Chương III - HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Ẩn Trở lại bài toán cổ quen thuộc sau đây : Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó ? Ớ lớp 8, ta đã biết cách giải bài toán trên bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn. Muốn vậy, ta chọn một đại lượng chưa biết, sô' gà chẳng hạn, làm ẩn X rồi dựa vào các mối quan hệ giữa các đại lượng để lập nên một phương trình với ẩn X. Nhưng trong bài toán trên, ngoài đại lượng chưa biết là số gà, ta thấy còn có một đại lượng chưa biết khác là số chó. Nếu kí hiệu X là số gà và y là số chó thì : Giả thiết có tất cả 36 con vừa gà vừa chó được mô tả bởi hệ thức .V + y = 36. Giả thiết có tất cả 100 chân được mô tả bởi hệ thức 2x + 4y = 100. Các hệ thức trên là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen với các phương trình có hai ẩn và sẽ thấy chúng được ứng dụng thế nào để giải các bài toán tương tự bài toán trên. §1. Phương trình bạc nhất hai ổn Tập nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn có gì mới lạ ? \/ Khái niệm về phương trình bậc nhâ't hai ẩn Ớ lớp 8, chúng ta đã học phương trình bậc nhất một ẩn. Trong thực tế, còn có các tình huống dẫn đến phương trình có nhiều hơn một ẩn. Như đã thấy, bài toán mở đầu của chương này đã dẫn đến các phương trình bậc nhất hai ẩn : X + y = 36 và 2x + 4y = 100. Một cách tổng quát, phương trình bậc nhất hai ẩn X và y là hệ thức dạng ax + by - c, (1) trong đó a, b vổ c là các số đã biết (aí 0 hoặc b 0). Ví dụ 1. Các phương trình 2x - y = 1, 3x + 4y - 0, Ox + 2y = 4, X + Oy = 5 là những phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong phương trình (1), nếu giá trị của vế trái tại X = x0 và y = y0 bằng vế phải thì cặp số(x0 ; y0) được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Ta cũng viết: Phương trình (1) có nghiệm là (x ; y) = (x0 ; y0)-. Ví dụ 2. Cặp số (3 ; 5) là một nghiệm của phương trình 2x - y = 1 vì 2.3 - 5 = 1. (Với cách nói này, ta luôn hiểu rằng X - 3 và y = 5.) Chú ý. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x0; yo) được biểu diễn bởi điểm có toạ độ (x0; y0). Kiểm tra xem các cặp số (1 ; 1) và (0,5 ; 0) cố là nghiệm của phương trình 2x - y - 1 hay không. Tìm thêm một nghiệm khác của phương trình 2x - y = 1. Nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình 2x - y = 1. Đối với phương trình bậc nhất hai ẩn, khái niệm tập nghiêm và khái niệm phương trình tương đương cũng tương tự nhự đối với phương trình một ẩn. Ngoài ra, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân đã học để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn Xét phương trình 2x-y=l. (2) Chuyển vế, ta có 2x - y - 1 y = 2x - 1. Điền vào bảng sau và viết ra sáu nghiệm của phương trình (2) : X -1 0 0,5 1 2 2,5 y = 2x - 1 Một cách tổng quát, nếu cho X một giá trị bất kì thì cặp số (x ; y), trong đó y = 2x - 1, là một nghiệm của phương trình (2). Như vậy, tập nghiệm của (2) là s = {(x ; 2x - 1) I X e R}. Ta nói rằng phương trình (2) có nghiệm tổng quát là (x ; 2x - 1) vói X tuỳ ý(x e R), hoặc . , - Hình 1 CÓ thể chứng minh rằng : Trong mặt phang toạ độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình (2) là đường thẳng y = 2x - 1 (đường thẳng (d) trên hình 1). Ta nói: Tập nghiệm của (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d), hay đường thẳng (d) được xác định bởi phương trình 2x - y = 1. 