Trả lời phần câu hỏi ôn tập chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trang 25 SGK toán 9 tập 2 Trả lời phần câu hỏi ôn tập chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trang 25 SGK toán 9 tập 2. Sau khi giải hệ... Xem lời giải
Giải
\(\left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2(1) \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1(2) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2(1') \hfill \cr - 2{\rm{x}} - 5y = - 5(2') \hfill \cr} \right.\) Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được: \(0x + 0y = -3\) Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm. Minh họa hình học kết quả tìm được:  - Vẽ đồ thị hàm số \(2x + 5y = 2\). Cho \(y = 0 ⇒ x = 1\). Ta xác định được điểm \(A(1; 0)\) Cho \(y = 1 ⇒ x = -1,5\). Ta xác định được điểm \(B(-1,5; 1)\). Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B -Vẽ đồ thị hàm số \({2 \over 5}x + y = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 5y = 5\) Cho \(x = 0 ⇒ y = 1\). Ta xác định được điểm \(C(0; 1)\) Cho \(y = 2 ⇒ x = -2,5\). Ta xác định được điểm \(D(-2,5; 2)\) Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.
\(\left\{ \matrix{ 0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3(1) \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5(2) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2{\rm{x}} - y = - 3(1') \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5(2') \hfill \cr} \right.\) Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được \(x = 2\) Thế \(x = 2\) vào (2), ta được: \(6 + y = 5 ⇔ y = -1\) Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((x = 2; y = -1)\) Minh họa hình học: - Đồ thị hàm số \(0,2x + 0,1y = 0,3\) là một đường thẳng đi qua hai điểm: \(A(x = 0; y = 3)\) và \(B(x = 1,5; y = 0)\) - Đồ thị hàm số \(3x + y = 5\) là một đường thẳng đi qua hai điểm \(C(x = 0; y = 5)\) và \(D(x = 1; y = 2)\) - Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: \(M(x = 2; y = -1)\). Vậy \((2; -1)\) là một nghiệm của hệ phương trình.
\(\left\{ \matrix{ {3 \over 2}x - y = {1 \over 2}(1) \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1(2) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3{\rm{x}} + 2y = - 1(1') \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1(2') \hfill \cr} \right.\) Cộng (1’) và (2’) vế theo vế, ta có: \(0x + 0y = 0\). Phương trình này có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát là \(\left( {x;{3 \over 2}x - {1 \over 2}} \right)\) với \(x ∈ R\) Minh họa hình học - Đồ thị hàm số (1) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0; - {1 \over 2})\) và \(B(1;1)\) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trinh có vô số nghiệm. Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 Giải các hệ phương trình sau: \(\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\) \(\left\{ \matrix{ {{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr {x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\) Giải: \(\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1(1) \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1(2) \hfill \cr} \right.\) Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: Từ (1) ta có \(x = {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}(3)\) Thế (3) vào (2), ta được: \(\eqalign{ & \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 5y = \sqrt 5 \cr & \Leftrightarrow - 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3} \cr} \) Thế y vừa tìm được vào (3), ta được: \(x = {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3}} \right) + 1} \over {\sqrt 5 }}\) hay \(x = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3}\) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left( {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3};{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3}} \right)\) b)Giải hệ phương trình: (I) \(\left\{ \matrix{ {{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr {x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\) Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt \(u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}\) Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là \(u\) và \(v\) ta được: \(\left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 (1') \hfill \cr u + 3v = - 1(2') \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 (3) \hfill \cr - 2u - 6v = 2(4) \hfill \cr} \right.\) Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được: \( - 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2 \Leftrightarrow v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\) Thay \(v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\) vào (1’), ta được: \(2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}\) \(\Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}\) Với giá trị của \(u,v\) vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm \(x, y\). Ta có: \(\left\{ \matrix{ {x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr {y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.đk\left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr y \ne - 1 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \left( {x + 1} \right)\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr y = \left( {y + 1} \right){{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)} \over 5} \hfill \cr} \right.\) \(\left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr 5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\) Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }};{{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }}} \right)\) thỏa mãn điều kiện Bài 42 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 Giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) trong mỗi trường hợp sau:
Giải: (I) \(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m(1) \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 (2) \hfill \cr} \right.\) Ta có (1) ⇔ \(y = 2x – m\) (3) Thế (3) vào (2), ta có: \(4{\rm{x}} - {m^2}\left( {2{\rm{x}} - m} \right) = 2\sqrt 2\) \( \Leftrightarrow 2\left( {2 - {m^2}} \right)x = 2\sqrt 2 - {m^3}(*)\)
\(2(2 – 2)x = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} ⇔ 0x = 4\sqrt{2}\) Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
\(2(2 – 2)x = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} ⇔ 0x = 0\) Vậy hệ trình này có vô số nghiệm.
\(2.(2-1)x = 2\sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = 2\sqrt 2 - 1\) \(\Leftrightarrow x = {{2\sqrt 2 - 1} \over 2}\) Thay \(x\) vừa tìm được vào (3), ta có: \(y = 2\sqrt{2} – 2\) Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là: \(\left( {{{2\sqrt 2 - 1} \over 2};2\sqrt 2 - 2} \right)\) Bài 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 Bài 43. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. Giải: Gọi \(x\) (m/phút) là vận tốc của người xuất phát từ A và \(y\) (m/phút) là vận tốc của người xuất phát từ B. Điều kiện: \(x > 0; y > 0\) - Khi gặp nhau tại điểm cách A là 2km thì người xuất phát từ A đi được 2000 mét, còn người xuất phát từ B đi được 1600 mét. Ta có phương trình: \({{2000} \over x} = {{1600} \over y}(1)\) - Theo đề bài cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn. Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8km = 1800m. Ta có phương trình \({{1800} \over x} + 6 = {{1800} \over y}(2)\) Ta có hệ phương trình: (I) \(\left\{ \matrix{{{2000} \over x} = {{1600} \over y}(1) \hfill \cr {{1800} \over x} + 6 = {{1800} \over y}(2) \hfill \cr} \right.\) Đặt \(u = {{100} \over x}\) và \(v = {{100} \over y}\) . Thay vào (I), ta được: \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{20u = 16v \hfill \cr 18u + 6 = 18v \hfill \cr} \right.\) |
