Giải bài tập toán cao cấp 1 dh nông lâm năm 2024

Tài liệu tham khảo cho môn học Toán cao cấp B2 - Thầy Trần Bảo Ngọc - Ngày 23/4/2013 - HK 2/2013

1. Đề tham khảo (nguồn: website cá nhân thầy Đặng Thành Danh, bộ môn Toán, khoa Khoa học).

2. Bài tập chương 1 có lời giải (nguồn: internet).

3. Tài liệu tham khảo (ebook của tác giả Nguyễn Thanh Thủy, nguồn: internet).

Toán cao cấp tập 1.

Toán cao cấp tập 3.

Số lần xem trang: 2147 Điều chỉnh lần cuối: 23-04-2013

GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A1

ĐẠI HỌC NÔNG LÂM

NỘI DUNG

Chương 1: Hàm số - giới hạn - liên tục

Chương 2: Phép tính vi phân của hàm một biến

Chương 3: Phép tính tích phân của hàm một biến

Chương 4: Chuỗi số

Để xem chi tiết các bạn có thể xem online hoặc tải sách về máy tính để tham khảo nhé!

... cun bi tp-Ton cao ep cho cỏc nhó kinh t*, Nh xut bn Thng ke ỏn hnh nSm 200S, ln ny chỳng tụi cho biờn son cun Hng dn gii bi Toỏn cao cp cho cỏc nh kinh t Mc ớch cựa cun sỏch nhm giỳp cho sinh viờn ... ht cho X - y, y - z, z - X y1 i 13 Chỳng minh rng chia hờ't cho 17 bit rng cỏc s 204, 527,255 u chia ht cho 17 5 14 Nu cỏc s a,a2a,, b,bjb,, c,c,c, chia ht cho thỡ b, c, b, c, cng chia ht cho ... ht cho 19, bit rng 209,347,133 chia ht cho 19 Gii: Ta nhan 100 vo ct 1,10 vo ct ri cng vo ct 200 + 209 300 + 40 + = 347 100 + 30 + 133 Trong nh thc sau bih i cú ct gm cỏc phn t u chia ht cho...

