 ⇔ cosx (cosx – 2sinx )=0 b) 2 sin(2x-40º )=√3 ⇔ sin(2x-40º )=√3/2 Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x. Dạng 2: Phương trình bậc nhất có một hàm lượng giácPhương pháp: Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a Ví dụ: Giải phương trình sau: Dạng 3: Phương trình bậc hai có một hàm lượng giácPhương pháp Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x). Cách giải: Đặt t = f(x) ta có phương trình : at2 + bt +c = 0 Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x Khi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1 Ví dụ: sin2x +2sinx – 3 = 0 Ví dụ 2: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0 Lời giải: ⇔ 1 + 2 sinx cosx + 2(cosx+sinx ) = 0 ⇔ cos2x + sin2x + 2 sinxcosx + 2 (cosx+sinx )=0 ⇔ (sinx + cosx)2 + 2 (cosx+sinx )=0 Dạng 4: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosxXét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0. Ví dụ: Giải phương trình sau: cos2x – sin2x = 0. Dạng 5: Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứngPhương pháp Phương trình đối xứng là phương trình có dạng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3) Phương pháp giải: Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ: Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t. Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng: a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4) Để giải phương trình này ta cũng đặt Thay vào (4) ta có được phương trình bậc hai theo t. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2(sinx + cosx) + 3sin2x = 2. Hy vọng với những kiến thức mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn hệ thống lại kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản từ đó áp dụng vào làm bài tập nhanh chóng và chính xác nhé
5/5 - (1 bình chọn) XEM THÊMĐường trung bình của tam giác, hình thang chi tiết từ A – Z [VD minh họa] |