2 y = 2 A 0 X Hình 2 Đường thẳng (d) còn gọi là đường thẳng 2x - y = 1 và được viết gọn là (d): 2x - y = 1. • Xét phương trình Ox + 2y - 4. (4) Vì (4) nghiệm đúng với mọi X và y = 2 nên nó có nghiệm tổng quát là (x ; 2) với X G R, hay X e R ty = 2' Trong mặt phẳng toạ độ, tập nghiệm của (4) được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua điểm A(0 ; 2) và song song với trục hoành (h. 2). Ta gọi đó là đường thẳng y = 2. • Xét phương trình 4x + Oy = 6. (5) Vì (5) nghiệm đúng với X = 1,5 và với mọi y nên nó có nghiệm tổng quát là (1,5 ; y) với y e R, hay X = 1,5 y e R Hình 3 in 1,5 Trong mặt phẳng toạ độ, tập nghiệm của (5) được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua điểm B(l,5 ; 0) và song song với trục tung (h. 3). Ta gọi đó là đường thẳng X = 1,5. Một cách tổng quát, ta có : Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là (d). Nếu a'íỂ 0 và b / 0 thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của hàm số bậc nhất y=’bx+b Nếu a 0 và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay X = , và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung. c s „ Nếu a = 0 và b * 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = —, và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành. Bài tập Trong các cặp số (-2 ; 1), (0 ; 2), (-1 ; 0), (1,5 ; 3) và (4 ; -3), cặp số nào là nghiệm của phương trình : a) 5x + 4y - 8 ? b) 3x + 5y = -3 ? Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó : a) 3x - y = 2 ; b) X + 5y = 3 ; 4x - 3y = -1 ; d) X + 5y = 0 ; e) 4x + Oy = -2 ; f) Ox + 2y = 5. Cho hai phương trình X + 2y = 4 và X - y = l.Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ toạ độ. Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết toạ độ của nó là nghiệm của các phương trình nào. Có thể em ehưa biết ? Đối với phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by = c (a, b, c e Z), (1) người ta còn đặt vấn đề tìm các nghiệm nguyên của nó. Tiêu biểu trong lĩnh vực này là nhà toán học Hi Lạp Đi-ô-phăng (Diophantus, khoảng năm 250). ở Ấn Độ, A-ri-a-ba-ta (Aryabhata, khoảng 476 - 550) cũng đã quan tâm đến việc tìm các nghiệm nguyên của phương trình này ; nhưng người đã cho lời giải tổng quát của bài toán là Bra-ma-gup-ta (Bramahgupta, khoảng 598 - 660). Ngàỵ nay, ta đã biết lời giải của bài toán này qua hai mệnh đề sau : Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên thì c chia hết cho ước chung lớn nhất của a và b. Ngược lại, nếu c chia hết cho ước chung lớn nhất của a và b thì (1) luôn có nghiệm nguyên. Trong trường hợp này, ta có thể giả thiết rằng a, b nguyên tô' cùng nhau. Khi đó, nếu (x0 ; yo) là một nghiệm nguyên của (1) thì công thức sau cho tất cả các nghiệm nguyên của (1) : X = x0 + tb y = Yo - ta (t e Z). Để thấy được ý nghĩa hình học của bài toán này, trong mặt phẳng toạ độ, ta gọi các điểm có toạ độ nguyên là các điểm nguyên. Khi đó, bài toán trên có nghĩa là : Tìm tất cả các điểm nguyên trên đường thẳng ax + by = c.