143
16,340
42

Nội dung Text: Giải bài tập Toán cao cấp A1 - ĐH Nông Lâm

ĐẠI HỌC NÔNG LÂM KHOA KHOA HỌC ---  --- GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A1 death happiness Life   time birth time BIÊN SOẠN: BBT ĐỀ THI NÔNG LÂM - LƯU HÀNH NỘI BỘ 2015 - --
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Câu 6. Tính các giới hạn sau  n   n   4.   3    4.   3   4 n 1  3 n 4.4 n  3 n 4.4 n  3 n 4 n   4      4   6 a). lim    lim  lim 4 x  2 2 n  3 n 1 lim x  3n lim x  3n x  4n  3n  x   3n  4  n 4  n 1   n  1   n  3 3  3.4   3.4   2n  1 3 n 4  n 2  1  2n  1 3 n4  n2 1 6 b). lim     lim  lim x   n  2 n 1  x n  2 n 1  x   1  1 1  n 2   n 3 n  2  3   lim  n  lim  n n  1 1  2  lim 3 n  2  3  2  0  2 x   2  1 n n n1   x n1   x   n  n 6 c). lim x  n3 n 3  1  n3  1  1   g : A B Ta có: A B  , A B Áp dụng vào ta có:     lim n3 n 3    1  n 3  1  lim n 3  2    lim   x   n 1  n 1  2  1   3 3 x  x  1 1  1  3  1  3   n n  n   1   2  n 1  2   n 1  n 1 2 n   6 d ). lim  2  lim  2 n  lim    0 x   2n  n  1  x   n  2  1  1  x  2    n n 2  Có thể giải bằng tiêu chuẩn 2 (Định lý Weierstrass) 6 e). n  1sin n 2   0 lim x  n2  2  g :  Giới hạn đã cho có dạng: , Áp dụng Quy tắc L’Hospital ta có:  n  1sin n 2  L  n  1sin n 2     sin n 2   2n. cos n 2 n  1 lim lim lim x  n2  2 x  n 2  2 x  2n L  lim        2n. cos n 2  2 cos n 2 n  1  4n 2 sin n 2 x  2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 1 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 6 f ). lim  x  n 2 1  0  Do lim  2   1 x  n Vì lim  a   1 x  n 6 g ). lim  x  n n 1   g : Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC”   n  1  lim n  1 n   1 Đặt A  lim n 0 x  x  Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có:   1   ln n  1   ln( A)  ln lim n  1 n  lim  ln n  1  lim  1   L   x  x  n  x   n    1  ln n  1 n  1 1 xlim  n  lim x  1  lim x  n  1  0, Vậy ln( A)  0  A  1 Cách 2: Với mọi giá trị: n  1 ta có: n n  n n  1  n 2n Mà lim  n   1 x  n Trang 20 Giáo Trình Toán CC A1 ĐHNL Mặc khác ta có: lim    2 .lim  n   1 lim  2   1;Và lim  n   1   Mà n 2n  lim n n  Do n n x  x  x   x  x  Vậy ta có Mà lim  n  1  1 x  n 1 1 1 1  1 6 h). lim 1.3  3.5  5.7  ...  2n  1)2n  1  2 x   g : 1 1 1 1  1 1  1    1  1   ...   1  1  lim 1.3  3.5  5.7  ...  2n  1)2n  1  lim        2 n  1 2n  1   x  x  2  3   3 5  1 1  1   1 lim   x  2  2n  1  2 6 i). lim n  x  3 1  n3  0   g : A3  B 3 Ta có Công thức liên hợp (hiệp): A  B  , Ta có: A 2  AB  B 2   lim n  3 1  n3   lim   n3  1  n3    0 x  x   2  n  n 3 1  n 3  3 1  n 3 2   ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 2 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  1 1  1 6 j ). lim    ...   1 x   n  1 n2  2 n2  n  2  g :  1 1 1  lim  2   ...   x   n  1    2 2 n 2 n n  1 1 1 Với n  1 , Ta có:   ...  Cho nên: n2 1 n2  2 n2  n 1 1 n   n n2  n n2 1 1 1  1 1 1  Mà lim  lim 1 nên lim    ...   1 x  n2  n x  n2 1 x   n  1 2 n2  2 n2  n  Câu 8. Tính các giới hạn sau 3n 8 a). lim 0 x  n!  g : Do: n! Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 3 n khi n   n3 8 b). lim 0 x  3n  g : Cách 1: Do: 3 n Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với n 3 khi n    Cách 2: Giới hạn đã cho có dạng , Dùng quy tắc L’Hospital ta có:     n 3 L'  3n 2 L '  6n L'  6  lim n 3  0 6 lim x  3n    lim x  1.3 . ln 3 n lim n  x  1.3 . ln 3 . ln 3 lim  x  1.3 . ln 3 . ln 3 n 2  x  3 . ln 3 2n 8 c). lim 0 x  n!  g : Do: n! Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 2 n khi n   Câu 11. Tính các giới hạn sau x2 1 22  1 3 11 a). lim  2  1 x 2 x  2 x  3 2  2.2  3 3 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 3 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Do thế vào không có dạng vô định x2  2 x2  2 1 1   lim 2     11 b). lim lim x 2 x  x  2 x 2 x  1 x  2 4 2 2 2 x 2 x  1 3  g :  g cách 1: (Dùng ’Hosp tal)  x  2 L' 2  lim x 2  2  lim 3 2x  lim 2 1  1 lim x 2 x  x  2 x 2 x 4  x 2  2 4 2  x 2 4 x  2 x x 2 2 x  1 3  g cách 2: (Phân tích thừa số khử) Ta thấy x  2 là nghiệm của tử và mẫu, vậy ta có: x2  2 x2  2 1 1   lim 2  lim x 2 4 2 lim x  x  2 x 2 x  1 x  2 2 2  x 2 x  1 3     Do có dạng vô đinh nên phải tiến hành biến đổi rồi khi hết dạng ta mới thế giá trị vào   3 x6 2 11 c). limx 2 x3  8  g :  g cách 1: 3 x6 2 x2 lim  lim x 8  x 2  x  2  x 2  2 x  4  3 x  6    23 x  6  4 3 2 x 2   1 1  lim  x 2 x 2    2 x  4  3 x  6  23 x  6  4   2 144  g cách 2: (Dùng ’Hosp tal) 3 x6 2 0 Nhận thấy lim có dạng vô định   vậy có thể dùng được ’Hosp tal x  2 x 8 3 0 1 3 x  6  2 L  3  x6 2    3.3 x  6 2  1 / 12  1 lim lim  lim x 8 x 3  8 3 2 x  2 x  2 x 2 3x 12 144 Với     x  6  x  6 3 1/ 3    .x  6 .x  6 1 3 1 / 31     Công thức tổng quát: u    .u  .u   1 3 8  3x  2 0  11 d ). lim   L  x 0 4 16  5 x  2 0  ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 4 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 1 / 3. 8  3x 1 / 31 .3  8  3x 2 / 3  3 8  3x 2  lim lim lim x  0 1 / 4 16  5 x  x  0 5 / 4 16  5 x  1 / 4 1 3 / 4 .5 x  0 5 / 4. 1 4 16  5 x 3 4 4 16  5 x  3 4 4 16 3 8  lim .  lim .  x 0 5 3 8  3 x  x 0 5 5 2 3 82 Câu 12. Tính các giới hạn sau sin ax  sin bx 12 a). lim , a  b  x 0 tan x  g cách 1: (Dùng ’Hosp tal) sin ax  sin bx L  cos ax .a  cos bx .b  a  b lim x 0 tan x lim x 0 1 cos 2 x  g cách 2a: dùng tương đương  ax  bx   ax  bx  2. cos . sin   sin ax  sin bx  2   2  lim  lim  x 0 tan x x 0 tan x  ax  bx  ax  bx Do lim tan x ~ x x 0 và lim sin x 0 2  ~ 2  Trở thành  ax  bx   ax  bx   ax  bx   ax  bx   ax  bx  2. cos . sin   2. . cos  xa  b  cos   2   2   2   2   2  lim x 0 tan x lim x 0 x lim x 0 x  ax  bx   ax  bx   lim a  b . cos   a  b Vì lim cos  1 x 0  2  x 0  2   g cách 2b: dùng tương đương Ta có : sin u ~ u khi u  0 ; tan x ~ x khi x  0 , Vậy giới hạn đã cho trở thành sin ax  sin bx ~  ax  bx lim  lim  lim a  b   a  b x 0 tan x x 0 x x 0 x2 x tan x  sin x tan x1  cos x  2 1 12 b). lim 3  lim  lim x 0 x x 0 x3 x 0 x 3 2 x2 Do tan x ~ x và 1  cos x  ~ 2  x  12 c). lim 1  x  tan 2  x 1   g cách 1: Đặt ẩn phụ Đặt t  x  1 Khi x  1 thì t  0 Khi đó  trở thành ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 5 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục     cos 2 t              lim  t   tan t  1  lim  t    cot  t   lim t  cot  t   lim t      t 0  2  t 0   2  t 0   2  t 0     sin  2 t        Do sin t  ~ t Khi t  0 2  2              cos 2 t    cos 2 t    cos 2 t   cos 0 2  lim t       lim t       lim       t 0    t 0  t  t 0       sin  2 t   t  2   2        2  x  lim 1  x  tan 2    2 Vậy x 1  g cách 2: (Biến đổ + Dùng ’Hosp tal) lim 1  x  tan x  0. VĐ  x 1  2  lim 1  x . 0. VĐ  1 x 1  x  cot    2 lim 1  x  0   x 1  VĐ  L' Hospital   x  0  cot    2 L 1 2  lim  x 1  1   2 x    sin .  2 2 1  cos x. cos 2 x. cos 3x 1 1 cos x  cos 3x . cos 3x 12 d ). lim  lim 2 x 0 x2 x 0 x2 1  cos 2 x  cos 4 x  1  cos 6 x  1  cos 2 x   1 1  cos 4 x   1 1  cos 6 x  1 1 1 1  lim 4 4 4  lim 4 4 4 2 2 x 0 x x 0 x 1 9  2  7 2 7 Câu 13. Tính các giới hạn sau 2 x 3  x 1  13 a). lim   x   x  2   g : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 6 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC” 2 x 3  x 1  Đặt A  lim   1   x   x  2  Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có:   x 1  2 x 3    x  1  ln( A)  ln lim    lim 2 x  3 ln    x  x  2   x   x  2  1 Đặt t  ; Khi x  , t  0 x Vậy ta có giới hạn đã cho tương đương với  1    1  t     1       x  1  2  t  2  3t   t  lim 2 x  3 ln  x  2   lim  t  3  ln  1    lim   ln t   1  2t   x     t 0    t 0   2     t    t   2  3t   1  t   2  3t   1  t   2  3t  1  t   lim   ln    lim   ln   1  1  lim    1 t 0  t   1  2t  t 0  t   1  2t  t 0  t  1  2t   2  3t  3t  6t  9t 2 0   lim     lim   L' Hospital  t 0  t  1  2t  t 0 t  2t 2 0  L' 6  18t  lim 6 t 0 1  4t Vậy ln( A)  6  A  e 6 Cách 2: Giải nhanh từ Công thức suy ra cách 1 như sau: lim   x  f  x 1 lim f x   e x x a  eA x a Vậy áp dụng CT ta có: 2 x 3   x 1    6 x 9   2 x 3 1    x 1    lim  x 2     lim  x    x 2   lim   e x  e  e6 x  x  2  x  x2  x 1 13 b). lim   x   x 2  1   g : Áp dụng công thức như trên ta có: x   x 2  x 1     x2    x  x 1 2   lim x x 2 1 1       lim    2   x   x 1   lim    e x   e e x  x 2  1  ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 7 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục lim cos 2 x  1/ x2 13 c). x 0  g : Áp dụng công thức như câu trên ta có:   1 cos 2 x1    12 sin 2  x 1     2 sin2 x   lim lim lim   2 2 2      x2  e e e 1/ x x 0 x x 0 x x 0 lim cos x0 2 x  sin2 x  2  lim   x 2  e x 0  e 2 Do Khi x  0 sin x ~ x ln cos x  ln 1  cos x  1 cos x  1  x2 1 1 13 d ). lim 2  lim 2  lim 2  lim 2  lim  x 0 x x 0 x x 0 x x 0 2 x x 0 2 2  x2 Do Khi x  0 ln 1  cos x  1 ~ cos x  1;Và cos x  1 ~ 2 e ax  e bx 13 e). lim , a, b  0 và a  b x 0 x  g : e ax ebx e ax  1 1  e bx  lim lim  x  x   x 0 x x 0 Ta có:  e ax  1  e ax  1  1  e bx  1  e bx  lim     a  a     b  b x  lim lim x  lim và x 0  x 0  ax  x 0  x 0  bx  e ax  e bx Vậy lim  a b x 0 x  1    sin x cos x 1    lim sin xcos x1  lim    f ). lim sin x  cos x 1/ x e  x 0 x  e  x 0  x x   x0 Mà ta có:  2   2   sin x   sin2 x   sin2 x   cos x 1   2 .  x    0 Do  2 . 