Đọc và tìm hiểu phương trình bậc nhất hai ẩn (sgk trang 3) B. Hoạt động hình thành kiến thức1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn a) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 4) b) Ví dụ (sgk trang 4) c) Cho ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn
Trả lời: c) Các em tự lấy ví dụ rồi ghi vào vở, dưới đây là một số ví dụ:
2. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn a) Thực hiện các hoạt động sau Thay giá trị x = 2, y = 3 vào vế trái rồi so sánh giá trị của vế trái và vế phải của mỗi phương trình. $3x + 2y = 12;\;\; 5x - 4y = 4$. b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 4) c) Trả lời câu hỏi Cho phương trình $2x + 5y = 7$. Cặp số nào trong các cặp số (1; 1), (2; 1), (-1; 3) là nghiệm của phương trình đã cho? Trả lời: a) Thay x = 2 và y = 3 vào vế trái của phương trình $3x + 2y = 12$, ta có: $3\times x + 2 \times y = 3\times 2 + 2\times 3 = 12$ = VP; Thay x = 2 và y = 3 vào vế trái của phương trình $5x - 4y = 4$, ta có: $5\times x - 4\times y = 5 \times 2 - 4\times 3 = -2 \neq VP$. c) Thay các cặp số vào phương trình $2x + 5y = 7$, ta có:
3. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn a) Cho phương trình $23x - y = 2$ (*). Thực hiện các hoạt động sau: Điền số thích hợp vào bảng sau (theo mẫu) Dựa vào bảng viết một số nghiệm của phương trình: $3x - y = 2$. Biểu diễn các nghiệm đó trên mặt phẳng tọa độ Oxy (h.1).  Dùng bút và thước kẻ nối các điểm biểu diễn các nghiệm đó và kéo dài. Điểm (1; 1) và (3; 7) có nằm trên đường vừa vẽ không? Nêu nhận xét về vị trí các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình (*) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Thực hiện các hoạt động tương tự như trong mục 3a) đối với các phương trình sau: (1) $2x + y = 3$; (2) $x + 0y = 2$; (3) $0x - y = 3$; c) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 5) d) Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy tập nghiệm của các phương trình $x + y = 2$; $x = a$; $y = b$ (a, b là các số cho trước). Trả lời: a)
b) (1) Bảng số liệu: (2) Bảng số liệu: (3) Bảng số liệu d) B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 5 sách toán VNEN lớp 9 tập 2 Cặp số nào dưới đây là nghiệm của phương trình $2x + 3y = 7$? A. (-1; -2) B. (2; -1) C. (2; 1) D. (1; 2) => Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 5 sách toán VNEN lớp 9 tập 2 Cho phương trình $x + 2y = 3$. Những cặp số nào trong các cặp số (1; 1), (-2; -1), (-1; 2) là nghiệm của phương trình đã cho? => Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 5 sách toán VNEN lớp 9 tập 2 Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ tập nghiệm của mỗi phương trình sau: a) $2x - y = 5$; b) $3x - y = 2$; c) $0x - 2y = 4$; d) $3x - 0y = -6$ => Xem hướng dẫn giải
Câu 4: Trang 6 sách toán VNEN lớp 9 tập 2 Đường thẳng trong mỗi hình vẽ dưới đây (h.2) biểu diễn tập nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn. Hãy viết phương trình bậc nhất hai ẩn tương ứng với mỗi trường hợp. => Xem hướng dẫn giải
Câu 5: Trang 6 sách toán VNEN lớp 9 tập 2 Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: a) $2x + 3y = 2$; b) $3x - 2y = 5$; c) $3x + 2y = 5$; d) $6x + 15y = 4$; => Xem hướng dẫn giải
Trong nhiều năm qua, mối quan hệ giữa nhịp đập tim tối đa được khuyến nghị và số tuổi của một người được mô tả theo công thức sau: Nhịp đập tối đa được khuyến nghị = 220 - độ tuổi. Nghiên cứu gần đây cho thấy công thức này nên được sửa đổi chút. Công thức mới như sau: Nhịp đập tối đa được khuyến nghị = 208 - (0,7 x độ tuổi). Câu hỏi 1: Một bài báo đã nhận định: "Kết quả của việc sử dụng công thức mới thay cho công thức cũ là nhịp đập tối đa trong một phút đối với người trẻ tuổi thì giảm nhẹ còn đối với người lớn tuổi thì tăng nhẹ". Từ độ tuổi nào trở đi thì nhịp đập tối đa được khuyến nghị tăng lên như là một kết quả của việc giới thiệu công thức mới? Trình bày lời giải của em. Câu hỏi 2: Công thức nhịp đập tối đa được khuyến nghị = 208 - (0,7 x độ tuổi) cũng được sử dụng để xác định xem khi nào thì việc tập thể dục có hiệu quả nhất. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc tập thể dục sẽ có hiệu quả nhất khi nhịp tim bằng 80% nhịp tim đập tối đa được khuyến nghị. Hãy viết ra một công thức biểu diễn bằng độ tuổi để tính nhịp đập tim có hiệu quả nhất cho việc tập thể dục. (Trích Tài liệu tập huấn về PISA của Bộ Giáo dục và Đào tạo, năm 2012) => Xem hướng dẫn giải Từ khóa tìm kiếm: giải bài phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình bậc nhất hai ẩn trang 3 vnen toán 9, bài 1 sách vnen toán 9 tập 2, giải sách vnen toán 9 tập 2 chi tiết dễ hiểu. |