1 Và lim    1 Và lim   lim  x2  lim  x2  lim  x   0 x 0  x  x 0  x  x 0 x 0 x 0      2   2  Vậy lim sin x  cos x 1/ x e x0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 8 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục sin x  sin x  x sin x 13 g ). lim   x 0  x   g : sin x 1 x Xét lim  lim  , Do 1  0 x 0 x  sin x x sin x x 0 1 sin x Giới hạn đã cho có dạng vô định: 1 , Ta có: sin x  sin x  x  sin x x  x 1   sin x  xsin x lim   xsin x lim   x  xsin x 1   e x 0  e x 0   e 1  x lim x0  x  e Câu 14. Tính các giới hạn sau x 2  2x  3 14 a). limx 1 x2 1  g cách 1: Xét dấu Ta thực hiện xét dấu để “Phá dấu trị tuyệt đối” X -3 1 x2 +2x - 3 + 0 - 0 + Nhận xét: 1- giá trị của hàm số “âm” nên ta có: x 2  2x  3  lim   x 2  2x  3  lim   x  1x  3  lim  x  3  2 lim x 1  x 1 2  x 1 x 1 2 x 1 x  1x  1 x1 x  1  g cách 2: Biến đổi x  2x  3 2 x  1x  3 x  1. x  3 lim  lim  lim x 1 x 1  x  1 x  1 x  1x  1 2 x 1 x 1 Do x  1 nên x  1 âm  x  1. x  3  x  3 4  lim  lim   2 x 1 x  1x  1 x 1 x  1x  1 2  14 b). lim arctan x  2 x  Dựa vào đồ thị của hàm arctanx ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 9 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục   tan x    4 14 c). lim   4x   x 4  g cách 1: Dùng định lý kẹp       Chú ý: x  Có nghĩa là x  và x  . Cho nên khi x  thì x  0 4 4 4 4 4     Vậy ta có: tan x    tan x   . Khi đó giới hạn đã cho trở thành:  4  4       tan x   tan x   tan x    4  lim 1  4 1  ; Do  4 1 lim  4x    4  4  x x x x 4 4 4 4  g cách 2: (Dùng ’Hosp tal)   tan x    4 0  lim  VĐ  L' Hospital   4x   0  x 4  g cách 3: (Đặt ẩn phụ + tương đương)      t  x khi x  t 0 ( ngầm hiểu: x  là x  ) 4 4 4 4   tan x    4 tan t 0  lim  lim  VĐ    4x    4t  0  x x 4 4 ~  ~   lim t 4t  lim t 4t Do t  0    x x 4 4 1  4 Câu 15. Tính các giới hạn sau 3 x 1 15 a). lim x 0  x  g cách 1: 3 x 1 0  lim  ,VĐ  x 0  x 0  3 x . ln 3. 1 L 3 x . ln 3.  . ln 3.   . ln 3 .      2 x 1 1 1 1  lim  lim x 0  1 x 0  2 2 x 2 0 2  g cách 2: ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 10 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 1  e x ln 3  1 ln 3  x ln 3  1 ln 3 x x 3 e3 e . lim  lim  lim      Do  1,   x 0  x x 0  x  x ln 3 x 0   x  x ln 3 x e 1 Công thức: lim  1 , ở bài này   x ln 3  0  2 x  cos x o  15 b). lim  ,VĐ  L' Hospital  x 0 x 0   g : Bài này có 2 cách gi như sau:  g cách 1: Sử dụng ’Hosp tal L 2 x . ln 2  sin x   ln 2 1  g cách 2: Dùng tương đương 2 x  cos x  2 x  cos x  1  1  2 x  1  1  cos x lim x 0 x lim x 0 x lim x 0 x 2 x ~  x ln 2  2   x  lim lim  ln 2    ln 2 x 0 x x 0  2 Chú ý công thức: ax -1 ~ x.lna ; 1 – cosax ~ ax 2 2  x  arcsin     1 x  0  2 15 c). lim  ,VĐ  x 0 ln 1  x   0   g : Bài này có 2 cách gi như sau:  g cách 2: Dùng tương đương  x  x arcsin     1  x  ~  2 1 x2  1   lim lim  lim    1 x 0 ln 1   x  x 0  x   x 0  1 x2    g cách 3: Sử dụng ’Hosp tal 1. 1  x 2   2 x   1 x2  x     1 x2  x  2 1 x 2  1 x2    L  lim 1 x2  lim  1 x2  2   1  x . 1  x 2   x 0 1 x 0  1  lim x 0  1      1 x  1 x   1 x     lim   1  x  1  x 2  x    1 . Cách này rất lâu và dễ sai xót. Vậy nên tùy bài toán mà ta nên lựa  1 x . 1 x x 0  2  2   chọn phương pháp phù hợp. ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 11 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục arctan x 2 0  15 d ). lim  ,VĐ  x 0  x  0  arcsin  . sin 2 x 2  g cách 1: Dùng ’Hosp tal “Dà ” nên hạn chế gi i  g cách 2: Dùng tương đương arctan x 2 ~  x2 x2 x2 lim  lim  lim  lim 1 x 0  x x 0  x  x 0 2 x 2 x 0 x 2 arcsin  . sin 2 x  .2 x 2 2 2 1  cos 2 x 0  15 e). lim 2 sin  ,VĐ  x 0 2 x  2 x. tan 3x 0   g cách 1: Dùng tương đương 2 x 2 ~  2x 2 2x 2 1  lim 2   lim 2  x 0 2 x 2  2 x.3x lim x 0 2 x  6 x 2 2 x 0 8 x 4  g cách 2: Sử dụng ’Hosp tal (Cách này lâu ) 1 x 0  15 f ). lim  ,VĐ  L' Hospital  x 1 lg x  0  L 1  lim   ln 10 x 1 1 x. ln 10  Chú ý công thức: log a x   1 x. ln a arcsin 2 x  1 0  15 g ). lim  ,VĐ  x 1 4x 2  1 0  2  g : Đặt ẩn phụ + Dùng tương đương Đặt t  2 x  1  Khi x  1 / 2, t  0 ; 4 x 2  1  2 x   1  2 x  12 x  1  2 x  1  12 x  1  t  1.t 2 Vậy ta có: arcsin 2 x  1 arcsin t  ~  t 1 lim1 4 x 2  1  lim  lim  lim 1 x t 0 t  1.t t 0 t  1.t t 0 t  1 2 15 h). lim x . ln x 0 1 1 x 1 x x 0 x 1   x 0 1 1 x 2 1 2   lim ln 1  x  ln 1  x lim  ln 1  x   ln 1  x   ln 1  x   ln 1  x  x   x  2x xlim 0 2x  lim x 0 2x  lim x 0 2x 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 12 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục lim sin x  cos x  2 x 1  1  15 j ). VĐ x 0  g : Đặt A  lim sin x  cos x  2 x  1  1  VĐ x 0 Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có:   1   ln sin x  cos x  2 0  ln( A)  ln lim sin x  cos x  2 x  lim  ln sin x  cos x  2 lim  1    L   x0  x  x  x0  x 0  Đến đây có 2 cách g i: Cách 1: Dùng Quy tắc L’Hospital (Sẽ ra nhưng lâu)  cos x  sin x   ln sin x  cos x  2      lim  sin x  cos x  2  lim L' cos x  sin x cos x  1  1  sin x xlim    lim 0 x  x 0  1  x0 sin x  cos x  2 x0 sin x  1  cos x   1   2 x  1 x xlim 0 2 x2 1 x 1 2 Vậy ln( A)  1  A  e Cách 2: Dùng tương đương x2 x ln sin x  cos x  2 sin x  cos x  1 2   x lim  lim  lim lim 1    1 x 0 x x 0 x x 0 x x 0  2 Vậy ln( A)  1  A  e lim x  e    1 x x 0 15 k ). VĐ x   g a. Các kiến thức cần nhớ 1 1 Nhớ e      0   Dạng đặc trưng : limux  lũy thừa cơ số hàm : v x  b. Trình tự cách gi i: * B1: Đặt A  limux  , Tìm A v x   * B2: Lấy Loga Nepe 2 vế (Nhớ câu “thần chú”: “lốc của lim = lim của lốc” )  ln A  ln limux v  x   lim lnux v  x   lim vx . lnux   ......  b ( Chú ý trong dấu “….” Tức là biến đổi 1 thời gian để đưa về “=b” ) Vậy ln A  b  A  e b ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 13 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục c. Áp dụng gi i bài tập k). : * Đặt A  lim x  e x x , Tìm A 1 x  * Lấy lô-ga Nepe 2 vế:   1  ln A  ln lim x  e x x x   lim 1  ln x  e x  0. VĐ  x  x  lim  ln x  e x   VĐ 0   L' Hospital  x  x  0   .x  e x  1 L  lim x  e  x  lim 1 ex  VĐ    L' Hospital  x  1 x  x  ex    L ex     lim VĐ  L' Hospital  x  1  e x    L e x  lim x  1 x   e * Vậy ln A  1  A  e1  e  1 15 z *). lim  cot x  x  VĐ    x 0  g Mẹo gặp dạng vô định “    ” thường “QUY ĐỒNG” sau đó dung “ ’Hosp tal”  1  cos x 1  x. cos x  sin x   0  lim  cot x  x   lim  sin x  x   lim  x 0 x 0 x 0 x. sin x   VĐ  0  L' Hospital    L  lim x. cos x  sin x   lim 1. cos x  x sin x   cos x   x sin x  0 lim sin x  x. cos x VĐ  x 0 x. sin x  x 0 1. sin x  x. cos x x 0  0 Tới đây có 2 cách để giải: Dùng L’hospital, Hoặc tương đương (VCB tương đương), Để đa dạng phương pháp tôi dung cách tương đương. ~   x.x x 0  lim  lim  0 x 0 x  x. cos x x 0 1  . cos x 11 Câu 16. Xét sự liên tục của các hàm số sau tại điểm x0=0  sin x  Khi x  0 16a). f x    x   1 Khi x  0  g 1: Hàm số lien tục tại điểm x0=0 nếu lim f x  f 0 , Mà lim f x  không tồn tại, thật vậy: x 0 x 0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 14 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục     sin x 1  lim lim  f x f  x    x 0  x 0  x lim f x   lim sin x  1   x 0  x 0   x  Do đó f(x) không tồn tại tại x0 = 0  g 2: ưu ý: Nếu đề cho (x ≠ 0, x = 0 :Thì dùng định nghĩa ), ( Nếu cho x ≥ … , x ≤ … :Thì dùng trái phải )  g chi tiết: Kiểm tra: i). Hàm số f(x) xác định tại x0 vì f(0) = 1,  Xác định  0 ii xét lim f x   lim sin x VĐ,  x 0 x 0 x  0  Ta _ thay lim   f  x   f (0)  x 0    x 0  Ta _ thay     f (0) lim f x x 0    x0  Nhận thấy: Hàm số chỉ liên tục phải tại x = 0 mà không liên tục trái. Kết luận: Hàm số không liên tục tại x0 = 0. 1  cos x     Khi x    ;  \ 0 16b). f x    sin x  2 2 2  1  Khi x  0 4  g : Hàm số liên tục tại điểm x0=0 nếu lim f x   f 0 , Mà ta có: x 0 cos x 1 1  cos x x2 1/ 2 1 lim  lim     2 2 x 0 sin x x 0 sin x 2 4 2 . 1  cos x x f x   1 4 1  cos x lim f x   lim  f 0  1 2 x 0 x 0 sin x 4 Vậy hàm số f(x) liên tục tại x0=0  g 2:  g chi tiết: Kiểm tra: i). Hàm số f(x) xác định tại x0 = 0 vì f(0)= 1/4 ,  Xác định ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 15 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  0 1  cos x ii) xét x 0 x 0 lim f x   lim VĐ  , Giới hạn này có 2 cách giải: L’Hospital hoặc liên  0 sin 2 x hợp, Cách giải sau sử dụng lien hợp sau đó tương đương 1  cos x Liên _ hop 1  cos x lim f x   lim x 0 x 0 sin 2 x  lim sin x.1  x 0 2 cos x  x2 ~  1 1 1  lim 2  lim   x 0  x . 1  cos x 2  x 0 2. 1  cos x  2.1  1 4  ta _ thay  f 0  Thỏa i) và ii) nên hàm số lien tục tại x0 = 0 Câu 17. Tìm giá trị của a (và b, nếu có) để hàm số sau liên tục lien tục tại x0  tan x  Khi x.  2 17a). f x    x  2 , tai x0  2   1 Khi x  2 Hàm số f(x) liên tục tại x0=0, Nếu lim f x  f 0 1 x 0 Ta có f x   a + lim f x  lim a  x  a x 0  x 0   lim f x  lim arctan x   x 1 + x 0  x 0    a  lim f x   lim f x   x 0  x 0  2  Vậy a   thì hàm số liên tục tại x0=0 2  1 arctan  Khi x  0 17b). f x     x , tai x0  0   ax Khi x  0  g : Kiểm tra: i). Hàm f(x) xác định tại x0=0 vì f(0) = a.0 = 0,  Xác định ii). Điều kiện để hàm số lien tục tại x0=0  liên tục phải, liên tục trái tại x0=0  lim f x   lim f x   f 0  x 0  x 0  Ta có:  lim f x  lim a.x  a.0  0 x  0  hay x0  x 0  x 0      1 lim f x   lim arctan x   arctan   2 x  0  hay x0  x 0 x 0  Từ (*)  0  0 (Vô lý) 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 16 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục   0   2 (Vô lý)  không có giá trị a nào để hàm số f(x) liên tục tại x0=0   0  0 a Khi x 1  17c). f x   arccos x Khi  1  x  1 Tại x 0  0 và x1  1  xb x 1  Khi  g :  x  cos y  y  arccos x   1  1  1 0  y    Trước hết hàm số ph xác định tại x0 = -1 và x1 = 1  f  1  a xác định và  f 1  0 xác định * Hàm f liên tục tại x 0  1 vừa phải liên tục phải và lien tục trái tại x 0  1 Ta có : f x 0   f  1  a Giới hạn : lim f x  lim x  1   f x   f  1 x  1  (I) Mà : lim f x  lim x  1   arccos x  arccos  1   x  1  Và : lim f x  lim x  1   a  a Thế vào ( I ) x  1  Vậy để hàm liên tục tại x 0  1 thì a =  * Tương tự hám số liên tục tại x 0  1 Ta có : f x1   f 1  0 Và : lim f x  lim x  b  1  b x 1 x 1 Vậy để hàm liên tục tại x 0  1 thì b =  1 Vậy để hàm số liên tục thì a =  và b =  1 Câu 18. Tìm và phân loại các điểm gián đoạn của các hàm số sau: x 1 18 a). y  x x2 1    g x 1 x 1 1 y     x x  1 xx  1x  1 xx  1 2 * Tại x0 = 0: lim f x   lim xx  1   1 Kh đó x 0 x 0  x0  0 gọi là điểm gián đoạn vô cực: * Tại x0 = -1: lim f x   lim xx  1   1 Kh đó x 1 x 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 17 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Vậy đây là đ ểm g án đoạn loại 2  sin x  Khi x  0 18 b). f x    x   1 Khi x  0  g * Tại x0 = 0: lim f x   lim sin x Kh đó 1 x 0 x 0 x  x0  0 gọi là điểm gián đoạn bỏ được: *Tại x 0  0 : sin x Kh đó các hàm sinx, x đều liên tục tại x0, do đó cũng lien tục tại x0 x x 1 18 c). y  x2 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 18 -
Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM 1 BIẾN Câu 2.1 Tính f’(1), f’(2), f’(3) của hàm số f(x) = (x – 1)3(x – 2)2(x – 3) f x   f x0  f x   lim x  x0 x  x0 Gọi x  x  x0  x  x0  x  f x0  x   f x0  x0  x  1 x  2 x  3  x0 3 2 lim  x  x0 x  x0 x  x0 f 1  lim x  13 x  22 x  3  lim x  1 x  2 x  3  0 2 2 x 1 x 1 x 1 f 2  lim x  1 x  2 x  3  3 2 lim x  1 x  2x  3  0 3 x 2 x2 x 2 f 3  lim x  1 x  2 x  3  3 2 lim x  1 x  2 8 3 2 x 3 x2 x 3 Câu 2.2 Tính đạo hàm a). y  2  x  2  x 2 2  x 3  g : Mượn bàn tay của Lô-ga ta có:   ln y  ln 2  x  2  x 2 2  x 3  ln 2  x   ln 2  x 2  ln 2  x 3 = ln 2  x   ln 2  x 2   ln 2  x 3  1 1 2 2 Lấy đạo hàm 2 vế theo biến x ta có: y 1 1 2x 1 3x 2 1 x 3 x2       y 2  x  2 2  x 2 2 2  x 3 2  x  2  x 2 2 2  x 3  1 3 x2   1 3 x2  y    x  3 y    x  3 2  x  2  x 2 2  x 3  2  x  2  x 2 2 x   2  x  2  x 2 2 x  2 2 1 1 1 1 1 1 b). y    3  x 1  x 2  x 3  y   2   x x x x 2 x 3 33 x 4      c). y  sin x cos 2 . tan 3 x  sin x cos 2 . tan 3 x  cos x. cos 2 x. tan 3 x      2 cos x. sin x  tan 3 x  cos 2 x.3 tan 2 x. 1 2 cos x   cos x. cos 2 x. tan 3 x    sin 2 x tan x  3 tan x  cos x.cos 3 2 2 x. tan 3 x  d). y  x  x x  2 x  g :   * Ta có: y1  x  y1  x   1 , y 2  2 x  y 2  2 x    2 x. ln a * y3  x x  , Ta lấy Loga-Nepe 2 vế ta có   ln y3  ln x x  x. ln x Lấy đạo hàm 2 vế ta có: y3     x. ln x   x  ln x  ln x  x  x ln x  1 y3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 19 -